高中數(shù)學(xué) 利用向量法求空間角課件 新人教A版選修2

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1、3.2.3立體幾何中的向量方法一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”（1 1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（化為向量問(wèn)題）（化為向量問(wèn)題）（2 2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（3 3）把向量的運(yùn)算結(jié)果）把

2、向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形）（回到圖形）向量的有關(guān)知識(shí)：3、平面的法向量：、平面的法向量：_1、兩向量數(shù)量積的定義：、兩向量數(shù)量積的定義：a b= _2、兩向量夾角公式：、兩向量夾角公式：cos a,b = _ |a|b| cosa,b與平面垂直的向量與平面垂直的向量baba 例1：在RtAOB中，AOB=90，現(xiàn)將AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1 、A1O1的中點(diǎn)D1 、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。ABOF1B1O1A1D1二、知識(shí)講解與典例分析二、知識(shí)講解與典例分析

3、ABOF1B1O1A1D1 解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，并設(shè)OA=1,則：A(1,0,0)B(0,1,0)F1( ,0,1)21D1( , ,1)2121),1 , 0 ,21(1AF所以，異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值為1030 例1：在RtAOB中，AOB=90，現(xiàn)將AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1 、A1O1的中點(diǎn)D1 、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。xyz) 1 ,21,21(1BD23451041111111,cosBDAFBDAFBDAF1030點(diǎn)評(píng)：向量法求異面直線所成角的

4、余弦值的一般步驟點(diǎn)評(píng)：向量法求異面直線所成角的余弦值的一般步驟建系求兩異面直線的方向向量求兩方向向量的夾角的余弦值得兩異面直線所成角的余弦值 例2:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別為CD、DD1的中點(diǎn)， (1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值; (2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解： (1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1),0 , 1 , 0(11CB)0

5、, 1 , 1 (),1 , 0 , 1 (1ACAB設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)33C001 ACnABn,則故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為3331010111111,cosCBnCBnCBn點(diǎn)評(píng)：向量法求直線與平面所成角的正弦值的一般步驟點(diǎn)評(píng)：向量法求直線與平面所成角的正弦值的一般步驟建系求直線的方向向量求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值得直線與平面所成角的正弦值求平面的法向量xyzADCA1D1C1B1BFE 例2 (2)點(diǎn)E、F分別為CD、DD1的中

6、點(diǎn)，求二面角F-AE-D的余弦值。取y2=1,得x2=z2=-2(2)由題意知)0,1 ,21(),21,1 ,0(FE)0 , 1 ,21(),21, 1 , 0(AEAF設(shè)平面AEF的法向量為m=(x2,y2,z2),所以02122zy02122 yx故m=(-2, 1,-2)又平面AED的法向量為AA1=(0,0,1) 觀察圖形知，二面角F-AE-D為銳角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值為320, 0AEmAFm則32132111,cosAAmAAmAAm點(diǎn)評(píng)：法向量法求二面角的余弦值的一般步驟點(diǎn)評(píng)：法向量法求二面角的余弦值的一般步驟建系求兩平面的法向量求兩法向量的夾角的余弦值得二面

7、角的余弦值abo過(guò)空間任意一點(diǎn)o分別作異面直線a與b的平行線a與b，那么直線a與b 所成的不大于90的角 ，叫做異面直線a與b 所成的角。異面直線所成的角異面直線所成的角 （范圍：（范圍： ）2,0ab（1）當(dāng) 與 的夾角不大于90時(shí)，異面直線a、b 所成的角 與 和 的夾角mnmn用向量法求異面直線所成角用向量法求異面直線所成角設(shè)兩異面直線a、b的方向向量分別為 和 ，mnababocosnm,cosn相等相等m互補(bǔ)互補(bǔ)ababonmcosnm,cos（2）當(dāng) 與 的夾角大于90時(shí)，異面直線a、b 所成的角 與 和 的夾角mnnm所以，異面直線所以，異面直線a a、b b所成的角的余弦所成的

8、角的余弦值為值為nmnm 用向量法求異面直線所成角用向量法求異面直線所成角設(shè)兩異面直線a、b的方向向量分別為 和 ，mnnm,coscos222222212121212121zyxzyxzzyyxx直線與平面所成的角直線與平面所成的角 （范圍：（范圍： ）2,0=sinnAB,cosBAOn nBAOn n相等相等=nAB,cos=)2cos()2cos(互補(bǔ)互補(bǔ)nAB,cos所以，直線與平面所成的角的正弦值為 的余角與的關(guān)系？問(wèn)題1 的余角與的關(guān)系？問(wèn)題2二面角二面角（范圍：（范圍： ）,0n n1 1n n2 221,nn21,nncos21,cosnncos21,cosnnn n1 1n

9、 n2 2 例3 如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A，B到直線 （庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為 和 ,CD的長(zhǎng)為 , AB的長(zhǎng)為 .求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值. abcd ABCD 解：如圖，. dABcCDbBDaAC ，化為向量問(wèn)題根據(jù)向量的加法法則DBCDACAB 進(jìn)行向量運(yùn)算222)(DBCDACABd DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得22222dcbaDBCA 設(shè)向量 與 的夾角為 ， 就是庫(kù)底與水壩所成的二面角.CADB 因此.cos22222dcbaab 所以.2cos2222abdcba 回到圖形問(wèn)題庫(kù)底與水壩

10、所成二面角的余弦值為.22222abdcba )(2222DBCDDBACCDACBDCDACl 如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，直線直線SO平面平面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求： 異面直線異面直線SA和和OB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； 直線直線OS與平面與平面SAB所成角所成角的正弦值；的正弦值； 二面角二面角BASO的余弦值的余弦值. .OABCS三、鞏固練習(xí)三、鞏固練習(xí) 如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO平面平面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.

11、求求異面直線異面直線SA和和OB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； OS與平面與平面SAB所成角所成角的正弦值；的正弦值； 二面角二面角BASO的余弦值的余弦值. .A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示xyzC（0，1，0）；510252OBSAOBSAOBSA,cos).1 (所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為510（3）由（2）知面SAB的法向量 =（1，1，2） 1n又OC平面AOS，O

12、C 是平面AOS的法向量，令)0, 1 ,0(2 OCn則有二面角BASO的余弦值為66020zxyx取x=1，則y=1，z=2；故)2 , 1 , 1 (n（2）設(shè)平面SAB的法向量),(zyxn 顯然有0, 0SAnABn36612,cossinnOSnOSnOS66161,cos212121nnnnnnababocosnm,cosnmababonmcosnm,cosmnnm四、課堂小結(jié)四、課堂小結(jié)1.異面直線所成角： cos|cos,| a b2.直線與平面所成角： sincos, n AB|ABOnnlcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA3.二面角：ll 1n 1n 2n 2n cos12cos, n ncos12cos, n n 五、布置作業(yè)：五、布置作業(yè)：課本課本P112P112、A A組第組第6 6題題