高考數(shù)學(xué) 第六章 第四節(jié) 基本不等式的應(yīng)用課件 理 蘇教版

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1、第四節(jié)基本不等式的應(yīng)用考向考向 1 1 與基本不等式相關(guān)的范圍問題與基本不等式相關(guān)的范圍問題【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013鹽城模擬鹽城模擬) )若若m=( -1)( -1)( -1),m=( -1)( -1)( -1),a+b+ca+b+c=1,a,b,c=1,a,b,c均大于均大于0,0,則則m m的取值范圍是的取值范圍是. .(2)(2)已知已知a,bR,a+b+aa,bR,a+b+a2 2+b+b2 2=24,=24,則則a+ba+b的取值范圍是的取值范圍是. .【思路點撥【思路點撥】(1)(1)把把“1=a+b+c1=a+b+c”代入代入, ,再由基本不等式可求結(jié)

2、果再由基本不等式可求結(jié)果. .(2)(2)利用利用 求解求解. .1a1b1c222abab()22【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)a+b+c=1,(1)a+b+c=1,m= m= 答案答案: :8,+)8,+)111(1)(1)(1)abcabcabcabc(1)(1)(1)abcbc ac ab2 bc 2 ac 2 ab8,abcabcm8.(2)a(2)a2 2+b+b2 22ab,2ab,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時取時取“=”,2(a=”,2(a2 2+b+b2 2)(a+b)(a+b)2 2, ,即即a a2 2+b+b2 2 (a+b) (a+b)2 2, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=

3、ba=b時取時取“=”,=”,24-(a+b)=a24-(a+b)=a2 2+b+b2 2 (a+b) (a+b)2 2, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時取時取“=”,=”,即即(a+b)(a+b)2 2+2(a+b)-480,+2(a+b)-480,解關(guān)于解關(guān)于a+ba+b的二次不等式的二次不等式, ,得得-8a+b6.-8a+b6.a+ba+b的取值范圍是的取值范圍是-8,6.-8,6.答案答案: :-8,6-8,61212【拓展提升【拓展提升】常見的求參數(shù)取值范圍的關(guān)注點常見的求參數(shù)取值范圍的關(guān)注點利用利用 ab(a,bR)ab(a,bR)求最值時求最值時, ,要注意和要注意和a+ba

4、+b為為定值時定值時, ,平方和平方和a a2 2+b+b2 2有最小值有最小值, ,平方和平方和a a2 2+b+b2 2為定值時為定值時, ,和和a+ba+b有有最大值最大值. .【提醒【提醒】應(yīng)用時注意不等號的方向應(yīng)用時注意不等號的方向. .222abab()22【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知a,ba,b為正數(shù)為正數(shù),ab,ab=a+b+3,=a+b+3,求求abab的范圍的范圍. .【解析【解析】abab=a+b+3 +3,=a+b+3 +3,abab- -30,- -30, 3 3或或 -1(-1(舍去舍去),),ab9ab9當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3a=b=3時取時取“=”,=”,

5、abab的范圍是的范圍是9,+).9,+).2 ab2 ababab考向考向 2 2 基本不等式的實際應(yīng)用基本不等式的實際應(yīng)用【典例【典例2 2】某單位建造一間地面面積為某單位建造一間地面面積為12m12m2 2的背面靠墻的矩形的背面靠墻的矩形小房小房, ,由于地理位置的限制由于地理位置的限制, ,房子側(cè)面的長度房子側(cè)面的長度x x不得超過不得超過5m.5m.房屋房屋正面的造價為正面的造價為400400元元/m/m2 2, ,房屋側(cè)面的造價為房屋側(cè)面的造價為150150元元/m/m2 2, ,屋頂和地屋頂和地面的造價費用合計為面的造價費用合計為5 8005 800元元, ,如果墻高為如果墻高為

6、3m,3m,且不計房屋背面且不計房屋背面的費用的費用. .當(dāng)側(cè)面的長度為多少時當(dāng)側(cè)面的長度為多少時, ,總造價最低總造價最低? ?【思路點撥【思路點撥】用長度用長度x x表示出造價表示出造價, ,利用基本不等式求最值即可利用基本不等式求最值即可. .但要注意變量但要注意變量x x的取值范圍為的取值范圍為0 x5;0 x5;判斷函數(shù)取最小值時的判斷函數(shù)取最小值時的x x是否在定義域內(nèi)是否在定義域內(nèi), ,若不在定義域內(nèi)若不在定義域內(nèi), ,不能用基本不等式求最值不能用基本不等式求最值, ,可以考慮單調(diào)性可以考慮單調(diào)性. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】設(shè)總造價為設(shè)總造價為y,y,由題意可得由題意可得, ,y

7、=3(2xy=3(2x150+ 150+ 400)+5 800400)+5 800=900(x+ )+5 800(0 x5),=900(x+ )+5 800(00y0得得x4(x4(x0,b0)=2(a0,b0)上上, ,則則3a+2b3a+2b的最小值為的最小值為. .yxba【思路點撥【思路點撥】(1)(1)利用向量垂直的充要條件利用向量垂直的充要條件: :數(shù)量積為數(shù)量積為0,0,得到得到x,yx,y滿足的等式滿足的等式; ;利用冪的運算法則將待求的式子變形利用冪的運算法則將待求的式子變形; ;利用基利用基本不等式求出式子的最小值本不等式求出式子的最小值, ,注意檢驗等號何時取得注意檢驗等

8、號何時取得. .(2)(2)求得求得P P點坐標(biāo)代入直線方程點坐標(biāo)代入直線方程, ,再用再用“1”1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求解等式求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)ab, ,a=(x-1,2),=(x-1,2),b=(4,y),=(4,y),4(x-1)+2y=0,4(x-1)+2y=0,即即4x+2y=4.4x+2y=4.1616x x+4+4y y=2=24x4x+2+22y2y 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)2 24x4x=2=22y2y, ,即即4x=2y=24x=2y=2時取等號時取等號, ,故答案為故答案為8.8.答案答案: :8 84x 2y42 22 28,(2

9、)(2)由函數(shù)由函數(shù)f(xf(x)=log)=log2 2k(x+4)+2+1k(x+4)+2+1可知可知, ,當(dāng)當(dāng)x=-4x=-4時時,f(x,f(x)=2,)=2,即即P P點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為(-4,2).(-4,2).又又P P在直線在直線 =2(a0,b0)=2(a0,b0)上上, ,故故 =2,=2,即即 =1,=1,3a+2b=(3a+2b)( )=8+3a+2b=(3a+2b)( )=8+等號當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柈?dāng)且僅當(dāng)3a3a2 2=4b=4b2 2, ,即即 時取得時取得. .答案答案: :24ba21abyxba21ab3a4bba82 1284 3,2 3a2,b31384 3【互

10、動探究【互動探究】若本例若本例(2)(2)中函數(shù)改為中函數(shù)改為f(xf(x)=2)=2k(x+1)k(x+1)+1,+1,其余條件其余條件不變不變, ,又將如何求解又將如何求解? ?【解析【解析】由由f(xf(x)=2)=2k(x+1)k(x+1)+1+1可知圖象恒過定點可知圖象恒過定點P(-1,2),P(-1,2),依題意依題意,P,P在直線上在直線上, ,故故即即 3a+2b= 3a+2b= 等號當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柈?dāng)且僅當(dāng) 時取得時取得. .所以所以3a+2b3a+2b的最小值為的最小值為212ba ，111b2a ，1173ab7(3a2b)()2 3,b2a2ba2313a,b132272

11、3.2【拓展提升【拓展提升】1.1.函數(shù)中應(yīng)用基本不等式求最值的類型函數(shù)中應(yīng)用基本不等式求最值的類型(1)(1)以指數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體構(gòu)建條件以指數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體構(gòu)建條件, ,應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)用基本不等式求最值. .(2)(2)以二次函數(shù)為載體以二次函數(shù)為載體, ,結(jié)合根的分布、定義域、值域構(gòu)建條件結(jié)合根的分布、定義域、值域構(gòu)建條件, ,應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)用基本不等式求最值. .(3)(3)以高次函數(shù)為載體以高次函數(shù)為載體, ,結(jié)合導(dǎo)數(shù)構(gòu)建條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)構(gòu)建條件, ,應(yīng)用基本不等式求應(yīng)用基本不等式求最值最值. .2.2.基本不等式在其他數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用基本不等式在其他數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用

12、以函數(shù)、方程、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識為載體考查以函數(shù)、方程、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識為載體考查基本不等式求最值基本不等式求最值, ,是本部分中常見題型是本部分中常見題型, ,其解題的關(guān)鍵是正確其解題的關(guān)鍵是正確利用條件轉(zhuǎn)換成能利用基本不等式求解的形式利用條件轉(zhuǎn)換成能利用基本不等式求解的形式, ,同時要注意基同時要注意基本不等式的使用條件本不等式的使用條件. .【變式備選【變式備選】若直線若直線2ax-by+2=0(a0,b0)2ax-by+2=0(a0,b0)被圓被圓x x2 2+y+y2 2+2x-4y+1+2x-4y+1=0=0截得的弦長為截得的弦長為4,4,則則 的最小值是

13、的最小值是. .【解析【解析】圓圓x x2 2+y+y2 2+2x-4y+1=0+2x-4y+1=0即即(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,圓心為圓心為(-1,2),(-1,2),半徑為半徑為2,2,設(shè)圓心到直線設(shè)圓心到直線2ax-by+2=02ax-by+2=0的距離等于的距離等于d,d,則由弦長公式得則由弦長公式得 即直線即直線2ax-by+2=02ax-by+2=0經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心, ,-2a-2b+2=0,a+b=1-2a-2b+2=0,a+b=1，11ab22 4d4,d0,則則當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時等號成立時等號成立, ,故式子的最小值為故式

14、子的最小值為4.4.答案答案: :4 411ababbab a2224,abababa b【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】基本不等式與數(shù)列的綜合應(yīng)用基本不等式與數(shù)列的綜合應(yīng)用【典例【典例】(16(16分分) )設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,已已知知2a2a2 2=a=a1 1+a+a3 3, ,數(shù)列數(shù)列 是公差為是公差為d d的等差數(shù)列的等差數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式( (用用n,dn,d表示表示).).(2)(2)設(shè)設(shè)c c為實數(shù)為實數(shù), ,對滿足對滿足m+nm+n=3k=3k且且mnmn的任意正

15、整數(shù)的任意正整數(shù)m,n,km,n,k, ,不等不等式式S Sm m+S+Sn ncScSk k都成立都成立. .求證求證:c:c的最大值為的最大值為 . .nS92【思路點撥【思路點撥】【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意知由題意知:d0:d0， 2 2分分3( +d)3( +d)2 2-a-a1 1=( +2d)=( +2d)2 2, ,化簡化簡, ,得得:a:a1 1-2 -2 d+dd+d2 2=0, =d,a=0, =d,a1 1=d=d2 2, ,4 4分分 =d+(n-1)d=nd,S=d+(n-1)d=nd,Sn n=n=n2 2d d2 2, , 5 5分分當(dāng)當(dāng)n2n2時時

16、,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2d d2 2-(n-1)-(n-1)2 2d d2 2=(2n-1)d=(2n-1)d2 2, ,適合適合n=1n=1的情形的情形. .故所求故所求a an n=(2n-1)d=(2n-1)d2 2. . 7 7分分n11SSn1 dan1 d.213232132aaa3aS3 SS,S1a1a1a1anS(2)(2)由由 =d=d及及 +(n-1)d,+(n-1)d,得得d0,Sd0,Sn n=n=n2 2d d2 2. .于是于是, ,對滿足對滿足題設(shè)的題設(shè)的m,n,k,mnm,n,k,mn, ,有有S Sm m+S+Sn n=

17、 = 9 9分分所以所以所以所以c c的最大值為的最大值為 . .1111分分1an1Sa2222222k99dmkS ,2nnd2md2max9c2，92另一方面另一方面, ,任取實數(shù)任取實數(shù)a ,a ,設(shè)設(shè)k k為偶數(shù)為偶數(shù), ,令令m= k+1,n= k-1,m= k+1,n= k-1,則則m,n,km,n,k符合條件符合條件, ,且且S Sm m+S+Sn n=(m=(m2 2+n+n2 2)d)d2 2=d=d2 2( k+1)( k+1)2 2+( k-1)+( k-1)2 2= d= d2 2(9k(9k2 2+4).+4).1212分分于是于是, ,只要只要 即當(dāng)即當(dāng)k k 時

18、時,S,Sm m+S+Sn n d0,b0,a0,b0,若不等式若不等式 恒恒成立成立, ,則則m m的最大值為的最大值為. .【解析【解析】 ,a0,b0, ,a0,b0,又又5+ =5+4=9.5+ =5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) , ,即即a=ba=b時取時取“=”=”號號. .mm的最大值為的最大值為9.9.答案答案: :9 921mab2ab21mab2ab21()(2ab)mab；212b2a()(2ab)4 1abab 2b 2a2ab2a2bba4.(20134.(2013鹽城模擬鹽城模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=log)=loga a(x-1)+1(a0,a1)(

19、x-1)+1(a0,a1)的圖象恒過點的圖象恒過點A,A,若點若點A A在直線在直線mx-y+nmx-y+n=0=0上上, ,則則4 4m m+2+2n n的最小值為的最小值為. .【解析【解析】由題意由題意A(2,1).A(2,1).2m-1+n=0,2m-1+n=0,2m+n=1.2m+n=1.44m m+2+2n n=2=22m2m+2+2n n當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)2 22m2m=2=2n n,2m=n= ,2m=n= 時取等號時取等號. .答案答案: :2m n2 22 2.122 21.1.若若“ ”“ ”是是“對對正實數(shù)正實數(shù)x,2x+ c”x,2x+ c”的充要條件的充要條件, ,則

20、則實數(shù)實數(shù)c=c=. .【解析【解析】若若c0,c0, c-2x,c0, c-2x,根據(jù)根據(jù)x x是正數(shù)有是正數(shù)有acx-2xacx-2x2 2, ,y=cx-2xy=cx-2x2 2在在x x是正數(shù)時是正數(shù)時, ,值域是值域是y-2y-2( )( )2 2+c+c = , = ,則則a ,a ,于是于是答案答案: :1 11a8axaxc4c42c82c82c1c1.882.2.定義定義f(M)=(m,n,pf(M)=(m,n,p),),其中其中M M是是ABCABC內(nèi)一點內(nèi)一點,m,n,p,m,n,p分別是分別是MBC,MBC,MCA,MCA,MABMAB的面積的面積, ,已知已知ABCA

21、BC中中, BAC=30, BAC=30, ,f(N)=( ,x,yf(N)=( ,x,y),),則則 的最小值是的最小值是. .【解析【解析】 ,BAC=30 ,BAC=30, ,所以由向量的數(shù)量積公式得所以由向量的數(shù)量積公式得AB AC2 3 ，1214xyAB AC2 3 AB AC cos BAC2 3, AB AC4 ，ABC1SAB AC sin BAC1,2 由題意得由題意得, ,等號在等號在x= ,y= x= ,y= 時取到時取到, ,所以最小值是所以最小值是18.18.答案答案: :181811xy1.22 1414y4xy 4x2() xy2(5)2(52)18xyxyxyxy，1613