高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用章末提升 蘇教版選修1-1

第3章導數(shù)及其應用知識網(wǎng)絡 整體構(gòu)建要點歸納 主干梳理方法總結(jié) 思想構(gòu)建欄目索引 知識網(wǎng)絡 整體構(gòu)建返回 要點歸納 主干梳理函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率.2.曲線的切線方程利用導數(shù)求曲線過點P的切線方程時應注意：(1)判斷P點是否在曲線上；(2)如果曲線yf(x)在P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)，可得方程為xx0；P點坐標適合切線方程，P點處的切線斜率為f(x0).3.利用基本初等函數(shù)的求導公式和四則運算法則求導數(shù)，熟記基本求導公式，熟練運用法則是關鍵，有時先化簡再求導，會給解題帶來方便.因此觀察式子的特點，對式子進行適當?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關鍵.4.判斷函數(shù)的單調(diào)性(1)在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)注意在某一區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件.5.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值要注意(1)極值是一個局部概念，是僅對某一點的左右兩側(cè)鄰近區(qū)域而言的.(2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點可能不止一個，也可能沒有極值點，函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個極小值也不一定比它的一個極大值小.(3)可導函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為零的點，但函數(shù)的導數(shù)為零的點，不一定是該函數(shù)的極值點.因此導數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件，其充要條件是加上這點兩側(cè)的導數(shù)異號.6.求函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)，在a，b上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值，例如：f(x)x3，x(1,1).(2)求函數(shù)最值的步驟一般地，求函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的步驟如下：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.7.應用導數(shù)解決實際問題，關鍵在于建立恰當?shù)臄?shù)學模型(函數(shù)關系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點x0，使f(x0)0，則f(x0)是函數(shù)的最值.返回 方法總結(jié) 思想構(gòu)建題型一導數(shù)幾何意義的應用導數(shù)幾何意義的應用，主要體現(xiàn)在與切線方程有關的問題上.利用導數(shù)的幾何意義求切線方程的關鍵是弄清楚所給的點是不是切點，常見類型有兩種：一種是求“在某點處的切線方程”，此點一定為切點，先求導，再求斜率，進而求出切線方程；另一種是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設切點為Q(x1，y1)，則切線方程為yy1f(x1)(xx1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0 x1).又已知y1f(x1)由求出x1，y1的值，即求出了過點P(x0，y0)的切線方程.切線問題是高考的熱點內(nèi)容之一，在高考試題中既有選擇題、填空題，也有綜合性大題，難度一般為中等.例1已知函數(shù)f(x)xaln x(aR).(1)當a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；解析答案f(1)1，f(1)1, yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1), 即xy20.(2)求函數(shù)f(x)的極值.解析答案當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； 當a0時，由f(x)0，解得xa; x(0，a)時，f(x)0，f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值.綜上，當a0時，函數(shù)f(x)無極值；當a0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值.反思與感悟反思與感悟跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；解因為f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.解析答案(2)是否存在實數(shù)k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由.解析答案解因為直線m過定點(0,9)，先求過點(0,9)，且與曲線yg(x)相切的直線方程.解析答案當x01時，g(1)12，g(x)21，切點坐標為(1,21)，所以切線方程為y12x9；當x01時，g(1)0，g(1)9，切點坐標為(1,9)，所以切線方程為y9.下面求曲線yf(x)的斜率為12和0的切線方程：因為f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.當x0時，f(0)11，此時切線方程為y12x11；當x1時，f(1)2，此時切線方程為y12x10.所以y12x9不是公切線.由f(x)0，得6x26x120，解析答案解得x1或x2.當x1時，f(1)18，此時切線方程為y18；當x2時，f(2)9，此時切線方程為y9，所以y9是公切線.綜上所述，當k0時，y9是兩曲線的公切線.題型二應用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.解析答案反思與感悟解由題知，f(x)的定義域是(0，)，設g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.解析答案反思與感悟當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值反思與感悟反思與感悟求解函數(shù)yf(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導數(shù)yf(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.特別要注意定義域，寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“”連接.解析答案(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解函數(shù)f(x)的定義域為(，)，當x0時，f(x)0；當x0時f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，).(2)證明：當f(x1)f(x2)(x1x2)時，x1x20.解析答案解析答案同理，當x1時，f(x)0.當f(x1)f(x2)(x1x2)時，不妨設x1x2，由(1)，知x1(，0)，x2(0,1).下面證明x(0,1)，f(x)f(x)，當x(0,1)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，所以x(0,1)，f(x)f(x).又因為x2(0,1)，所以f(x2)f(x2)，從而f(x1)f(x2).因為x1，x2(，0)，f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，所以x1x2，即x1x20.題型三利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值1.利用導數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f(x)0的根；(3)檢驗f(x)0的根的兩側(cè)f(x)的符號.若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值；若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點.2.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值.特別地，當f(x)在a，b上單調(diào)時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；當f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(小)值， 這里(a，b)也可以是(，).解析答案解f(x)3x22axb，當x2時，f(2)2，即切點為(2,2).又因為切線斜率kf(2)8，所以，所求切線方程為y28(x2)，即8xy140.解析答案(2)求函數(shù)yf(x)在2,1上的最大值與最小值.解當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：解析答案(1)若f(x)在x2時取得極值，求a的值；因為f(x)的定義域是(0，)，所以當x(0,2)時，f(x)0；當x(2，)，f(x)0，所以當a4時，x2是一個極小值點，則a4.(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解析答案解析答案所以g(x)在x(1，)上為增函數(shù)，題型四導數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應用利用導數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點、熱點.考題利用導數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問題，若以填空題出現(xiàn)，則難度以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時也以壓軸題的形式出現(xiàn).考查中常滲透函數(shù)、不等式等有關知識，綜合性較強.解析答案解f(x)x24ax3a2(xa)(x3a).令f(x)0，得xa或x3a.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)在(，a)和(3a，)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù).當x3a時，f(x)取得極大值，f(x)極大值f(3a)b.解析答案(2)若當xa1，a2時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍；解f(x)x24ax3a2，其對稱軸為x2a.因為0a1，所以2aa1.所以f(x)在區(qū)間a1，a2上是減函數(shù).當xa1時，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；當xa2時，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.又因為0a1，解析答案要使f(x)0在1,3上恒有兩個相異實根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一個實根，解析答案解析答案則f(x)x24.因為x2,1，所以f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞減.1.函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍問題，可以有兩種類型：一是已知函數(shù)單調(diào)性(或極值)，求參數(shù)范圍；二是已知函數(shù)最值(或恒成立)等性質(zhì)，求參數(shù)范圍.這兩種類型從實質(zhì)上講，可以統(tǒng)一為：已知函數(shù)值的變化規(guī)律，探求其參數(shù)變化范圍.2.在解決問題的過程中主要處理好等號的問題：(1)注意定義域；(2)函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充要條件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒為零；(3)與函數(shù)最值有關問題要注意最值能否取得的情況，一般我們可以研究臨界值取舍即可.課堂小結(jié)返回