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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第2講 古典概型
一、填空題
1.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b,則b>a的概率是________.
解析 分別從兩個集合中各取一個數(shù),共有15種取法,其中滿足b>a的有3種取法,故所求事件的概率P==.
答案
2.若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo),則點(diǎn)P在直線x+y=5下方的概率為________.
解析 試驗是連續(xù)擲兩次骰子,故共包含6×6=36(個)基本事件.事件點(diǎn)P在x+y=5下方,共包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6個基本事件
2、,故P==.
答案
3.在一次招聘口試中,每位考生都要在5道備選試題中隨機(jī)抽出3道題回答,答對其中2道題即為及格,若一位考生只會答5道題中的3道題,則這位考生能夠及格的概率為________.
解析 要及格必須答對2道或3道題,共CC+C=7(種)情形,故P==.
答案
4.從三名男同學(xué)和n名女同學(xué)中任選三人參加一場辯論賽,已知三人中至少有一人是女生的概率是,則n=________.
解析 三人中沒有女生的概率為,
∴三人中至少有一人是女生的概率為1-.
由題意得1-=,解得n=4.
答案 n=4
5.下課后教室里最后還剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué),如果沒有2位同學(xué)一
3、塊走,則第二位走的是男同學(xué)的概率是________.
解析 每個同學(xué)均可能在第二位走,故共有4種情況,而男同學(xué)有2個,故所求概率為P==.
答案
6.某種飲料每箱裝6聽,其中有4聽合格,2聽不合格,現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取2聽進(jìn)行檢測,則檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是________.
解析:從“6聽飲料中任取2聽飲料”這一隨機(jī)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件共有15個,而“抽到不合格飲料”含有9個基本事件,所以檢測到不合格飲料的概率為P==.
答案
7.甲從正方形四個頂點(diǎn)中任意選擇兩個頂點(diǎn)連成直線,乙從該正方形四個頂點(diǎn)中任意選擇兩個頂點(diǎn)連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的
4、概率是________.
解析 正方形四個頂點(diǎn)可以確定6條直線,甲乙各自任選一條共有36個等可能的基本事件.兩條直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和對角線),包括10個基本事件,所以概率等于.
答案
8. 一袋中裝有大小相同,編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個球,從中有放回地每次取一個球,共取2次,則取得兩個球的編號和不小于15的概率為________.
解析 基本事件為(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2)…,(8,8),共64種.兩球編號之和不小于15的情況有三種,分別為(7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率為.
答案
9
5、.連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m,n,向量a=(m,n),若b=(-1,1),△ABC中與a同向,與b反向,則∠ABC是鈍角的概率是________.
解析 ∵∠ABC是鈍角,向量a=(m,n),b=(-1,1)夾角為銳角,∴n-m>0,m
6、有AA×2種排法;第二類,三門文化課排列有兩個空,插入1節(jié)藝術(shù)課,有A·A·2A種排法;第三類,三門文化課相鄰排列,有AA種排法.則滿足條件的概率為
=.
答案
二、解答題
11.將一顆骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),求:
(1)兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率;
(2)以第一次向上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x,第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=15的內(nèi)部的概率.
解 將一顆骰子先后拋擲2次,此問題中含有36個等可能基本事件.
(1)記“兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)”為事件B,則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對立事件,
所以P(B)=1-=;
即兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率為.
7、
(2)基本事件總數(shù)為36,點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=15的內(nèi)部記為事件C,則C包含8個事件,所以P(C)==.
即點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=15的內(nèi)部的概率為.
12.為了解學(xué)生身高情況,某校以10%的比例對全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查,測得身高情況的統(tǒng)計圖如下:
(1)估計該校男生的人數(shù);
(2)估計該校學(xué)生身高在170~185 cm之間的概率;
(3)從樣本中身高在180~190 cm之間的男生中任選2人,求至少有1人身高在185~190 cm之間的概率.
解 (1)樣本中男生人數(shù)為40,由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數(shù)為400.
(2)由統(tǒng)計圖知
8、,樣本中身高在170~185 cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=35(人),樣本容量為70,所以樣本中學(xué)生身高在170~185 cm之間的頻率f==0.5.故由f估計該校學(xué)生身高在170~185 cm之間的概率P=0.5.
(3)樣本中身高在180~185 cm之間的男生有4人,設(shè)其編號為①②③④,樣本中身高在185~190 cm之間的男生有2人,設(shè)其編號為⑤⑥.
從上述6人中任選2人的樹狀圖為:
故從樣本中身高在180~190 cm之間的男生中任選2人的所有可能結(jié)果數(shù)為15,至少有1人身高在185~190 cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9,因此,所求概率P2==.
13.在某次測驗
9、中,有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分.用xn表示編號為n(n=1,2,…,6)的同學(xué)所得成績,且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢?
編號n
1
2
3
4
5
成績xn
70
76
72
70
72
(1)求第6位同學(xué)的成績x6,及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s;
(2)從前5位同學(xué)中,隨機(jī)地選2位同學(xué),求恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中的概率.
解 (1)∵這6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分,
∴(70+76+72+70+72+x6)=75,解得x6=90,
這6位同學(xué)成績的方差
s2=×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2
10、+(90-75)2]=49,
∴標(biāo)準(zhǔn)差s=7.
(2)從前5位同學(xué)中,隨機(jī)地選出2位同學(xué)的成績有:(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10種,
恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中的有:(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4種,
所求的概率為=0.4,
即恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中的概率為0.4.
14.設(shè)S是不等式x2-x-6≤0的解集,整數(shù)m,n∈S.
(1)記“使得m+n=0成立的有序數(shù)組(m,n)”為事件
11、A,試列舉A包含的基本事件;
(2)設(shè)ξ=m2,求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ).
解 (1)由x2-x-6≤0得-2≤x≤3,
即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件為:(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有不同取值為-2,-1,0,1,2,3,
所以ξ=m2的所有不同取值為0,1,4,9,且有P(ξ=0)=,
P(ξ=1)==,
P(ξ=4)==,
P(ξ=9)=.
故ξ的分布列為:
ξ
0
1
4
9
P
所以E(ξ)=0×+1×+4×+9×=.