2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：4-2-3 直線與圓的方程的應(yīng)用.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：4-2-3 直線與圓的方程的應(yīng)用 項目 內(nèi)容 課題 4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標 1.理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)； 2.利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系；用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論. 3.會用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題.讓學(xué)生通過觀察圖形,理解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力. 教學(xué)重、 難點 教學(xué)重點：求圓的應(yīng)用性問題. 教學(xué)難點:直線與圓的方程的應(yīng)用. 教學(xué) 準備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系,那么如何利用這些關(guān)系來解決一些問題,怎樣解決?帶著這些問題我們學(xué)習(xí)直線與圓的方程的應(yīng)用.教師板書課題:直線與圓的方程的應(yīng)用. 推進新課 新知探究 提出問題 ①你能說出直線與圓的位置關(guān)系嗎？ ②解決直線與圓的位置關(guān)系,你將采用什么方法？ ③閱讀并思考教科書上的例4,你將選擇什么方法解決例4的問題？ ④你能分析一下確定一個圓的方程的要點嗎？ ⑤你能利用“坐標法”解決例5嗎？ 活動：學(xué)生回憶,教師引導(dǎo),教師提問,學(xué)生回答,學(xué)生之間可以相互交流討論,學(xué)生有困難教師點撥.教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解決問題的思路,要全面考慮,發(fā)散思維.①學(xué)生回顧學(xué)習(xí)的直線與圓的位置關(guān)系的種類；②解決直線與圓的位置關(guān)系,可以采取兩種方法；③首先考慮問題的實際意義,如果本題出在初中,我們沒有考慮的余地,只有幾何法,在這里當然可以考慮用坐標法,兩種方法比較可知哪個簡單；④回顧圓的定義可知確定一個圓的方程的條件；⑤利用“坐標法”解決問題的關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?再利用代數(shù)與幾何元素的相互轉(zhuǎn)化得到結(jié)論. 討論結(jié)果：①直線與圓的位置關(guān)系有三類:相交、相切、相離. ②解決直線與圓的位置關(guān)系,將采用代數(shù)和幾何兩種方法,多數(shù)情況下采用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來解決. ③閱讀并思考教科書上的例4,先用代數(shù)方法及坐標法,再用幾何法,作一比較. ④你能分析一下確定一個圓的方程的要點,圓心坐標和半徑,有時關(guān)于D、E、F的三個獨立的條件也可. ⑤建立適當?shù)淖鴺讼?具體解法我們在例題中展開. 應(yīng)用示例 例1 講解課本4.2節(jié)例4,解法一見課本. 圖2 解法二：如圖2,過P2作P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10. 在Rt△AOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2設(shè)拱圓所在的圓的半徑為r,則有r2=(r-4)2+102. 解得r=14.5. 在Rt△CP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2. 因為|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14. 52-4=206.25. 又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A2P2的長度約為3.86 cm. 點評：通過課本解法我們總結(jié)利用坐標法解決幾何問題的步驟是：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論. 把兩種解法比較可以看出坐標法通俗易懂,幾何法較難想,繁瑣,因此解題時要有所選擇. 變式訓(xùn)練 已知圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直,求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半. 圖3 解:如圖3,以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA、DB所在直線分別為x軸、y軸,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 過四邊形ABCD的外接圓的圓心O1分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E, 則M、N、E分別為線段AC、BD、AD的中點,由線段的中點坐標公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=. 所以|O1E|=. 又|BC|=,所以|O1E|=|BC|. 點評:用坐標法解決幾何問題時,先用坐標和方程表示相應(yīng)的幾何元素、點、直線、圓.將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題,最后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何意義,得到幾何問題的結(jié)論. 例2 有一種大型商品,A、B兩地都有出售,且價格相同,某地居民從兩地之一購得商品后回運的運費是：每單位距離A地的運費是B地運費的3倍,已知A、B兩地相距10 km,居民選擇A或B地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低.求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點. 活動：學(xué)生先審題,然后思考或討論,學(xué)生有困難教師可以提示引導(dǎo),建立適當?shù)淖鴺讼?這里以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標系較簡單,假設(shè)一點距A地近,且費用低,列方程或不等式. 解:以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標系,則A(－5,0),B(5,0).設(shè)某地P的坐標為(x,y),且P地居民選擇A地購買商品的費用較低,并設(shè)A地的運費為3a元/km,則B地運費為a元/km.由于P地居民購買商品的總費用滿足條件：價格+A地運費≤價格+B地運費, 即3a≤a,整理得(x+)2+y2≤()2. 所以以點C(-,0)為圓心,為半徑的圓就是兩地居民購貨的分界線.圓內(nèi)的居民從A地購貨費用較低,圓外的居民從B地購貨費用較低,圓上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等,因此可以隨意從A、B兩地之一購貨. 點評:在學(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實際,重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活和相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用,解決有關(guān)實際問題時,關(guān)鍵要明確題意,掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本方法. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4. 拓展提升 某種體育比賽的規(guī)則是:進攻隊員與防守隊員均在安全線l的垂線AC上(C為垂足),且距C分別為2a和a(a＞0)的點A和B,進攻隊員沿直線AD向安全線跑動,防守隊員沿直線方向向前攔截,設(shè)AD和BM交于M,若在M點,防守隊員比進攻隊員先到或同時到,則進攻隊員失敗,已知進攻隊員的速度是防守隊員速度的兩倍,且他們雙方速度不變,問進攻隊員的路線AD應(yīng)為什么方向才能取勝? 圖5 解:如圖5,以l為x軸,C為原點建立直角坐標系,設(shè)防守隊員速度為v,則進攻隊員速度為2v,設(shè)點M坐標為(x,y),進攻隊員與防守隊員跑到點M所需時間分別為t1=,t2=. 若t1＜t2,則|AM|＜2|BM|,即. 整理,得x2+(y-a)2＞(a)2,這說明點M應(yīng)在圓E:x2+(y-a)2=(a)2以外,進攻隊員方能取勝.設(shè)AN為圓E的切線,N為切點,在Rt△AEN中,容易求出∠EAN=30,所以進攻隊員的路線AD與AC所成角大于30即可. 課堂小結(jié) 1.用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論. 2.對于直線和圓,熟記各種定義、基本公式、法則固然重要,但要做到迅速、準確地解題,還必須掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化簡、對稱、直交、平行等特點適當?shù)剡x擇坐標系；(2)善于根據(jù)圖形的已知條件和論證的目標,恰當?shù)厥褂们€的方程；(3)掌握直線和圓的基本定義、基本概念、基本性質(zhì),有效運用它們來解題；(4)注意“平幾”知識在簡潔、直觀表達問題中的作用；(5)借助數(shù)形結(jié)合進行等價轉(zhuǎn)化,減少思維量、運算量；(6)靈活使用曲線系方程,方便快捷地解題；(7)根據(jù)背景的特點,巧用字母的替換法則；(8)充分運用韋達定理進行轉(zhuǎn)化與化歸；(9)留心引參消參、設(shè)而不求等在優(yōu)化解題思路方面上的作用. 3.直線和圓在現(xiàn)實生活中有著十分廣泛的應(yīng)用,主要包括兩大塊：一是直線與圓的直接應(yīng)用,它涉及到質(zhì)量、重心、氣象預(yù)報、購物選址、光的折射、直線型經(jīng)驗公式的選用等問題,這部分涉及的知識內(nèi)容比較簡單,要熟練掌握直線和圓的方程形式；可以使我們更好地了解近代數(shù)學(xué)的發(fā)展,從而有利于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng). 作業(yè) 習(xí)題4.2 B組2、3、5. 板書設(shè)計 4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用 直線與圓的位置關(guān)系 例1 圓與圓的位置關(guān)系 變式 例2 拓展提升 教學(xué)反思 本節(jié)課是在教師的引導(dǎo)下,對已學(xué)知識進行歸納、總結(jié),以形成更系統(tǒng)、更完整的體系；對已學(xué)知識進一步加深理解,強化記憶,是一個再認識,再學(xué)習(xí)的過程,對已掌握的技能、規(guī)律、方法進行深化和進一步熟悉,提高學(xué)生分析、理解問題的能力. .