《重慶市萬州分水中學高考數(shù)學一輪復習 第十章《推理與證明》第1講 合情推理和演繹推理指導課件 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《重慶市萬州分水中學高考數(shù)學一輪復習 第十章《推理與證明》第1講 合情推理和演繹推理指導課件 新人教A版(28頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第十章 推理與證明第1講合情推理和演繹推理考綱要求考綱研讀合情推理與演繹推理1了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用2了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運用它們進行一些簡單推理3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.在數(shù)學中,由于所有命題的正確性都是用演繹推理來證明的,所以從形式上看,主要考查類比推理和歸納推理合情推理需根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進行歸納、類比,然后再提出猜想在進行類比推理時,要盡量從本質(zhì)上去類比,不要被表面現(xiàn)象所迷惑.1合情推理歸納推理類比推理(1)定義:根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、
2、聯(lián)想,再進行歸納、類比,然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)合情推理可分為_和_兩類:歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理簡言之,歸納推理是由_到_、由_到_的推理;部分整體個別一般類比推理:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理簡言之,類比推理是由特殊到特殊的推理2演繹推理定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理叫做演繹推理簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理,“三段論”是演繹推理的一般模式,它包括:大前提已知的一般原理;小前提所研究的特
3、殊情況;結(jié)論根據(jù)一般原理,對特殊情況作出的判斷1在ABC 中,若 BCAC,ACb,BCa,則ABC 的外接圓半徑 r,將此結(jié)論拓展到空間,可得出的正確結(jié)論是:在四面體 SABC 中,若 SA,SB,SC 兩兩垂直,SAa,SBb,SCc,則四面體 SABC 的外接球半徑 R_.2已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的,把這個結(jié)論推廣到空間正四面體,類似的結(jié)論是_.1314正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的3在平面直角坐標系中,直線一般方程為AxByC0,圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(xx0)2(yy0)2r2;則類似地,在空間直角坐標系中,平面的一般方程為_,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方
4、程為_.AxByCzD0(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2等差數(shù)列等比數(shù)列ana1(n1)dbnb1qn1anam(nm)dbn_則數(shù)列cn為等差數(shù)列若 dn_,則數(shù)列dn為等比數(shù)列bmqnm4類比是一個偉大的引路人我們知道,等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì),請閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結(jié)論,類似的得出等比數(shù)列的兩個結(jié)論:5.(2010年廣東廣州海珠區(qū)測試)如圖1011,在平面上,用一條直線截正方形的一個角,則截下一個直角三角形按圖1011所標邊長,由勾股定理得c2a2b2.設想正方形換成正方體,把截線換成如圖的截面,這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OABC,若用s1,s2,s
5、3表示三個側(cè)面面積,s4表示截面面積,你類比得到的結(jié)論是_. 圖1011例 1:(2011年山東)設函數(shù) f(x)考點1 歸納推理xx2,觀察:f1(x)f(x)xx2,f2(x)ff1(x)x3x4,f3(x)ff2(x)x7x8,f4(x)ff3(x)x15x16,根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:當 nN*且 n2 時,fn(x)f(fn1(x)_.(2011 年陜西)觀察下列等式11.2349.3456725.4567891049.照此規(guī)律,第五個等式應為_解析:把已知等式與行數(shù)對應起來,則每一個等式的左邊的式子的第一個數(shù)是行數(shù)n,加數(shù)的個數(shù)是2n1;等式右邊都是完全平方數(shù),行數(shù)等號左邊的
6、項數(shù)1111234923353456725456789104947則第 5 行等號的左邊有 9 項,右邊是 9 的平方,所以 565(251)192.即 561381.答案:561381歸納推理的一般步驟:通過對某些個體的觀察、分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)律;從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題如以上兩題歸納總結(jié)時,看等號左邊的變化規(guī)律,右邊結(jié)果的特點,根據(jù)以上規(guī)律寫出第五個等式,注意行數(shù)、項數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵【互動探究】1觀察以下等式:11123123612341012345151311323913233336132333431001323334353225可
7、以推測 132333n3_(用含有 n 的式子表示,其中 n 為自然數(shù))n2(n1)24考點2 類比推理例2:在直角ABC 中,兩直角邊的長分別為 a,b,直角頂棱 SA,SB,SC 兩兩垂直,SAa,SBb,SCc,點 S 到平面ABC 的距離為 h,類比上述結(jié)論,寫出 h 與 a,b,c 的等式關(guān)系并證明如圖D16,過 S 作ABC 所在平面的垂線,垂足為 O,連接CO 并延長交 AB 于 D,連接 SD.SO平面 ABC,SOAB.SCSA,SCSB,SC平面 ABC.SCAB,SCSD.AB平面 SCD.ABSD.圖 D16類比推理經(jīng)常用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想,如空間轉(zhuǎn)化為平面、三角形類比
8、三棱錐、正方形類比正方體、實數(shù)類比到向量、橢圓類比到雙曲線、等差數(shù)列類比到等比數(shù)列等類比推理的一般步驟:找出兩類事物之間的相似性或一致性;用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想).【互動探究】2已知 O 是ABC 內(nèi)任意一點,連接 AO,BO,CO 并延長平面幾何題,其證明常采用“面積法”請運用類比思想,對于空間中的四面體 VBCD,存在什么類似的結(jié)論?并用體積法證明解:在四面體VBCD 中,任取一點O,連接VO,DO,BO,CO 并延長分別交四個面于 E,F(xiàn),G,H 點考點3 演繹推理例3:(2011年江西)已知兩個等比數(shù)列an,bn,滿足a1a(a0),b1a11
9、,b2a22,b3a33.(1)若a1,求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列an唯一,求a的值演繹推理是一種必然性推理,只要前提和推理形式正確,其結(jié)論也必然正確【互動探究】3(2011 年廣東湛江測試)命題:“若空間兩條直線 a,b分別垂直平面,則 ab”,學生小夏這樣證明:設 a,b 與面分別相交于 A,B,連接 A,B,a,b,AB,aAB,bAB.ab.這里的證明有兩個推理,即:和.老師評改認為小夏的證明推理不正確,這兩個推理中不正確的是_. 考點4信息給予題則下列結(jié)論恒成立的是()AT,V 中至少有一個關(guān)于乘法是封閉BT,V 中至多有一個關(guān)于乘法是封閉CT,V 中有且只有一個關(guān)于乘法是封
10、閉DT,V 中每一個關(guān)于乘法是封閉例4:(2011年廣東)設S是整數(shù)集Z的非空子集,如果a,bS,有abS,則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的若T,V是Z的兩個不相交的非空子集,TVZ,且a,b,cT,有abcT,x,y,zV,有xyzV.答案:A解析:由于TVZ,故整數(shù)1一定在T,V兩個集合中的一個中,不妨設1T,則a,bT,由于a,b,1T,則ab1T,即abT,從而T對乘法封閉另一方面,當T非負整數(shù),V負整數(shù)時,T關(guān)于乘法封閉,V關(guān)于乘法不封閉,故D不對;當T奇數(shù),V偶數(shù)時,T,V顯然關(guān)于乘法都是封閉的,故B,C不對從而本題就選A.【互動探究】4(2011 年四川)設 S 為復數(shù)集 C 的非空子
11、集若對任意 x,yS,都有 xy,xy,xyS,則稱 S 為封閉集下列命題:集合 Sabi|(a,b 為整數(shù),i 為虛數(shù)單位)為封閉集;若 S 為封閉集,則一定有 0S;封閉集一定是無限集;若 S 為封閉集,則滿足 STC 的任意集合 T 也是封閉集其中真命題是_(寫出所有真命題的序號)1合情推理主要包括類比推理和歸納推理數(shù)學研究中,在得到一個新結(jié)論之前,合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個數(shù)學結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向2演繹推理是從一般的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段論數(shù)學問題的證明方法主要通過演繹推理來進行3合情推理僅是合乎情理的推理,它得到的結(jié)論不一定正確而演繹推理得到的結(jié)論一定正確1合情推理包括類比推理和歸納推理歸納推理是從特殊到一般的推理,類比推理是從特殊到特殊的推理合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論,發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴格證明,合情推理中運用猜想時不能憑空想象,要有猜想或拓展的依據(jù)2演繹推理是由一般到特殊的證明,它常用來證明和推理數(shù)學問題,注意推理過程的嚴密性,書寫格式的規(guī)范性