新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第11章學(xué)案1
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 排列與組合 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 自主梳理 1.排列的定義:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 排列數(shù)的定義:__________________________________________________________
2、____ ________________________________________________________________________, 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)A表示. 說(shuō)明:①n?。絖_______________,叫做n的階乘;②規(guī)定0?。絖___;③當(dāng)m=n時(shí)的排列叫做全排列,全排列數(shù)A=____. 2.排列數(shù)公式的兩種形式:(1)A=n(n-1)…(n-m+1),(2)A=,其中公式(1)(不帶階乘的)主要用于計(jì)算;公式(2)(階乘形式)適用于化簡(jiǎn)、證明、解方程. 3.組合的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫
3、做________________________________.從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的__________,用__________表示. 4.組合數(shù)公式的兩種形式: (1)C==; (2)C=,其中公式(1)主要用于計(jì)算,尤其適用于上標(biāo)是具體數(shù)且m≤的情況,公式(2)適用于化簡(jiǎn)、證明、解方程等. 5.C=C?________________,m、k∈N,n∈N*. 6.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):(1)C=____________,(2)C=________________. 自我檢測(cè) 1.(2010·北京改編)8名學(xué)生
4、和2位老師站成一排合影,2位老師不相鄰的排法種數(shù)為________(用式子表示). 2.(2010·廣州期末七區(qū)聯(lián)考)2010年上海世博會(huì)某國(guó)展出5件藝術(shù)作品,其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)1件,在展臺(tái)上將這5件作品排成一排,要求2件書法作品必須相鄰,2件繪畫作品不能相鄰,則該國(guó)展出這5件作品的不同方案有________種. 3.2008年9月25日晚上4點(diǎn)30分,“神舟七號(hào)”載人飛船發(fā)射升空,某校全體師生集體觀看了電視實(shí)況轉(zhuǎn)播,觀看后組織全體學(xué)生進(jìn)行關(guān)于“神舟七號(hào)”的論文評(píng)選,若三年級(jí)文科共4個(gè)班,每班評(píng)出2名優(yōu)秀論文(其中男女生各1名)依次排成一列進(jìn)行展覽,若規(guī)
5、定男女生所寫論文分別放在一起,則不同的展覽順序有________種. 4.(2010·全國(guó)Ⅱ改編)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中,若每個(gè)信封放2張,其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封,則不同的方法共有________種. 5.(2010·重慶改編)某單位擬安排6位員工在6月14日至16日(端午節(jié)假期)值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位員工中的甲不值14日,乙不值16日,則不同的安排方法共有________種. 探究點(diǎn)一 含排列數(shù)、組合數(shù)的方程或不等式 例1 (1)求等式=3中的n值; (2)求不等式-<中n的解集.
6、 變式遷移1 (1)解方程:A=140A; (2)解不等式:A>6A. 探究點(diǎn)二 排列應(yīng)用題 例2 六人按下列要求站一排,分別有多少種不同的站法? (1)甲不站兩端; (2)甲、乙必須相鄰; (3)甲、乙不相鄰; (4)甲、乙之間恰間隔兩人; (5)甲、乙站在兩端; (6)甲不站左端,乙不站右端. 變式遷移2 用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒(méi)有重復(fù)數(shù)字),要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同,且1和2相鄰,求這樣的六位數(shù)的種數(shù).
7、 探究點(diǎn)三 組合應(yīng)用題 例3 男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法? (1)男運(yùn)動(dòng)員3名,女運(yùn)動(dòng)員2名; (2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員; (3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加; (4)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員. 變式遷移3 12名同學(xué)合影,站成前排4人后排8人,現(xiàn)攝影師從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,若其他人的相對(duì)順序不變,則不同調(diào)整方法總數(shù)是________. 1.解排列、組合應(yīng)用題應(yīng)遵循兩個(gè)原則:一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類;二是按事件發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步. 2.對(duì)于有附加條件的
8、排列、組合應(yīng)用題,通常從三個(gè)途徑考慮:(1)以元素為主考慮,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素;(2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置;(3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù),再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 3.關(guān)于排列、組合問(wèn)題的求解,應(yīng)掌握以下基本方法與技巧:(1)特殊元素優(yōu)先安排;(2)合理分類與準(zhǔn)確分步;(3)排列組合綜合問(wèn)題先選后排;(4)相鄰問(wèn)題捆綁處理;(5)不相鄰問(wèn)題插空處理;(6)定序問(wèn)題排除法處理;(7)分排問(wèn)題直排處理;(8)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部;(9)構(gòu)造模型;(10)正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化. (滿分:90分)
9、一、填空題(每小題6分,共48分) 1.在數(shù)字7,8,9與符號(hào)“+”,“-”五個(gè)元素的所有全排列中,任意兩個(gè)數(shù)字不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是________. 2.(2009·湖南改編)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為________. 3.(2010·全國(guó)Ⅰ改編)某校開設(shè)A類選修課3門,B類選修課4門,一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門,則不同的選法共有________種. 4.(2010·重慶改編)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班,每天安排一人,每人值班1天.若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天,丙不排在10
10、月1日,丁不排在10月7日,則不同的安排方案共有________種. 5.6條網(wǎng)線并聯(lián),它們能通過(guò)的最大信息量分別為1,1,2,2,3,4,現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使這三條網(wǎng)線通過(guò)最大信息量的和大于等于6的方法共有________種. 6.(2011·北京)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有________個(gè).(用數(shù)字作答) 7.8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組,每組各4人,分別進(jìn)行單循環(huán)賽,每組決出前兩名,再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽,獲勝者角逐冠、亞軍,敗者角逐3、4名,則大師賽共有________場(chǎng)比賽. 8.參加海地地震救援
11、的中國(guó)救援隊(duì)一小組共有8人,其中男同志5人,女同志3人.現(xiàn)從這8人中選出3人參加災(zāi)后防疫工作,要求在選出的3人中男、女同志都有,則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答). 二、解答題(共42分) 9.(14分)(1)計(jì)算C+C199200; (2)求C+C的值; (3)求證:C=C=C. 10.(14分)有5個(gè)男生和3個(gè)女生,從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表,求分別符合下列條件的選法數(shù). (1)有女生但人數(shù)必須少于男生; (2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文課代表; (3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任語(yǔ)文課代表; (4)某女生一定要擔(dān)任
12、語(yǔ)文課代表,某男生必須擔(dān)任課代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表. 11.(14分)從1,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中選2個(gè),0,2,4,6,8五個(gè)數(shù)字中選3個(gè),能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)? 學(xué)案61 排列與組合 答案 自主梳理 1.從n個(gè)不同的元素中取出m (m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列 從n個(gè)不同元素中取出m (m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)?、賜·(n-1)·…·2·1 1 n! 3.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合 組合數(shù) C 5.m=k或m+k=n 6.(1
13、)C (2)C+C 自我檢測(cè) 1.AA 解析 不相鄰問(wèn)題用插空法,先排學(xué)生有A種排法,老師插空有A種方法,所以共有AA種排法. 2.24 解析 2件書法作品看作一個(gè)元素和標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)進(jìn)行排列有A種不同排法,讓2件繪畫作品插空有A種插法,2件書法作品之間的順序也可交換,因此共有2AA=24(種). 3.1 152 解析 女生論文有A種展覽順序,男生論文也有A種展覽順序,男生與女生論文可以交換順序,有A種方法,故總的展覽順序有AAA=1 152(種). 4.18 解析 先將1,2捆綁后放入信封中,有C種方法,再將剩余的4張卡片放入另外兩個(gè)信封中,有CC種方法, 所以共有CCC
14、=18(種)方法. 5.42 解析 若甲在16日值班,在除乙外的4人中任選1人在16日值班有C種選法,然后14日、15日有CC種安排方法,共有CCC=24(種)安排方法; 若甲在15日值班,乙在14日值班,余下的4人共有CCC=12(種)安排方法; 若甲、乙都在15日值班,則共有CC=6(種)安排方法. 所以總共有24+12+6=42(種)安排方法. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 (1)在解有關(guān)A、C的方程或不等式時(shí)要注意運(yùn)用n≥m且m、n∈N*的條件;(2)凡遇到解排列、組合的方程式、不等式問(wèn)題時(shí),應(yīng)首先應(yīng)用性質(zhì)和排列、組合的意義化簡(jiǎn),然后再根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算.注意最后結(jié)果都需要檢
15、驗(yàn).
解 (1)原方程可變形為
+1=,C=C,
即
=·,
化簡(jiǎn)整理得n2-3n-54=0,
解得n=9或n=-6(不合題意,舍去),
∴n=9.
(2)由-
<,
可得n2-11n-12<0,解得-1 16、+69=0,
解得x=3或x= (x∈N*,應(yīng)舍去).
所以原方程的解為x=3.
(2)根據(jù)原不等式,x (x∈N*)應(yīng)滿足
故2 17、直排處理的方法.(5)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中,先整體后局部的處理方法.
解 (1)方法一 要使甲不站在兩端,可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè),有A種站法,然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列,有A種站法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有A·A=480(種)站法.
方法二 若對(duì)甲沒(méi)有限制條件共有A種站法,甲在兩端共有2A種站法,從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)即得所求的站法數(shù),共有A-2A=480(種)站法.
(2)先把甲、乙作為一個(gè)“整體”,看作一個(gè)人,有A種站法,再把甲、乙進(jìn)行全排列,有A種站法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有A·A=240(種)站法.
(3)因?yàn)榧?、乙不相鄰,所以可用“插空法”.第一步?/p>
18、先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì),有A種站法;第二步,再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔(含兩端)中,有A種站法,
故共有A·A=480(種)站法.
(4)先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上,有A種;然后把甲、乙及中間2人看作一個(gè)“大”元素與余下2人作全排列,有A種站法;最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列,有A種站法,
故共有A·A·A=144(種)站法.
(5)首先考慮特殊元素,甲、乙先站兩端,有A種站法,再讓其他4人在中間位置作全排列,有A種站法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有A·A=48(種)站法.
(6)甲在左端的站法有A種站法,乙在右端的站法有A種,且甲在左端而乙在右端的站法有A 19、種站法,共有A-2A+A=504(種)站法.
變式遷移2 解 依題意先排列除1和2外的剩余4個(gè)元素有2A·A=8(種)方案,再向這排好的4個(gè)元素中選1空位插入1和2捆綁的整體,有A種插法,
∴不同的安排方案共有2A·A·A=40(種).
例3 解題導(dǎo)引 (1)區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無(wú)序”,無(wú)序的問(wèn)題,用組合解答,有序的問(wèn)題屬排列問(wèn)題.
(2)解組合問(wèn)題時(shí),常遇到“至多”、“至少”問(wèn)題,解決的方法常常用間接法比較簡(jiǎn)單,計(jì)算量也較??;用直接法也可以解決,但分類要恰當(dāng),特別對(duì)限制條件比較多的問(wèn)題.
解 (1)第一步:選3名男運(yùn)動(dòng)員,有C種選法.
第二步:選2名女運(yùn)動(dòng)員,有 20、C種選法.
共有C·C=120(種)選法.
(2)“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”.
從10人中任選5人,有C種選法,其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種.
所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C-C=246(種).
(3)從10人中任選5人,有C種選法.
其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有C種.
所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法有C-C=196(種).
(4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),其他人選法任意,共有C種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),必選男隊(duì)長(zhǎng),共有C種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種,所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有C-C種選法.故既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員的選法有C+C-C=191(種).
變式遷移3 840
解 21、析 從后排8人中選2人有C種,這2人插入前排4人中且前排人的順序不變,則先從4人中的5個(gè)空位插一人有5種;余下的一人則要插入前排5人的空檔有6種,故為A.∴所求總數(shù)為CA=840.
課后練習(xí)區(qū)
1.12
解析 在數(shù)字7,8,9與符號(hào)“+”,“-”五個(gè)元素的所有排列中,先排“+”,“-”兩個(gè)符號(hào),有A=2(種)方法;“+”,“-”這兩個(gè)符號(hào)排好后就產(chǎn)生三個(gè)空位,再將7,8,9插入這三個(gè)空位中,有A=6(種)排法,共有A·A=12(種)方法.
2.49
解析 丙不入選的選法有C==84(種),
甲乙丙都不入選的選法有C==35(種).
所以甲、乙至少有一人入選,而丙不入選的選法有84 22、-35=49(種).
3.30
解析 方法一 可分兩種情況:A類選1門,B類選2門或A類選2門,B類選1門,共有CC+CC=18+12=30(種)選法.
方法二 總共有C=35(種)選法,減去只選A類的C=1(種),再減去只選B類的C=4(種),故有30種選法.
4.1 008
解析 不考慮丙、丁的情況共有AA=1 440(種)排法.
在甲、乙相鄰的條件下,丙排10月1日有AA=240(種)排法,同理,丁排10月7日也有240種排法.丙排10月1日,丁排10月7日也有AA=48(種)排法,則滿足條件的排法有AA-2AA+AA=1 008(種).
5.15
解析 當(dāng)選用信息量為4 23、的網(wǎng)線時(shí)有C種;當(dāng)選用信息量為3的網(wǎng)線時(shí)有CC+1種,共C+CC+1=15(種).
6.14
解析 數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,包括以下情況:
“2”出現(xiàn)1次,“3”出現(xiàn)3次,共可組成C=4(個(gè))四位數(shù).
“2”出現(xiàn)2次,“3”出現(xiàn)2次,共可組成C=6(個(gè))四位數(shù).
“2”出現(xiàn)3次,“3”出現(xiàn)1次,共可組成C=4(個(gè))四位數(shù).
綜上所述,共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù).
7.16
解析 每組有C場(chǎng)比賽,兩組共有2C場(chǎng),每組的第一名與另一組的第二名比賽有2場(chǎng),決出冠軍和第3名各1場(chǎng),所以共有2C+2+1+1=16(場(chǎng)).
8.45
解析 從3名女同志和5名男同志中選出3人,分別參加 24、災(zāi)后防疫工作,若這3人中男、女同志都有,則從全部方案中減去只選派女同志的方案數(shù)C,再減去只選派男同志的方案數(shù)C,合理的選派方案共有C-C-C=45(種).
9.(1)解 C+C=C+C
=+200=4 950+200=5 150.(4分)
(2)解 即
又n∈N*,∴n=7,∴C+C=2.(9分)
(3)證明 ∵C=·
==C;(11分)
C=·
==C,(13分)
∴C=C=C.(14分)
10.解 (1)先取后排,先取可以是2女3男,也可以是1女4男,先取有CC+CC種,
后排有A種,
共有(CC+CC)·A=5 400(種).(3分)
(2)除去該女生后,先取 25、后排C·A=840(種).(6分)
(3)先取后排,但先安排該男生,
有C·C·A=3 360(種).(10分)
(4)先從除去該男生和該女生的6人中選3人有C種,再安排該男生有C種,
其余3人全排有A種,
共有C·C·A=360(種).(14分)
11.解 從1,3,5,7,9五個(gè)奇數(shù)中選出2個(gè),再?gòu)?、4、6、8四個(gè)偶數(shù)中再選出3個(gè),排成五位數(shù),有CCA=10×4×120=4 800個(gè).(6分)
從5個(gè)奇數(shù)中選出2個(gè),再?gòu)?、4、6、8四個(gè)偶數(shù)中再選出2個(gè),將選出的4個(gè)數(shù)再選一個(gè)做萬(wàn)位數(shù).余下的3個(gè)數(shù)加上0排在后4個(gè)數(shù)位上,有
CCCA=10×6×4×24=5 760個(gè).(12分)
由分類計(jì)數(shù)原理可知這樣的五位數(shù)共有
CCA+CCCA=10 560個(gè). (14分)
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