新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十章 第6講曲線與方程

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第6講 曲線與方程 一、填空題 1.△ABC的頂點A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上, 則頂點C的軌跡方程是________.[來 答案 -=1(x>3) 2. 點P到點(1,1)和到直線x+2y=3的距離相等,則點P的軌跡方程為________. 答案 2x-y-1=0 3.已知一條曲線在y軸的右方,它上面的每一點到點A(4,0) 的距離減去該點到y(tǒng)軸的距離之差都是4,則這條曲線的方程是________. 解析 由題意,曲線上每一點P到點A(4,0)與到直線l:x=-4距離相等,所以曲線是 拋物線,方程為y2=16x

2、. 答案 y2=16x 4. 過點P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1與l2分別與x、y軸交于A、B兩點, 則AB中點M的軌跡方程為________. 答案 x+y-1=0 5. 有一動圓P恒過定點F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點A、B,若△ABP為 正三角形,則點P的軌跡為________. 答案 雙曲線 6.設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點,Q為圓周上任一點.線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則M的軌跡方程為________. 解析 M為AQ垂直平分線上一點,則AM=MQ,∴MC+MA=MC+MQ=CQ=5, 由橢圓的定

3、義知,M的軌跡為橢圓. ∴a=,c=1,則b2=a2-c2=, ∴橢圓的標準方程為+=1. 答案 +=1 7.若△ABC的頂點A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是________. 解析 如圖AD=AE=8,BF=BE=2,CD=CF,所以CA-CB=8-2=6. 根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,方程為-=1(x>3). 答案?。?(x>3) 8.方程|y|-1=表示的曲線是________. 解析 原方程等價于 ? ?或 答案 兩個半圓 9.已知P是橢圓+=1(a>b>0)上的任

4、意一點,F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點,O為坐標原點,=+,則動點Q的軌跡方程是______________. 解析 由=+, 又+==2=-2, 設(shè)Q(x,y),則=-=-(x,y)=, 即P點坐標為,又P在橢圓上, 則有+=1,即+=1(a>b>0). 答案?。?(a>b>0) 10.已知兩條直線l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0,有一動圓(圓心和半徑都動)與l1、l2都相交,且l1、l2被圓截得的弦長分別是定值26和24,則圓心的軌跡方程是____________. 解析 設(shè)動圓的圓心為M(x,y),半徑為r,點M到直線l1,l2的距離分別為d1和d2. 由

5、弦心距、半徑、半弦長間的關(guān)系得, 即 消去r得動點M滿足的幾何關(guān)系為d-d=25, 即-=25. 化簡得(x+1)2-y2=65. 此即為所求的動圓圓心M的軌跡方程. 答案 (x+1)2-y2=65 二、解答題 11. 如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且|MD|=|PD|. (1)當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程; (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度. 解 (1)設(shè)點M的坐標為(x,y),點P的坐標為(xP,yP). 由已知,得∵點P在圓上,∴x2+2=25, 即點M的軌跡C的方程為+=1.

6、(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3). 設(shè)直線與C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2). 將直線方程y=(x-3)代入C的方程,得 +=1,即x2-3x-8=0. ∴x1=,x2=. ∴線段AB的長度為AB=== =. 12.拋物線C:y=x2在點P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點A、B,=.當點P在C上移動時,點M的軌跡為D. (1)求曲線D的方程; (2)設(shè)直線l與曲線D的另一個交點為N,曲線D在點M、N處的切線分別為m、n直線m、n相交于點Q,證明:PQ平行于x軸. 解 (1)對y=x2,求導(dǎo),得y′=2x. 設(shè)點P(x0,x)(x0≠0

7、),則直線l方程為 y-x=2x0(x-x0), 在l方程中分別令y=0,x=0,得A、B(0,-x). 設(shè)M(x,y),= 即=(-x,-x-y), 由此得x0=3x,x=-3y, 消去x0,得曲線D的方程為y=-3x2(x≠0). (2)將y=-3x2代入直線l方程,并整理得 3x2+2x0x-x=0, 由(1)知,M,設(shè)N(x1,-3x),則x1=-, x1=-x0.對y=-3x2求導(dǎo),得y′=-6x, 于是直線m、n的方程分別為 y+=-2x0和y+3x=6x0(x+x0), 即y=-2x0x+和y=6x0x+3x, 由此得點Q縱坐標為x,故PQ平行于x軸.

8、 13.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,1),P是動點,且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA. (1)求點P的軌跡C的方程; (2)若Q是軌跡C上異于點P的一點,且=λ,直線OP與QA交于點M,問:是否存在點P使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由. 解 (1)設(shè)點P(x,y)為所求軌跡上的任意一點, 則由kOP+kOA=kPA,得+=,整理,得 軌跡C的方程為y=x2(x≠0且x≠-1). (2)設(shè)P(x1,x),Q(x2,x), 由=λ,可知直線PQ∥OA,則kPQ=kOA, 故=

9、,即x2=-x1-1, 直線OP方程為:y=x1x. ① 直線QA的斜率為:=-x1-2. ∴直線QA方程為:y-1=(-x1-2)(x+1), 即y=-(x1+2)x-x1-1. ② 聯(lián)立①②,得x=-,∴點M的橫坐標為定值-. 由S△PQA=2S△PAM,得到QA=2AM, ∵PQ∥OA,∴OP=2OM, 由=2,得x1=1,∴P的坐標為(1,1). ∴存在點P滿足S△PQA=2S△PAM,P的坐標為(1,1). 14.有一種大型商品,A、B兩地都有出售,且價格相同,某地居民從兩地之一購得商品后, 回運的費用是:每單位距離

10、A地的運費是B地運費的3倍,已知A、B兩地間的距離 為10千米,顧客選A或選B購買這件商品的標準是:包括運費和價格的總費用較低, 求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民 應(yīng)如何選擇購貨地點. 解 如圖所示,以AB所確定的直線為x軸,AB中點O為坐標原點建立平面直角坐標 系,則A(-5,0),B(5,0).設(shè)某地P的坐標為(x,y),且P地居民選擇A地購買商品便宜,并設(shè)A地的運費為3a元/千米,B地的運費為a元/千米. ∴價格+xA地運費≤價格+xB地運費, 即3a≤a. ∵a>0,∴3≤. 兩邊平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2, 即2+y2≤2. ∴以點C為圓心,為半徑的圓是這兩地購貨的分界線;圓C內(nèi)居民從A地購貨便宜;圓C外的居民從B地購貨便宜;圓C上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等,可隨意從A、B兩地之一購貨.

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