新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第10章學(xué)案3
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.2.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 自主梳理 1.直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法 (1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元二次方程,若Δ>0,則直線與橢圓________;若Δ=0,則直線與橢圓________;若Δ<0,則直線與橢圓________. (2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y(或x),得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0. ①若a≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與雙曲線________;當(dāng)Δ=0時(shí),直線與雙曲線________;當(dāng)Δ
2、<0時(shí),直線與雙曲線________. ②若a=0時(shí),直線與漸近線平行,與雙曲線有________交點(diǎn). (3)直線與拋物線位置關(guān)系的判定方法 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去y(或x),得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0. ①當(dāng)a≠0,用Δ判定,方法同上. ②當(dāng)a=0時(shí),直線與拋物線的對稱軸________,只有________交點(diǎn). 2.已知弦AB的中點(diǎn),研究AB的斜率和方程 (1)AB是橢圓+=1 (a>b>0)的一條弦,M(x0,y0)是AB的中點(diǎn),則kAB=______,kAB·kOM=________.點(diǎn)差法求弦的斜率的步驟是: ①將端點(diǎn)坐標(biāo)代入方程:+=1,+=
3、1. ②兩等式對應(yīng)相減:-+-=0. ③分解因式整理:kAB==-=-. (2)運(yùn)用類比的手法可以推出:已知AB是雙曲線-=1的弦,中點(diǎn)M(x0,y0),則kAB=________________.已知拋物線y2=2px (p>0)的弦AB的中點(diǎn)M(x0,y0),則kAB=________. 3.弦長公式 直線l:y=kx+b與圓錐曲線C:F(x,y)=0交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn), 則AB=|x1-x2| = 或AB= |y1-y2| = ·. 自我檢測 1.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,A
4、K⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是________. 2.如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1沒有公共點(diǎn),則k的取值范圍是________________. 3.橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是________. 4.過點(diǎn)的直線l與拋物線y=-x2交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則·的值為________. 5.經(jīng)過拋物線y2=4x焦點(diǎn)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),且AB=8,則直線l的傾斜角的大小為________. 探究點(diǎn)一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例1 k為何值時(shí),直線y=kx+2和曲線2x2+3
5、y2=6有兩個(gè)公共點(diǎn)?有一個(gè)公共點(diǎn)?沒有公共點(diǎn)? 變式遷移1 已知拋物線C的方程為x2=y(tǒng),過A(0,-1),B(t,3)兩點(diǎn)的直線與拋物線C沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________________. 探究點(diǎn)二 圓錐曲線中的弦長問題 例2 如圖所示,直線y=kx+b與橢圓+y2=1交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S. (1)求在k=0,0
6、離心率e=. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)直線l:y=x+m,若l與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn),且PQ等于橢圓的短軸長,求m的值. 探究點(diǎn)三 求參數(shù)的范圍問題 例3 直線m:y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A、B兩點(diǎn),直線l過點(diǎn)P(-2,0)和線段AB的中點(diǎn)M,求l在y軸上的截距b的取值范圍. 變式遷移3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q. (1)求k的取值范圍; (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B
7、,是否存在常數(shù)k,使得向量+與共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由. 函數(shù)思想 例 (14分)已知橢圓C的方程為+=1 (a>b>0),雙曲線-=1的兩條漸近線為l1,l2,過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l,使l⊥l1,又l與l2交于P點(diǎn),設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A,B. (1)當(dāng)l1與l2夾角為60°,雙曲線的焦距為4時(shí),求橢圓C的方程及離心率; (2)求的最大值. 【答題模板】 解 (1)雙曲線的漸近線為y=±x,兩漸近線夾角為60°,又<1,∴∠POx=30°, ∴=tan 30°=,∴a=b.又a2+b2=22, ∴3
8、b2+b2=4,[2分] ∴b2=1,a2=3,∴橢圓C的方程為+y2=1, ∴離心率e==.[5分] (2)由已知,l:y=(x-c)與y=x聯(lián)立, 解方程組得P.[7分] 設(shè)=λ,則=λ,∵F(c,0),設(shè)A(x0,y0), 則(x0-c,y0)=λ, ∴x0=,y0=.即A.[10分] 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,得(c2+λa2)2+λ2a4=(1+λ)2a2c2, 等式兩邊同除以a4,(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2,e∈(0,1),[12分] ∴λ2==-+3 ≤-2 +3=3-2=(-1)2, ∴當(dāng)2-e2=,即e2=2-時(shí),λ有最大值-1,即的最大值為
9、-1.[14分] 【突破思維障礙】 最值問題是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容,一是在準(zhǔn)確把握題意的基礎(chǔ)上,建立函數(shù)、不等式模型,利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性、基本不等式解決;二是利用數(shù)形結(jié)合,考慮相切、相交的幾何意義解決. 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 不能把轉(zhuǎn)化成向量問題,使得運(yùn)算繁瑣造成錯(cuò)誤,由λ2=不會(huì)求最值或忽視e2-2<0這個(gè)隱含條件. 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一,也是高考的熱點(diǎn),這類問題往往與函數(shù)、不等式、三角、向量等知識(shí)綜合、交匯考查,而且對綜合能力的考查顯見其中.因此解決此類問題需要有較廣的知識(shí)面及較強(qiáng)的解決問題的能力. 2.從題
10、目類型上多見于與弦的中點(diǎn)、弦長、弦所在直線的斜率等有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題.基本思路就是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到形如ax2+bx+c=0的方程,由韋達(dá)定理得x1+x2=,x1x2=.然后再把要研究的問題轉(zhuǎn)化為用x1+x2和x1x2去表示.最后,用函數(shù)、不等式等知識(shí)加以解決.需要注意的就是要注意對隱含條件的挖掘,比如判別式Δ≥0,圓錐曲線中有關(guān)量的固有范圍等. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.已知拋物線y2=4x,則過點(diǎn)P(-1,1)與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的條數(shù)是________. 2.(2009·重慶)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)
11、,焦點(diǎn)為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)為(2,2),則直線l的方程為________. 3.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為________. 4.已知直線y=k(x+2) (k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn).若FA=2FB,則k=________. 5.斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn),則AB的最大值為________. 6.(2011·鎮(zhèn)江模擬)若直線y=kx+1 (k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1恒有公共點(diǎn),則t的范圍
12、是_______________________________________________________________. 7.P為雙曲線x2-=1右支上一點(diǎn),M、N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),則PM-PN的最大值為________. 8.(2010·全國Ⅱ)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A,與C的一個(gè)交點(diǎn)為B,若A=M,則p=________. 二、解答題(共42分) 9.(14分)已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)A、B,求AB的長.
13、 10.(14分)(2010·天津)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率e=,連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0),點(diǎn)Q(0,y0)在線段AB的垂直平分線上,且·=4,求y0的值. 11.(14分)(2011·江西)P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左,右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率; (2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩
14、點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足=λ+,求λ的值. 學(xué)案52 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 答案 自主梳理 1.(1)相交 相切 相離 (2)①相交 相切 相離?、谝粋€(gè) (3)②平行 一個(gè) 2.(1)-?。?2) 自我檢測 1.4 2.(-∞,-)∪(,+∞) 3.± 4.- 5.或π 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 用直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù),可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,也就是用代數(shù)的方法研究幾何問題,這是解析幾何的重要思想方法.方程組消元后要注意所得方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù),若含參數(shù),需按二次項(xiàng)系數(shù)是否為
15、零進(jìn)行分類討論,只有二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí),方程才是一元二次方程,后面才可以用判別式Δ的符號(hào)判斷方程解的個(gè)數(shù),從而說明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
解 由得2x2+3(kx+2)2=6,
即(2+3k2)x2+12kx+6=0,
Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48.
當(dāng)Δ=72k2-48>0,即k>或k<-時(shí),直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)Δ=72k2-48=0,即k=或k=-時(shí),直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)Δ=72k2-48<0,即- 16、等基礎(chǔ)知識(shí),考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.“設(shè)而不求”是解決直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題的基本方法.當(dāng)所求弦為焦點(diǎn)弦時(shí),可結(jié)合圓錐曲線的定義求解.
解 (1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,b),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,b),由+y2=1,解得x1,2=±2,
所以S=b|x1-x2|=2b≤b2+1-b2=1.
當(dāng)且僅當(dāng)b=時(shí),S取到最大值1.
(2)由得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,
Δ=16(4k2-b2+1). ①
AB=|x1-x2|=·
=2. ②
又因?yàn)镺到AB的距離d===1,
所以b2=k2+1. ③
將③代入②并整理, 17、得4k4-4k2+1=0,
解得k2=,b2=,代入①式檢查,Δ>0.
故直線AB的方程是:y=x+或y=x-或y=-x+或y=-x-.
變式遷移2 解 (1)設(shè)橢圓方程為+=1 (a>b>0),
則c=,=.∴a=2,b=1.
∴所求橢圓方程為+y2=1.
(2)由消去y得關(guān)于x的方程:
5x2+8mx+4(m2-1)=0,
則Δ=64m2-80(m2-1)>0,解得m2<5.(*)
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-m,
x1x2=,y1-y2=x1-x2,
∴PQ==
= =2,
解得m2=,滿足(*),∴m=±.
例3 解題導(dǎo)引 直線與圓 18、錐曲線的位置關(guān)系從代數(shù)的角度來看,就是直線方程與圓錐曲線的方程組成的方程組有無解的問題,結(jié)合判別式Δ研究,利用設(shè)而不求與整體代入等技巧與方法,從而延伸出一些復(fù)雜的參數(shù)范圍的研究.
解 由 (x≤-1)
得(k2-1)x2+2kx+2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則,∴1 19、l的方程為y=kx+,
代入橢圓方程得+(kx+)2=1,
整理得x2+2kx+1=0.①
直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于
Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>.
即k的取值范圍為∪.
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則+=(x1+x2,y1+y2),
由方程①,x1+x2=-.②
又y1+y2=k(x1+x2)+2.③
而A(,0),B(0,1),=(-,1).
所以+與共線等價(jià)于x1+x2=-(y1+y2),
將②③代入上式,解得k=.
由(1)知k<-或k>,故沒有符合題意的常數(shù)k.
課后練習(xí)區(qū)
1.3 2.y=x
3.2
20、
解析
由拋物線y2=4x知直線l2為其準(zhǔn)線,焦點(diǎn)為F(1,0).由拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線l2的距離與P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離相等,所以P到直線l1的距離與P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F(1,0)到直線l1的距離(如圖),則d==2.
4. 5. 6.[1,5) 7.5 8.2
9.解 設(shè)直線AB的方程為y=x+b,
由消去y得x2+x+b-3=0,(4分)
∴x1+x2=-1.
于是AB的中點(diǎn)M(-,-+b),且Δ=1-4(b-3)>0,
即b<.(7分)
又M(-,-+b)在直線x+y=0上,∴b=1符合.(10分)
∴x2+x-2=0.由弦 21、長公式可得
AB==3.(14分)
10.解 (1)由e==,得3a2=4c2.
再由c2=a2-b2,得a=2b.
由題意可知×2a×2b=4,即ab=2.
解方程組得
所以橢圓的方程為+y2=1.(4分)
(2)由(1)可知A(-2,0),且直線l的斜率必存在.設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2).
于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
由方程組消去y并整理,得
(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系,得-2x1=,
所以x1=,從而y1=.
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則M的坐標(biāo)為(-,).(6分 22、)
以下分兩種情況討論:
①當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸,于是=(-2,-y0),=(2,-y0).
由·=4,得y0=±2.(8分)
②當(dāng)k≠0時(shí),線段AB的垂直平分線的方程為
y-=-(x+).
令x=0,解得y0=-.
由=(-2,-y0),=(x1,y1-y0),
·=-2x1-y0(y1-y0)
=+(+)
==4,
整理得7k2=2,故k=±.所以y0=±.(13分)
綜上,y0=±2或y0=±.(14分)
11.解 (1)由點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上,
有-=1.
由題意有·=,(4分)
可得 23、a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e==.(7分)
(2)聯(lián)立得4x2-10cx+35b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 ①
設(shè)=(x3,y3),=λ+,
即 (10分)
又C為雙曲線上一點(diǎn),即x-5y=5b2,有
(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.化簡得
λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2. ②
又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,
所以x-5y=5b2,x-5y=5b2. (12分)
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)
=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
②式可化為λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4. (14分)
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