新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第四章 第4講　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)及三角

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第4講　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性 質(zhì)及三角 一、填空題 1．已知函數(shù)f(x)＝Acos (ωx＋φ)的圖象如圖所示，f＝－，則f(0)＝________. 解析 由題中圖象可知所求函數(shù)的周期為π，故ω＝3，將代入解析式得π＋φ＝＋2kπ，所以φ＝－＋2kπ，令φ＝－代入解析式得f(x)＝Acos ，又因?yàn)閒＝－Asin ＝－，所以f(0)＝Acos ＝Acos ＝. 答案 2．函數(shù)y＝sin＋cos的最大值為________． 解析　法一　由題意可知y＝sin 2xcos ＋cos 2xsin＋cos 2xcos＋sin

2、2xsin＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，所以最大值為2. 法二　y＝sin＋cos＝ 2sin，所以最大值為2. 答案　2 3．若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·＝0，則A·ω＝________. 解析　由題圖可知，T＝π，所以ω＝2， 易得sin＝1，又|φ|<，所以φ＝， 因此y＝Asin，又M，N， 若·＝0，則×－A2＝0，所以A＝π， 因此A·ω＝2×π＝π. 答案　π 4．要使sin α－cos α＝有意義，則m的范圍為________． 解析?。絪i

3、n α－cos α＝2sin∈[－2,2]，所以－2≤≤2，解得－1≤m≤. 答案　 5．將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移φ(0≤φ<2π)個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝sin的圖象，則φ等于________． 解析 ∵sin＝sin，即sin＝sin，∴將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移π個(gè)單位可得到函數(shù)y＝sin的圖象． 答案 π 6． 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝cos(x∈[0,2π])的圖象和直線y＝的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 解析 y＝cos＝sin(x∈[0,2π])，畫出圖象可得在[0,2π]上它們有2個(gè)交點(diǎn)． 答案：2 7．給出下列命題： ①函數(shù)y

4、＝cos是奇函數(shù)； ②存在實(shí)數(shù)α，使得sin α＋cos α＝； ③若α，β是第一象限角且α＜β，則tan α＜tan β； ④x＝是函數(shù)y＝sin的一條對(duì)稱軸； ⑤函數(shù)y＝sin的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形． 其中正確命題的序號(hào)為________． 解析?、賧＝cos?y＝－sin x是奇函數(shù)； ②由sin α＋cos α＝sin的最大值為， ＜，所以不存在實(shí)數(shù)α，使得sin α＋cos α＝. ③α＝60°，β＝390°，顯然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝，tan β＝tan 390°＝，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×＋π＝＋π＝π，s

5、inπ＝－1，∴④成立．⑤∵sin＝sin＝1≠0，∴⑤不成立． 答案?、佗? 8．電流強(qiáng)度I(安)隨時(shí)間t(秒)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的圖象如圖所示，則當(dāng)t＝秒時(shí)，電流強(qiáng)度是________安． 解析　由圖象知A＝10，＝－＝， ∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)． 為五點(diǎn)中的第二個(gè)點(diǎn)，∴100π×＋φ＝. ∴φ＝.∴I＝10sin，當(dāng)t＝秒時(shí)，I＝－5安． 答案?。? 9．設(shè)函數(shù)y＝2sin的圖象關(guān)于點(diǎn)P(x0,0)成中心對(duì)稱，若x0∈，則x0＝________. 解析 因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心是其與x軸的交點(diǎn)，

6、 所以y＝2sin＝0，x0∈，解得x0＝－. 答案 － 10．函數(shù)f(x)＝3sin的圖象為C，下列結(jié)論：①圖象C關(guān)于直線x＝對(duì)稱；②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)； ④函數(shù)g(x)＝3sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到f(x)的圖象，其中正確的命題序號(hào)是________． 解析?、佼?dāng)x＝時(shí)，2x－＝2×－＝0，所以C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以①不正確．②當(dāng)x＝－時(shí)，3sin＝3sin≠0，所以②不正確．③當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，y＝f(x)在上單調(diào)增，所以③正 確．④g＝3sin 2＝3sin≠f(x)，所以④不正確，故正確的題號(hào)是③. 答案?、? 二、解答題

7、11．函數(shù)f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)α∈，f＝2，求α的值． 解　(1)由題意，A＋1＝3，所以A＝2. 因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以最小正周期T＝π，所以ω＝2.故函數(shù)f(x)＝2sin＋1. (2)因?yàn)閒＝2sin＋1＝2， 所以sin＝.又0<α<， 所以α－＝，即α＝. 12．如圖為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為

8、h. (1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式； (2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？ 解　(1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ－，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ， ∴h＝5.6＋4.8sin. (2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是， 故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t， ∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)． 到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h＝10.4 m. 由sin＝1，得t－＝，∴t＝30， ∴纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的最少時(shí)間為30秒． 13．已知函數(shù)f(x)＝Asin ωx＋Bcos

9、ωx(A、B、ω是常數(shù)，ω＞0)的最小正周期為2，并且當(dāng)x＝時(shí)，f(x)max＝2. (1)求f(x)的解析式； (2)在閉區(qū)間上是否存在f(x)的對(duì)稱軸？如果存在，求出其對(duì)稱軸方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期為2，知＝2，ω＝π，又因?yàn)楫?dāng)x＝時(shí)，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)． 故f(x)的解析式為f(x)＝2sin. (2)當(dāng)垂直于x軸的直線過正弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)，該直線就是正弦曲線的對(duì)稱軸，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k

10、＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤，又k∈Z，知k＝5，由此可知在閉區(qū)間上存在f(x)的對(duì)稱軸，其方程為x＝. 14．已知函數(shù)f(x)＝2sin＋·cos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin＋sin x ＝cos x＋sin x＝2 ＝2sin，所以f(x)的最小正周期為2π. (2)∵將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，∴g(x)＝f＝2sin[＋]＝ 2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)，sin＝1，g(x)取得最大值2. 當(dāng)x＋＝，即x＝π時(shí)，sin＝－，g(x)取得最小值－1.