2019-2020年北師大版必修5高中數(shù)學第三章《簡單線性規(guī)劃》word教案1.doc
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2019-2020年北師大版必修5高中數(shù)學第三章《簡單線性規(guī)劃》word教案1 教學目標: 1.了解線性規(guī)劃的意義及線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念; 2.能根據(jù)條件建立線性目標函數(shù); 3.了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并會用圖解法求線性目標函數(shù)的最大值、最小值. 教學重、難點:線性規(guī)劃問題的圖解法;尋求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解. 教學過程: (一)復習練習: 畫出下列不等式表示的平面區(qū)域: (1); (2). (二)新課講解: 在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中,經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題。 1、下面我們就來看有關與生產(chǎn)安排的一個問題: 引例:某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件,按每天8h計算,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么? (1)用不等式組表示問題中的限制條件: 設甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件,又已知條件可得二元一次不等式組: ……………………………………………….(1) (2)畫出不等式組所表示的平面區(qū)域: 如圖,圖中的陰影部分的整點(坐標為整數(shù)的點)就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。 (3)提出新問題: 進一步,若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大? (4)嘗試解答: 設生產(chǎn)甲產(chǎn)品件,乙產(chǎn)品件時,工廠獲得的利潤為,則,這樣,上述問題就轉(zhuǎn)化為:當滿足不等式(1)并且為非負整數(shù)時,z的最大值是多少? 把變形為,這是斜率為,在y軸上的截距為的直線。當z變化時,可以得到一族互相平行的直線,如圖,由于這些直線的斜率是確定的,因此只要給定一個點,(例如(1,2)),就能確定一條直線(),這說明,截距可以由平面內(nèi)的一個點的坐標唯一確定??梢钥吹剑本€與不等式組(1)的區(qū)域的交點滿足不等式組(1),而且當截距最大時,z取得最大值。因此,問題可以轉(zhuǎn)化為當直線與不等式組(1)確定的平面區(qū)域有公共點時,在區(qū)域內(nèi)找一個點P,使直線經(jīng)過點P時截距最大。 (5)獲得結(jié)果:由圖可以看出,當經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點時,截距的值最大,最大值為,這時.所以,每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件,乙產(chǎn)品2件時,工廠可獲得最大利潤14萬元。 2、有關概念 在上述引例中,不等式組是一組對變量的約束條件,這組約束條件都是關于的一次不等式,所以又稱為線性約束條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式,叫目標函數(shù)。又由于是的一次解析式,所以又叫線性目標函數(shù). 一般地,求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問題中,可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值,它們都叫做這個問題的最優(yōu)解. (三)例題分析: 例1:設滿足約束條件 (1)求目標函數(shù)的最小值與最大值 (2)求目標函數(shù)的最小值與最大值 解:(1)作出可行域(如圖) 令作直線 當把直線向下移動時所對應的的函數(shù)值 隨之減小,所以直線經(jīng)過可行域的頂點時, 取得最小值,頂點是直線與直線的交點,即 當把直線向上移動時所對應的的函數(shù)值隨之增大,所以直線經(jīng)過可行域的頂點時,取得最大值,頂點是直線與直線的交點,由知,此時頂點和頂點為最優(yōu)解 所以, (2)作直線,把直線向下平移時,所對應的的函數(shù)值隨之減小,即的函數(shù)值隨之減小,當直線經(jīng)過可行域頂點時,取得最小值,即取得最小值 頂點是直線與直線的交點,由知 代入目標函數(shù)知 由于直線平行于直線 ,因此當把直線向上平移到時,與可行域的交點不止一個,而是線段上的所有點,此時, 練習:設變量滿足條件, (1)求的最大值和最小值.(2)求的最大值和最小值. 解:(1)由題意,變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域,不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知,原點不在公共區(qū)域內(nèi),當時,,即點在直線:上, 作一組平行于的直線:,, 可知:當在的右上方時,直線上的點 滿足,即, 而且,直線往右平移時,隨之增大。 由圖象可知, 當直線經(jīng)過點時,對應的最大, 當直線經(jīng)過點時,對應的最小, 所以,,. (2)直線與所在直線平行,則由(1)知, 當與所在直線重合時最大,此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個, 當經(jīng)過點時,對應最小, ∴,. 說明:1.線性目標函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得; 2.線性目標函數(shù)的最大值、最小值也可在可行域的邊界上取得,即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個。 例2.設滿足約束條件組,求的最大值和最小值. 解:由知,代入中,得,, ∴原約束條件組可化為, 如圖,作一組平行線:平行于:, 由圖象知,當往左上方時,往左上方移動時隨之增大, 當往右下方移動時,隨之減小, 所以,當直線經(jīng)過時,; 當直線經(jīng)過時,. 例3(參考).已知滿足不等式組,求使取最大值的整數(shù). 解:不等式組的解集為三直線:,:,:所圍成的三角形內(nèi)部(不含邊界),設與,與,與交點分別為,則坐標分別為,,, 作一組平行線:平行于:, 當往右上方移動時,隨之增大, ∴當過點時最大為,但不是整數(shù)解, 又由知可取, 當時,代入原不等式組得, ∴; 當時,得或, ∴或; 當時,, ∴, 故的最大整數(shù)解為或. 說明:最優(yōu)整數(shù)解常有兩種處理方法,一種是通過打出網(wǎng)格求整點,關鍵是作圖要準確;另一種是本題采用的方法,先確定區(qū)域內(nèi)點的橫坐標范圍,確定的所有整數(shù)值,再代回原不等式組,得出的一元一次不等式組,再確定的所有相應整數(shù)值,即先固定,再用制約. 課堂小結(jié):1.線性規(guī)劃問題的有關概念; 2.線性規(guī)劃問題的圖解法求目標函數(shù)的最大、最小值; 3.線性規(guī)劃問題的最優(yōu)整數(shù)解. 作業(yè):課本第108頁A組 第6題.- 配套講稿:
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