《2017-2018學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例優(yōu)化練習 新人教A版選修4-5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例優(yōu)化練習 新人教A版選修4-5.doc（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例
[課時作業(yè)]
[A組 基礎(chǔ)鞏固]
1．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋
1)時，第一步即證下述哪個不等式成立( )
A．1<2 B．1＋<2
C．1＋＋<2 D．1＋<2
解析：∵n∈N＋，且n>1，
∴第一步n＝2，左邊＝1＋＋，右邊＝2，
即1＋＋<2，應(yīng)選C.
答案：C
2．用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>成立時，起始值n0至少應(yīng)取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：1＋＋＋＋＋…＋＝，
n－1＝6，n＝7，故n0＝8.
答案：B
3．用數(shù)學歸納法證明 “Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”時，S1等于( )
A. B．
C. ＋ D．＋＋
解析：因為S1的首項為＝，末項為＝，所以S1＝＋＋，故選D.
答案：D
4．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當“f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命題總成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，則當k<5時，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，則當k≥8時，均有f(k)42，因此對于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．
答案：D
5．某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當n＝k(k∈N＋)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時，命題也成立．現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，那么可推得( )
A．當n＝6時該命題不成立
B．當n＝6時該命題成立
C．當n＝4時該命題不成立
D．當n＝4時該命題成立
解析：與“如果當n＝k(k∈N＋)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時命題也成立”等價的命題為“如果當n＝k＋1時命題不成立，則當n＝k(k∈N＋)時，命題也不成立”．故知當n＝5時，該命題不成立，可推得當n＝4時該命題不成立，故選C.
答案：C
6．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可歸納出一般性結(jié)論：________.
解析：由題意得1＋＋＋…＋<(n∈N＋)．
答案：1＋＋＋…＋<(n∈N＋)
7．用數(shù)學歸納法證明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈N＋，a≠kπ，n∈N＋)，在驗證n＝1時，左邊計算所得的項是________．
答案：＋cos α
8．用數(shù)學歸納法證明：2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)時，第一步應(yīng)驗證________．
答案：n＝1時，22≥12＋1＋2，即4＝4
9．證明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋ )．
證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，不等式成立．
(2)假設(shè)當n＝k(k≥1)時，命題成立，即
1＋＋＋…＋<2(k∈N＋)．
當n＝k＋1時，左邊＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝，
現(xiàn)在只需證明<2，
即證：2<2k＋1，
兩邊平方，整理得0<1，顯然成立．
∴<2成立．
即1＋＋＋…＋＋<2成立．
∴當n＝k＋1時，不等式成立．
由(1)(2)知，對于任何正整數(shù)n原不等式都成立．
10．設(shè)Sn＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，設(shè)計算S1，S2，S3，并猜想Sn的表達式，然后用數(shù)學歸納法給出證明．
解析：∵S1＝＝＝，
S2＝＋＝＝，
S3＝＋＋＝＝，
……
猜想Sn＝(n∈N＋)．
下面用數(shù)學歸納法證明：
(1)當n＝1時，左邊S1＝＝，右邊＝＝，等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時等式成立，即
＋＋＋…＋＝，
則當n＝k＋1時，
＋＋＋…＋＋＝＋
＝＝＝，
這就是說，
當n＝k＋1時，等式成立．
由(1)(2)可知，
等式Sn＝對n∈N＋都成立．
[B組 能力提升]
1．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,
1＋＋＋…＋>，…，由此猜測第n(n∈N＋)個不等式為( )
A．1＋＋＋…＋>
B．1＋＋＋…＋>
C．1＋＋＋…＋>
D．1＋＋＋…＋>
解析：∵1,3,7,15,31，…的通項公式為an＝2n－1，
∴不等式左邊應(yīng)是1＋＋＋…＋.
∵，1，，2，，…的通項公式為bn＝，
∴不等式右邊應(yīng)是.
答案：C
2．用數(shù)學歸納法證明不等式“＋＋…＋>(n>2，n∈N＋)”時的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，不等式的左邊( )
A．增加了一項
B．增加了兩項，
C．增加了兩項，，又減少了一項
D．增加了一項，又減少了一項
解析：當n＝k時，左邊＝＋＋…＋.
當n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋.
故由n＝k到n＝k＋1時，不等式的左邊增加了兩項，又減少了一項．
答案：C
3．用數(shù)學歸納法證明某不等式，其中證n＝k＋1時不等式成立的關(guān)鍵一步是：＋>＋( )>，括號中應(yīng)填的式子是________．
解析：由>k＋2，聯(lián)系不等式的形式可知，應(yīng)填k＋2.
答案：k＋2
4．設(shè)a，b均為正實數(shù)，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，則M，N的大小關(guān)系為________(提示：利用貝努利不等式，令x＝)．
解析：令x＝，∵M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，
∴＝(1＋x)n，＝1＋nx.
∵a>0，b>0，∴x>0.
由貝努利不等式得(1＋x)n>1＋nx.
∴>，∴M>N
答案：M>N
5．對于一切正整數(shù)n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學歸納法證明，并再證明不等式：n(n＋1)>lg(123…n)．
證明：猜想當t＝3時，對一切正整數(shù)n使3n>n2成立．下面用數(shù)學歸納法進行證明．
當n＝1時，31＝3>1＝12，命題成立．
假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，3k>k2成立，
則有3k≥k2＋1.
對n＝k＋1,3k＋1＝33k＝3k＋23k
>k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.
∵(3k2＋1)－(k＋1)2
＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，
∴3k＋1>(k＋1)2，
∴對n＝k＋1，命題成立．
由上知，當t＝3時，對一切n∈N＋，命題都成立．
再用數(shù)學歸納法證明：
n(n＋1)>lg(123…n)．
當n＝1時，1(1＋1)＝>0＝lg 1，命題成立．
假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，
k(k＋1)>lg(123…k)成立．
當n＝k＋1時，(k＋1)(k＋2)
＝k(k＋1)＋2(k＋1)
>lg(123…k)＋lg 3k＋1
>lg(123…k)＋lg(k＋1)2
＝lg[123…k(k＋1)]，命題成立．
由上可知，對一切正整數(shù)n，命題成立．
6．已知等比數(shù)列{an}的首項a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n項和．
求證：≤.
證明：由已知，得Sn＝3n－1，
≤等價于≤，即3n≥2n＋1.(*)
法一：用數(shù)學歸納法證明上面不等式成立．
①當n＝1時，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立．
②假設(shè)當n＝k時，(*)成立，即3k≥2k＋1，那么當n＝k＋1時，
3k＋1＝33k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，
所以當n＝k＋1時，(*)成立．
綜合①②，得3n≥2n＋1成立．
所以≤.
法二：當n＝1時，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立．
當n≥2時，3n＝(1＋2)n＝C＋C2＋C22＋…＋C2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立．
所以≤.
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