吉林省松原市扶余縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)直線與平面及兩平面的相對(duì)位置復(fù)習(xí)課件 新人教A版

《吉林省松原市扶余縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)直線與平面及兩平面的相對(duì)位置復(fù)習(xí)課件 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《吉林省松原市扶余縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)直線與平面及兩平面的相對(duì)位置復(fù)習(xí)課件 新人教A版（85頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、平行問題 相交問題垂直問題綜合問題分析及解法（一）平行問題（一）平行問題 1 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題（二）相交問題 1 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置

2、面、熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。面相交求交線的作圖方法。 3 3掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性的方法。掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性的方法。（三）垂直問題（三）垂直問題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。（四）點(diǎn)、線、面綜合題（四）點(diǎn)、線、面綜合題 1 1熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法；熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法； 2 2能對(duì)一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題能對(duì)一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。步驟和方法。 直線與平面平行直線與平面平行

3、 兩平面平行兩平面平行平行問題 直線與平面平行直線與平面平行D DB BC CA AP P若：若：ABABCD則：則：ABABPP 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。圖問題的依據(jù)。幾何條件：幾何條件：有關(guān)線、面平行的作圖問題有：有關(guān)線、面平行的作圖問題有： 判別已知線面是否平行；判別已知線面是否平行； 作直線與已知平面平行；作直線與已知平面平行； 包含已知直線作平面與另一已知直線平行。包含已知直線作平面與另一已知直線平行。fgfg結(jié)論：直線

4、結(jié)論：直線ABAB不平行于定平面不平行于定平面 例例11 試判斷直線試判斷直線AB是否平行于定平面是否平行于定平面n a c b m abcmn 例例2 2 過過M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MN平行于平面平行于平面ABC。有無數(shù)解有無數(shù)解d dX X正平線正平線 例例3 3 過過M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MN平行于平行于V面和面和 平面平面 ABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d dX Xbaaffb 例例44 試過點(diǎn)試過點(diǎn)K作水平線作水平線AB平行于平行于CDE平面平面直線與特殊位置平面平行直線與特殊位置平面平行 XOABa(b)CDEFGHcde(f)h(g)aba(b)ccddefe(f)g

5、hh(g) 當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，只要平面有積聚性的投影和直當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行，或直線也為該投影面的垂線，則直線與平面線的同面投影平行，或直線也為該投影面的垂線，則直線與平面必定平行。必定平行。 兩平面平行兩平面平行 若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。 判別兩已知平面是否相互平行； 過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行； 已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。幾何條件：幾何條件： 兩平面平行的作圖問題有：兩平面平行的作圖問題有：兩平面平行兩平面平行 若一平面上的兩相交直線分別平

6、行于另一若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。ABAB；ACAC； 則：則：P PQ Q 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。積聚性的那組投影必相互平行。XOe(f)Fh(g)GEHgfh(g)e(f)OehABCacbabcacb兩特殊位置平面平行兩特殊位置平面平行 c f b d e a abcdefX Xf g abcdefga b c d e X X兩特殊位置平面平行兩特殊位置平面平行 兩一般位置平面平行兩一般位置平面平行 acebb a d d

7、fc f e khk h O OX Xm m由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故兩平面故兩平面不平行。不平行。 例例11 判斷平面判斷平面ABDCABDC與平面與平面EFHMEFHM是否平行，是否平行， 已知已知ABCDEFMHABCDEFMH例2 試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行emnmnfefsrsrkk 例例33 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。試過給定。試過 點(diǎn)點(diǎn)K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。例4 試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)榻Y(jié)論：因?yàn)镻H平行平行SH，所以兩平面平行，所以兩平面平行 直線與平

8、面相交直線與平面相交 兩平面相交兩平面相交5. 2 相交問題 直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。共有點(diǎn)。1. 直線與平面相交直線與平面相交要討論的問題：要討論的問題：(1) (1) 求直線與平面的交點(diǎn)。求直線與平面的交點(diǎn)。 (2) (2) 判別兩者之間的相互遮判別兩者之間的相互遮 擋關(guān)系，即判別可見性。擋關(guān)系，即判別可見性。 我們將分別討論一般位置的直線與平我們將分別討論一般位置的直線與平面或至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。面或至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。2. 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面為直線，交線是

9、兩平面的共有線，同時(shí)交線上的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。點(diǎn)。要討論的問題：要討論的問題： 求兩平面的交線求兩平面的交線方法：方法： 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。判別可見性。直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交1. 直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。交點(diǎn)可直接求出。bbaaccmmnnk k2. 判

10、斷直線的可見性特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。 kbbaaccmmnnk 例例1 1 求直線求直線MN與平面與平面ABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析: 平面平面ABC是一鉛垂是一鉛垂面，其水平投影積聚成面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水點(diǎn)的水平投影。平投影。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 為可見。為可見。 還

11、可通過重影還可通過重影點(diǎn)判別可見性。點(diǎn)判別可見性。 平面為特殊位置平面為特殊位置abcmnc n b a m k k1 1 (2(2 ) )2 21 1X Xkm(n)bm n c b a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析: 直線直線MN為鉛垂線，其為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)故交點(diǎn)K的水平投影也積聚的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)位于平面上，在位于平面上，在前，點(diǎn)前，點(diǎn)位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 為不可見為不可見。k 221 111 (2(2 ) )X X( )k

12、21k21例例2 2 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題，由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交線可直接求出。 1.求交線 2.判斷平面的可見性MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmmlnbaccabfkfkabcdefc f d b e a m (n )例例3 3 求兩平面的交線求兩平面的交線 MN并判別可見性。并判別可見性。空間及投影分析：空間及投影分析： 求交線求交線 判別可見性判別可見性 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面在交線左側(cè)，平面ABC在在上，其水平投影可見。上，其水平投影可見。mn 平面平面ABC與與DEF都為都為 正垂面，它們的交線為

13、一正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂投影，交線的水平投影垂直于直于OX軸。軸。 還可通過重影點(diǎn)還可通過重影點(diǎn)判別可見性判別可見性a abd( (e) )ebdh( (f) )cfchmn空間及投影分析：空間及投影分析： 平面平面DEFH是一鉛垂面，是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其它的水平投影有積聚性，其與與ac、bc的交點(diǎn)的交點(diǎn)m 、n 即為即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投影。的水平投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)在在MC上，

14、點(diǎn)上，點(diǎn)在在FH上，點(diǎn)上，點(diǎn)在前，點(diǎn)在前，點(diǎn)在在后，故后，故m c 可見?？梢?。作圖作圖X X211 1(2(2) )mnbc d e f a b acdef投影分析投影分析 N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n位于位于def 的外面，說明點(diǎn)的外面，說明點(diǎn)N位位于于DEF所確定的平面內(nèi)所確定的平面內(nèi)，但不位于，但不位于DEF這個(gè)圖這個(gè)圖形內(nèi)。形內(nèi)。 所以所以ABC和和DEF的的交線應(yīng)為交線應(yīng)為MK。mkk nn 求交線求交線 判別可見性判別可見性作圖作圖m DEF的正面投影積聚的正面投影積聚以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖判別可見性 示意圖1 1 2 2 QV2

15、 21 1kk步驟：步驟：1過過EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面與平面與ABC的交線的交線。3求交線求交線與與EF的交的交點(diǎn)點(diǎn)K。示意圖以正垂面為輔助平面求直線以正垂面為輔助平面求直線EF與與ABC平面的交點(diǎn)平面的交點(diǎn)ABCQ過過EF作正垂面作正垂面QEF以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖示意圖2 2PH1 1 步驟：步驟：1過過EF作鉛作鉛垂平面垂平面P。2求求P平面與平面與ABC的交線的交線。3求交線求交線與與EF的交的交點(diǎn)點(diǎn)K。kk2 2 示意圖以鉛垂面為輔助平面求直線以鉛垂面為輔助平面求直線EF與與ABC平面的交點(diǎn)平面的交點(diǎn)1 1過過EF作鉛垂面作

16、鉛垂面P以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖示意圖FCABPEFKEfee直線EF與平面 ABC相交，判別可見性。利利用用重重影影點(diǎn)點(diǎn)判判別別可可見見性性1243（）kk(3)4示意圖示意圖( )2131 (2)(4)3利利用用重重影影點(diǎn)點(diǎn)判判別別可可見見性性直線直線EF與平面與平面 ABC相交，判別可見性。相交，判別可見性。 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題, 因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線兩一般位置平面相交求交線判別可見性判別可見性兩一般位置平兩一般位置平面相交，求交面相交，

17、求交線步驟：線步驟：1用求直線用求直線與平面交點(diǎn)的與平面交點(diǎn)的方法，作出兩方法，作出兩平面的兩個(gè)共平面的兩個(gè)共有點(diǎn)有點(diǎn)K、E。llnmmnPVQV1221kkee2連接兩個(gè)連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出共有點(diǎn)，畫出交線交線KE。示意圖示意圖求兩平面的交求兩平面的交線線兩一般位置平面相交求交線的方法兩一般位置平面相交求交線的方法 示意圖示意圖 利用求一般位置利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的其連線即為兩平面的交線。交線。MBCAFKNL利利用用重重影影點(diǎn)點(diǎn)判判別別可可見見性性兩平面相交，判別可見性兩平面相交，判別可見性3 3 4 4 (

18、 )34342 21 1( )1 1 2 2 試過試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面點(diǎn)作一直線平行于已知平面ABC，并與，并與直線直線EF相交相交 。綜合性問題解法 綜合性問題解法 綜合性問題解法 過已知點(diǎn)過已知點(diǎn)K作平面作平面P平行平行于于 ABC；直線；直線EF與平面與平面P交于交于H；連接連接KH，KH即為所求。即為所求。FPEKHmnhhnmPV11221過點(diǎn)過點(diǎn)K作平面作平面KMN/ ABC平面。平面。2求直線求直線EF與平面與平面KMN的交點(diǎn)的交點(diǎn)H 。3連接連接KH，KH即即為所求。為所求。 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平面互相垂直兩平面互相垂直垂直問題VHPAKLDCBE幾何條

19、件：幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面 的一切直線。的一切直線。定理定理1 1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬 于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直 于屬于該平面的正平線的正面投影。于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO定理定理2 2：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線（逆）（逆） 的正面投影垂直于屬于平面的

20、正平線的正面投影、則的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則 直線必垂直于該平面。直線必垂直于該平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXOacacnnmfdbdbfmhhhhhhkkSVkkPVkkQHefemnmncaadbcdbfXOnnXO平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角。互為補(bǔ)角。HPAKFDCBEf直徑任取直徑任取NM|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|30304545m nm n khnnXO幾何條件：幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所若一直線垂

21、直于一定平面，則包含這條直線的所 有平面都垂直于該平面。有平面都垂直于該平面。PAB 反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。AB兩平面垂直兩平面垂直兩平面不垂直兩平面不垂直ABghacachkkfdbdbfgXOghachackkbbgffdd結(jié)論：結(jié)論：兩平面不平行兩平面不平行XO 5.4.1 空間幾何元素定位問題空間幾何元素定位問題 5.4.2 空間幾何元素度量問題空間幾何元素度量問題 5.4.3 綜合問題解題舉例綜合問題解題舉例求解綜合問題主要包括：求

22、解綜合問題主要包括： 平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個(gè)單個(gè)平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個(gè)單個(gè)問題的投影特性、作圖原理與方法。而實(shí)際問題是綜合問題的投影特性、作圖原理與方法。而實(shí)際問題是綜合性的，涉及多項(xiàng)內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。性的，涉及多項(xiàng)內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。綜合問題解題的一般步驟：綜合問題解題的一般步驟： 1. 分析題意分析題意 2. 明確所求結(jié)果，找出解題方法明確所求結(jié)果，找出解題方法 3. 擬定解題步驟擬定解題步驟空間幾何元素的空間幾何元素的定位問題定位問題（交點(diǎn)、交線）（交點(diǎn)、交線）空間幾何元素的空間幾何元素的度量問題度量問題（如距離、角度）（如距

23、離、角度）。cghefdcefghdXO 所求得直線所求得直線AB一定在平行于一定在平行于CD的平面上，并且與的平面上，并且與交叉直線交叉直線EF、GH相交。相交。ABCDHGEFkkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb EQFAK2 2 11 1 2 22 2 1 1a efaf e 1 1 2 2PVkk度量問題度量問題是解決距離和角度的度量問題，主要基礎(chǔ)是根據(jù)是解決距離和角度的度量問題，主要基礎(chǔ)是根據(jù) 直角投影定理作平面的垂線或直線的垂面，并求直角投影定理作平面的垂線或直線的垂面，并求 其實(shí)長(zhǎng)或?qū)嵭?。其?shí)長(zhǎng)或?qū)嵭巍?1.1.距離的度量距離的度量點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離點(diǎn)到點(diǎn)之間的

24、距離. 求二點(diǎn)之間線段的實(shí)長(zhǎng)（直角三求二點(diǎn)之間線段的實(shí)長(zhǎng)（直角三 角形法）。角形法）。 點(diǎn)到直線之間的距離點(diǎn)到直線之間的距離. .過點(diǎn)作平面垂直于直線，求出垂過點(diǎn)作平面垂直于直線，求出垂 足，再求出點(diǎn)與垂足之間的線段足，再求出點(diǎn)與垂足之間的線段 實(shí)長(zhǎng)。實(shí)長(zhǎng)。 點(diǎn)到平面之間的距離點(diǎn)到平面之間的距離. .過點(diǎn)作平面的垂線，求出垂足，過點(diǎn)作平面的垂線，求出垂足，. .再求出點(diǎn)與垂足之間的線段實(shí)長(zhǎng)。再求出點(diǎn)與垂足之間的線段實(shí)長(zhǎng)。 直線與直線平行之間的距離直線與直線平行之間的距離直線與交叉直線之間的距離直線與交叉直線之間的距離直線與平面平行之間的距離直線與平面平行之間的距離平面與平面平行之間的距離平面與

25、平面平行之間的距離過一直線上任一點(diǎn)作另一直線的垂線，余下方法同點(diǎn)到直過一直線上任一點(diǎn)作另一直線的垂線，余下方法同點(diǎn)到直線的距離。線的距離。包含一直線作一平面平行于另一直線，在另一直線上任取包含一直線作一平面平行于另一直線，在另一直線上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線，求出垂足，再求出點(diǎn)與垂足之一點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線，求出垂足，再求出點(diǎn)與垂足之間的線段實(shí)長(zhǎng)。間的線段實(shí)長(zhǎng)。 過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線。方法同點(diǎn)到平面的距離。過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線。方法同點(diǎn)到平面的距離。 過一平面上任一點(diǎn)作另一平面的垂線。余下方法同點(diǎn)到平過一平面上任一點(diǎn)作另一平面的垂線。余下方法同點(diǎn)到平面的距離。面的距離。 PQPP

26、DBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELFcabcabXOPABCK 過過C點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線AB的垂線的垂線CK一定在過一定在過C點(diǎn)并且與點(diǎn)并且與AB垂直垂直的平面的平面P內(nèi)，過內(nèi)，過C點(diǎn)作一平面與直線點(diǎn)作一平面與直線AB垂直，求出該平面與垂直，求出該平面與AB的交點(diǎn)的交點(diǎn)K，最后求出垂線，最后求出垂線CK的實(shí)長(zhǎng)即為所求。的實(shí)長(zhǎng)即為所求。cabcabXOeded1212kk所求距離所求距離PVcabcabXOeded1212kk所求距離所求距離PVdd 作出垂線作出垂線后，用輔助平后，用輔助平面法求出垂線面法求出垂線與平與平面的交點(diǎn)（即面的交點(diǎn)（即垂足），再用垂足），再用直角三角形

27、法直角三角形法求出線段的實(shí)求出線段的實(shí)長(zhǎng)即可。長(zhǎng)即可。 hfeb mbacach所求距離所求距離 MK實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)kkXOefmccababXOddLKABDCGHEFP 過一條直線過一條直線CDCD作平面作平面P P平行于另一條直線平行于另一條直線ABAB，在過點(diǎn)，在過點(diǎn)A A作平作平面面P P的垂線的垂線AHAH，求出垂足點(diǎn)，求出垂足點(diǎn)E E；在平面；在平面P P上過點(diǎn)上過點(diǎn)E E作直線作直線EFEFABAB與與直線直線CDCD交于點(diǎn)交于點(diǎn)K K；過點(diǎn)；過點(diǎn)K K作直線作直線KL KL AHAH交交ABAB于于L L點(diǎn)，點(diǎn)，KLKL即為所求即為所求的公垂線。的公垂線。gg1122h3434ee

28、f kklflccababXOddhPH2.2.角度的度量角度的度量?jī)上嘟恢本€間的夾角兩相交直線間的夾角直線與平面的夾角直線與平面的夾角兩平面間的夾角兩平面間的夾角PABCEF任作一直線分別與兩相交直線相交，構(gòu)成三角形，求三任作一直線分別與兩相交直線相交，構(gòu)成三角形，求三角形的實(shí)形（分別求出三邊的實(shí)長(zhǎng)），夾角即可求得。角形的實(shí)形（分別求出三邊的實(shí)長(zhǎng)），夾角即可求得。 兩相交直線間的夾角兩相交直線間的夾角 PCAB直線和它在平面上的投影所夾的銳角，稱為直線與面的夾角。過直線上直線和它在平面上的投影所夾的銳角，稱為直線與面的夾角。過直線上任一點(diǎn)角度作平面的垂線，求出直線與垂線的夾角（方法同兩相交直

29、線任一點(diǎn)角度作平面的垂線，求出直線與垂線的夾角（方法同兩相交直線的夾角）的余角，余角即為所求。此法又稱的夾角）的余角，余角即為所求。此法又稱余角法余角法。 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 PQ兩平面間的夾角兩平面間的夾角兩平面間的夾角就是兩平面二面角的平面角。在空間任取一兩平面間的夾角就是兩平面二面角的平面角。在空間任取一點(diǎn)，分別作二平面的垂線，求出二垂線間的夾角點(diǎn)，分別作二平面的垂線，求出二垂線間的夾角( (方法同兩相方法同兩相交直線間的夾角交直線間的夾角) )的補(bǔ)角，補(bǔ)角即為所求。此法又稱的補(bǔ)角，補(bǔ)角即為所求。此法又稱補(bǔ)角法補(bǔ)角法。 BCA作作的余角的余角，即為所求直線與平面的夾角。，即為所求直線與平面的夾角。 fXObe ebacac dd fdfef