新編高考數學理一輪資源庫第二章 第8講 函數與方程

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1、新編高考數學復習資料 第8講 函數與方程 一、填空題 1.若a>2,則函數f(x)=x3-ax2+1在(0,2)內零點的個數為________. 解析 依題意得f′(x)=x2-2ax,由a>2可知,f′(x)在x∈(0,2)時恒為負,即f(x)在(0,2)內單調遞減,又f(0)=1>0,f(2)=-4a+1<0,因此f(x)在(0,2)內只有一個零點. 答案 1 2.已知符號函數sgn(x)=則函數f(x)=sgn(ln x)-ln2x 的零點個數為________. 解析 依題意得,當x>1時,ln x>0,sgn(ln x)=1,f(x)=sgn(ln x)-ln2

2、x=1-ln2x,令1-ln2x=0,得x=e或x=,結合x>1,得x=e;當x=1時,ln x=0,sgn(ln x)=0,f(x)=-ln2x,令-ln2x=0,得x=1,符合;當0<x<1時,ln x<0,sgn(ln x)=-1,f(x)=-1-ln2x.令-1-ln2x=0,得ln2x=-1,此時無解.因此,函數f(x)=sgn(ln x)-ln2x的零點個數為2. 答案 2 3.若定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]時,f(x) =1-x2,函數g(x)=則函數h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]內的零點的個數是________.

3、 解析 依題意得,函數f(x)是以2為周期的函數,在同一坐標系下畫出函數y=f(x)與函數y=g(x)的圖象,結合圖象得,當x∈[-5,5]時,它們的圖象的公共點共有8個,即函數h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]內的零點的個數是8. 答案 8 4.設函數f(x)=x-ln x(x>0),則函數f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+∞)內的零點個數分別為________. 解析 設y=x與y=ln x,作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內無零點,在(1,+∞)內僅有兩個零點. 答案 0,2 5.設函數f(x)=則函數g(x)=f(x)-log4x的零點個數為_____

4、___. 解析 設y=f(x)與y=log4x,分別畫出它們的圖象,得有2個交點,所以函數g(x)的零點個數為2. 答案 2 6.已知函數f(x)=若函數g(x)=f(x)-m有3個零點,則實數m的取值范圍是________.  解析 畫出圖象,令g(x)=f(x)-m=0,即y=f(x)與y=m的圖象的交點有3個,∴0<m<1. 答案 (0,1) 7.方程log2(x+4)=2x的根有________個. 解析 作函數y=log2(x+4),y=2x的圖象如圖所示,兩圖象有兩個交點,且交點橫坐標一正一負,∴方程有一正根和一負根. 答案 2 8.已知函數f(x)=x2

5、+(1-k)x-k的一個零點在(2,3)內,則實數k的取值范圍是________. 解析 因為Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0對一切k∈R恒成立,又k=-1時,f(x)的零點x=-1?(2,3),故要使函數f(x)=x2+(1-k)x-k的一個零點在(2,3)內,則必有f(2)·f(3)<0,即2

6、 10.已知函數f(x)=1+x-+-+…+,g(x)=1-x+-+-…-,設F(x)=f(x+3)·g(x-3),且函數F(x)的零點均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內,則b-a的最小值為________. 解析 由f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2 010=, 則f′(x)>0,f(x)為增函數,又f(0)=1>0,f(-1)<0, 從而f(x)的零點在(-1,0)上;同理g(x)為減函數,零點在(1,2)上,∴F(x)的零點在(-4,-3)和(4,5)上,要使區(qū)間[a,b]包含上述區(qū)間,則需(b-a)min=9. 答案 9 二、解答題 11.已知函數f(x)=

7、-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0). (1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍; (2)試確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根. 解 (1)∵g(x)=x+≥2=2e,等號成立的條件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,則g(x)=m就有零點. (2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點.作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的圖象如圖. ∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2, 其對稱軸為直線x=e,開口向下,最大值為m-1+e2, 故當

8、m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時,g(x)與f(x)有兩個交點,即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根, ∴m的取值范圍是m>-e2+2e+1. 12.已知二次函數f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1,1]內至少存在一個實數c,使f(c)>0,求實數p的取值范圍. 解 二次函數f(x)在區(qū)間[-1,1]內至少存在一個實數c,使f(c)>0的否定是對于區(qū)間[-1,1]內的任意一個x都有f(x)≤0, ∴ 即 整理得 解得p≥或p≤-3, ∴二次函數f(x)在區(qū)間[-1,1]內至少存在一個實數c,使f(c)>0的實數p的取值范圍是. 13.已

9、知函數f(x)=|x-a|-ln x,a∈R. (1)求函數f(x)的單調區(qū)間; (2)若函數f(x)有兩個零點x1,x2(x10,函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞). 當a>0時, f(x)=|x-a|-ln x= 若x≥a,f′(x)=1-=>0,此時函數f(x)單調遞增, 若0

10、∞); 當a>0時,函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,a);單調遞增區(qū)間為(a,+∞). (2)證明 由(1)知,當a≤0時,函數f(x)單調遞增,至多只有一個零點,不合題意; 則必有a>0,此時函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,a);單調遞增區(qū)間為(a,+∞), 由題意,必須f(a)=-ln a<0,解得a>1. 由f(1)=a-1-ln 1=a-1>0,f(a)<0,得x1∈(1,a). 而f(a2)=a2-a-aln a=a(a-1-ln a), 下面證明:a>1時,a-1-ln a>0. 設g(x)=x-1-ln x,x>1, 則g′(x)=1-=>0, ∴g(x)

11、在x>1時遞增,則g(x)>g(1)=0, ∴f(a2)=a2-a-aln a=a(a-1-ln a)>0,又f(a)<0, ∴x2∈(a,a2),綜上,10,a,c∈R). (1)設a>c>0.若f(x)>c2-2c+a對x∈[1,+∞)恒成立,求c的取值范圍; (2)函數f(x)在區(qū)間(0,1)內是否有零點,有幾個零點?為什么? 解 (1)因為二次函數f(x)=3ax2-2(a+c)x+c的圖象的對稱軸為x=,由條件a>c>0,得2a>a+c, 故<=<1, 即二次函數f(x)的對稱軸在區(qū)間

12、[1,+∞)的左邊, 且拋物線開口向上,故f(x)在[1,+∞)內是增函數. 若f(x)>c2-2c+a對x∈[1,+∞)恒成立, 則f(x)min=f(1)>c2-2c+a, 即a-c>c2-2c+a,得c2-c<0,所以00,f(1)=a-c>0,則a>c>0. 因為二次函數f(x)=3ax2-2(a+c)x+c的圖象的對稱軸是x=.而f=<0, 所以函數f(x)在區(qū)間和內各有一個零點,故函數f(x)在區(qū)間(0,1)內有兩個零點.

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