新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第十一章 第1講兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第十一章 計(jì)數(shù)原理 第1講 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理 一、填空題 1.5名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪三個(gè)項(xiàng)目的冠軍(不能并列),所有可能的結(jié)果共有_______種. 解析 第n個(gè)項(xiàng)目的冠軍可由5名運(yùn)動(dòng)員中的任一人取得,共5種方法(n=1,2,3),根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,所有可能的結(jié)果共有5×5×5=53(種). 答案 53 2.現(xiàn)有4名教師參加說(shuō)題比賽,共有4道備選題目,若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說(shuō)題,其中恰有一道題沒(méi)有被這4位選中的情況有________種. 解析 首先選擇題目,從4道題目中選出3道,選法為C,而后再將獲得同一道題目的2位老師選出,選法為C,最

2、后將3道題目,分配給3組老師,分配方式為A,即滿足題意的情況共有CCA=144(種). 答案 144 3.某次活動(dòng)中,有30人排成6行5列,現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演,要求這3人中的任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答). 解析 其中最先選出的一個(gè)人有30種方法,此時(shí)不能再?gòu)倪@個(gè)人所在的行和列共9個(gè)位置上選人,還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形,故選第二個(gè)人有20種方法,此時(shí)不能再?gòu)脑撊怂诘男泻土猩线x人,還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形,此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,總的選法種數(shù)是30×20×12=7 200. 答案 7 200 4.如圖所示的陰影

3、部分由方格紙上3個(gè)小方格組成,我們稱這樣的圖案為L(zhǎng)型(每次旋轉(zhuǎn)90°仍為L(zhǎng)型圖案),那么在由4×5個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫(huà)出不同位置的L型圖案的個(gè)數(shù)是________. 答案 48 5.如圖所示,在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè). 答案 40 6.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9},現(xiàn)在從這三個(gè)集合中取出兩個(gè)集合,再?gòu)倪@兩個(gè)集合中各取出的一個(gè)元素,組成一個(gè)含有兩個(gè)元素的集合,則一共可組成集合________個(gè). 解析 分三類:第一類:若取出的集合是A,B,則可組成4×3=12個(gè)集合;第二類

4、:若取出的集合是A,C,則可組成4×2=8個(gè)集合;第三類:若取出的集合是B,C,則可組成3×2=6個(gè)集合,故一共可組成12+8+6=26個(gè)集合. 答案 26 7.將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個(gè)數(shù),第二行2個(gè)數(shù),第三行3個(gè)數(shù)的形式隨機(jī)排列,設(shè)Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的數(shù),則滿足N1<N2<N3的所有排列的個(gè)數(shù)是________(用數(shù)字作答). 解析 由已知數(shù)字6一定在第三行,第三行的排法種數(shù)為AA=60;剩余的三個(gè)數(shù)字中最大的一定排在第二行,第二行的排法種數(shù)為AA=4,由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排列個(gè)數(shù)是240. 答案 240 8. 數(shù)字1,2,3,…,9這九個(gè)

5、數(shù)字填寫(xiě)在如圖的9個(gè)空格中,要求每一行從左到右依次增大,每列從上到下也依次增大,當(dāng)數(shù)字4固定在中心位置時(shí),則所有填寫(xiě)空格的方法共有________種. 解析 必有1、4、9在主對(duì)角線上,2、3只有兩種不同的填法,對(duì)于它們的每一種填法,5只有兩種填法.對(duì)于5的每一種填法,6、7、8只有3種不同的填法,由分步計(jì)數(shù)原理知共有22×3=12(種)填法. 答案 12 9.從集合U={a,b,c,d}的子集中選出4個(gè)不同的子集,需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件: (1)?,U都要選出; (2)對(duì)選出的任意兩個(gè)子集A和B,必有A?B或A?B.那么,共有________種不同的選法. 解析 將選法分成兩類.

6、第一類:其中一個(gè)是單元素集合,則另一集合為含兩個(gè)或三個(gè)元素且含有單元素集合中的元素,有C×6=24(種). 第二類:其中一個(gè)是兩個(gè)元素集合,則另一個(gè)是含有這兩個(gè)元素的三元素集合,有C×2=12(種). 綜上共有24+12=36(種). 答案 36 10.如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么,稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”,在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是________. 解析 正方體的一條棱對(duì)應(yīng)著2個(gè)“正交線面對(duì)”,12條棱共對(duì)應(yīng)著24個(gè)“正交線面對(duì)”;正方體的一條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著1個(gè)“正交線面對(duì)”,12條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著12上“

7、正交線面對(duì)”,共有36個(gè). 答案 36 二、解答題 11.某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門,其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人,有多少種不同的選法? 解 由題意得有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ),6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ). 第一類:從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ),共有6種方法,則說(shuō)日語(yǔ)的有2+1=3(種),此時(shí)共有6×3=18(種); 第二類:不從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ),則只有1種方法,則選會(huì)日語(yǔ)的有2種,此時(shí)共有1×2=2(種);[來(lái)源:] 所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有18+2=20(種)選法. 12. 如圖,用四種不同顏色給圖中的A,B,C

8、,D,E,F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色.則不同的涂色方法共有多少種? 解 先涂A、D、E三個(gè)點(diǎn),共有4×3×2=24(種)涂法,然后再按B、C、F的順序涂色,分為兩類:一類是B與E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8(種)涂法;另一類是B與E或D不同色,共有1×(1×1+1×2)=3(種)涂法.所以涂色方法共有24×(8+3)=264(種). 13.用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙所示).要求在①,②,③,④四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色. (1)若n=6,為甲著色時(shí)共有多少種不同的方法? (2)若為乙著色

9、時(shí)共有120種不同的方法,求n的值. 解 完成著色這件事,共分為四個(gè)步驟,可以依次考慮為①,②,③,④這四個(gè)區(qū)域著色時(shí)各自的方法數(shù),再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理確定出總的著色種數(shù),因此有: (1)為①區(qū)域著色時(shí)有6種方法,為②區(qū)域著色時(shí)有5種方法,為③區(qū)域著色時(shí)有4種方法,為④區(qū)域著色時(shí)有4種方法,∴依據(jù)分步(乘法)計(jì)數(shù)原理,不同的著色方法為6×5×4×4=480(種). (2)由題意知,為①區(qū)域著色時(shí)有n種方法,為②區(qū)域著色時(shí)有(n-1)種方法,為③區(qū)域著色時(shí)有(n-2)種方法,為④區(qū)域著色時(shí)有(n-3)種方法,由分步計(jì)數(shù)原理得不同的著色數(shù)為n(n-1)(n-2)(n-3).∴n(n-1)(

10、n-2)(n-3)=120. 而120=5×4×3×2,∴n=5. 14.已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是從A到B的映射. (1)若B中每一元素都有原象,這樣不同的f有多少個(gè)? (2)若B中的元素0無(wú)原象,這樣的f有多少個(gè)? (3)若f滿足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,這樣的f又有多少個(gè)? 解 (1)顯然對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的,即a1找象有4種方法,a2找象有3種方法,a3找象有2種方法,a4找象有1種方法,所以不同的f共有4×3×2×1=24(個(gè)). (2)0無(wú)原象,1,2,3有無(wú)原象不限,所以為A中每一元素找象時(shí)都有3種方法.所以不同的f共有34=81(個(gè)). (3)分為如下四類: 第一類,A中每一元素都與1對(duì)應(yīng),有1種方法; 第二類,A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)1,一個(gè)元素對(duì)應(yīng)2,另一個(gè)元素與0對(duì)應(yīng),有C·C=12(種)方法; 第三類,A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)2,另兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)0,有C·C=6(種)方法; 第四類,A中有一個(gè)元素對(duì)應(yīng)1,一個(gè)元素對(duì)應(yīng)3,另兩個(gè)元素與0對(duì)應(yīng),有C·C=12(種)方法. 所以不同的f共有1+12+6+12=31(個(gè)).

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