新版高考數(shù)學理科一輪【學案19】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含答案

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1、 1

2、 1 學案19　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 導學目標： 1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性． 自主梳理 1．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象

3、 定義域 值域 周期性 奇偶性 單調(diào)性 在______________________上增，在__________________________________上減 在__________________________上增，在______________________________上減 在定義域的每一個區(qū)間________________________________內(nèi)是增函數(shù) 2.正弦函數(shù)y＝sin x 當x＝____________________________________時，取最大值1； 當x

4、＝____________________________________時，取最小值－1. 3．余弦函數(shù)y＝cos x 當x＝__________________________時，取最大值1； 當x＝__________________________時，取最小值－1. 4．y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x的對稱中心分別為____________、___________、______________. 5．y＝sin x、y＝cos x的對稱軸分別為______________和____________，y＝tan x沒有對稱軸． 自我檢測 1．(20xx·十堰

5、月考)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0)在閉區(qū)間[－π，0]上的圖象如圖所示，則ω為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．函數(shù)y＝sin圖象的對稱軸方程可能是 (　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 3．(20xx·湖北)函數(shù)f(x)＝sin，x∈R的最小正周期為 (　　) A. B．π C．2π

6、 D．4π 4．(20xx·北京海淀高三上學期期中考試)函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x的最小正周期為 (　　) A．4π B．3π C．2π D．π 5．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么|φ|的最小值為 (　　) A. B. C. D. 探究點一　求三角函數(shù)的定義域 例1　(20xx·衡水月考)求函數(shù)y＝＋的定義域． 變式遷移1　函數(shù)y

7、＝＋lg(2sin x－1)的定義域為________________________． 探究點二　三角函數(shù)的單調(diào)性 例2　求函數(shù)y＝2sin的單調(diào)區(qū)間． 變式遷移2　(20xx·南平月考)(1)求函數(shù)y＝sin，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)求函數(shù)y＝3tan的周期及單調(diào)區(qū)間． 探究點三　三角函數(shù)的值域與最值 例3　已知函數(shù)f(x)＝2asin(2x－)＋b的定義域為[0，]，函數(shù)的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值． 變式遷移3　設函數(shù)f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，試確定g(x)＝bsin(

8、ax＋)的周期． 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用 例　(12分)求下列函數(shù)的值域： (1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2； (2)y＝3cos x－sin x，x∈[0，]； (3)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x. 【答題模板】 解　(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x ＝2(cos x＋)2－，cos x∈[－1,1]． 當cos x＝1時，ymax＝4， 當cos x＝－時，ymin＝－，故函數(shù)值域為[－，4]．[4分] (2)y＝3cos x－sin x＝2cos(x＋) ∵x∈[0，]，∴≤x＋

9、≤， ∵y＝cos x在[，]上單調(diào)遞減， ∴－≤cos(x＋)≤ ∴－≤y≤3，故函數(shù)值域為[－，3]．[8分] (3)令t＝sin x＋cos x，則sin xcos x＝，且|t|≤. ∴y＝t＋＝(t＋1)2－1，∴當t＝－1時，ymin＝－1； 當t＝時，ymax＝＋. ∴函數(shù)值域為[－1，＋]．[12分] 【突破思維障礙】 1．對于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函數(shù)在求值域時，需先確定ωx＋φ的范圍，再求值域．同時，對于形 如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函數(shù)，可借助輔助角公式，將函數(shù)化為y＝sin(ωx＋φ)＋c的形式，從而求得

10、函數(shù)的最值． 2．關(guān)于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可以為此型的函數(shù)求值域，一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題． 提醒：不論用什么方法，切忌忽略函數(shù)的定義域． 1．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)是研究三角問題的基礎(chǔ)，三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上就是解最簡單的三角不等式(組)． 2．三角函數(shù)的值域問題，實質(zhì)上是含有三角函數(shù)的復合函數(shù)的值域問題． 3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把ωx＋φ看作一個整體，利用y＝sin x的單

11、調(diào)區(qū)間來求． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx·黃山月考)已知函數(shù)y＝sin x的定義域為[a，b]，值域為[－1，]，則b－a的值不可能是 (　　) A. B. C．π D. 2．(20xx·安徽6校高三聯(lián)考)已知函數(shù)y＝tan ωx (ω>0)與直線y＝a相交于A、B兩點，且|AB|最小值為π，則函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx的單調(diào)增區(qū)間是 (　　

12、) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z) 3．函數(shù)f(x)＝tan ωx (ω>0)的圖象的相鄰的兩支截直線y＝所得線段長為，則f的值是 (　　) A．0 B．1 C．－1 D. 4．函數(shù)y＝－xcos x的部分圖象是圖中 (　　) 5．(20xx·三明模擬)若函數(shù)y＝sin x＋f(x)在[－，]上單調(diào)遞增，則函數(shù)f

13、(x)可以是(　　) A．1 B．cos x C．sin x D．－cos x 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．設點P是函數(shù)f(x)＝sin ωx的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是，則f(x)的最小正周期是________． 7．函數(shù)f(x)＝2sin 對于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，則|x1－x2|的最小值為________． 8．(20xx·江蘇)定義在區(qū)間上的函數(shù)y＝6cos x的圖象與y＝5tan x的圖象的交點為P，過點P作

14、PP1⊥x軸于點P1，直線PP1與y＝sin x的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(20xx·廈門月考)已知函數(shù)f(x)＝，求它的定義域和值域，并判斷它的奇偶性． 10．(12分)(20xx·福建改編)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋)＋a(ω>0)與g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (3)當x∈[0，]時，f(x)的最小值為－2，求a的值． 11．(14分)(20xx·安徽合肥高三二模

15、)已知向量a＝(sin x，2sin x)，b＝(2cos x，sin x)，定義f(x)＝a·b－. (1)求函數(shù)y＝f(x)，x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若函數(shù)y＝f(x＋θ) (0<θ<)為偶函數(shù)，求θ的值． 答案 自主梳理 1．R　R　{x|x≠kπ＋，k∈Z}　[－1,1]　[－1,1]　R　2π　2π　π　奇函數(shù)　偶函數(shù)　奇函數(shù)　[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)　[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　(kπ－，kπ＋)(k∈Z) 2．2kπ＋(k∈Z)　2kπ－(k∈Z)　3.2kπ(k

16、∈Z)　2kπ＋π(k∈Z)　4.(kπ，0)(k∈Z)　(k∈Z)　(k∈Z)　5.x＝kπ＋(k∈Z)　x＝kπ(k∈Z) 自我檢測 1．C　2.D　3.D　4.D　5.A 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　求三角函數(shù)的定義域時，需要轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)求解，常常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時可以利用單位圓，對于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)倍即可． 解　要使函數(shù)有意義， 則 得 所以函數(shù)的定義域為 . 變式遷移1　，k∈Z 解析　由題意得 ?， 解得， 即x∈，k∈Z. 例2　解題導引　求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其

17、中A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“ωx＋φ (ω>0)”視為一個“整體”；②A>0 (A<0)時，所列不等式的方向與y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對應的不等式方向相同(反)． 解　y＝2sin可看作是由y＝2sin u與u＝－x復合而成的． 又∵u＝－x為減函數(shù)， ∴由2kπ－≤u≤2kπ＋(k∈Z)， 即2kπ－≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)， 得－2kπ－≤x≤－2kπ＋ (k∈Z)， 即(k∈Z)為 y＝2sin的遞減區(qū)間． 由2kπ＋≤u≤2kπ＋ (k∈Z)， 即2kπ＋≤－x≤2k

18、π＋ (k∈Z)， 得－2kπ－≤x≤－2kπ－ (k∈Z)， 即(k∈Z)為 y＝2sin的遞增區(qū)間． 綜上可知，y＝2sin的遞增區(qū)間為 (k∈Z)； 遞減區(qū)間為 (k∈Z)． 變式遷移2　解　(1)由y＝sin， 得y＝－sin， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 又x∈[－π，π]， ∴－π≤x≤－π，－≤x≤π，π≤x≤π. ∴函數(shù)y＝sin，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間為，，. (2)函數(shù)y＝3tan的周期 T＝＝4π. 由y＝3tan 得y＝－3tan， 由－＋kπ<－<＋kπ得 －π＋4kπ

19、π，k∈Z， ∴函數(shù)y＝3tan的單調(diào)遞減區(qū)間為 (k∈Z)． 例3　解題導引　解決此類問題，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解決問題． 解　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π， ∴－≤sin(2x－)≤1， 若a>0，則，解得； 若a<0，則， 解得. 綜上可知，a＝12－6，b＝－23＋12 或a＝－12＋6，b＝19－12. 變式遷移3　解　∵x∈R， ∴cos x∈[－1,1]， 若a>0，則，解得； 若a<0，則，解得. 所以g(x)＝－sin(2x＋)或g(x)＝－sin(－

20、2x＋)，周期為π. 課后練習區(qū) 1．A　[畫出函數(shù)y＝sin x的草圖(圖略)，分析知b－a的取值范圍為[，]，故選A.] 2．B　[由題意知，函數(shù)的最小正周期為π，則ω＝1， 故f(x)＝sin ωx－cos ωx ＝2sin的單調(diào)增區(qū)間滿足： 2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z) 解得2kπ－≤x≤2kπ＋.] 3．A 4．D 5．D　[因為y＝sin x－cos x＝sin(x－)，－≤x－≤，即－≤x≤，滿足題意，所以函數(shù)f(x)可以是－cos x．] 6. 解析　依題意得＝，所以最小正周期T＝. 7．4π 解析　由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(

21、x1)、f(x2)分別為f(x)的最小值和最大值，而當＝2kπ－，即x＝8kπ－2π (k∈Z)時，f(x)取最小值；而＝2kπ＋，即x＝8kπ＋2π (k∈Z)時，f(x)取最大值， ∴|x1－x2|的最小值為4π. 8. 解析　線段P1P2的長即為sin x的值，且其中的x滿足6cos x＝5tan x，x∈，解得sin x＝.所以線段P1P2的長為. 9．解　由題意知cos 2x≠0，得2x≠kπ＋， 解得x≠＋ (k∈Z)． ∴f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}． ……………………………………………………………………………………………(3分) 又f(x)

22、＝ ＝ ＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………(6分) 又∵定義域關(guān)于原點對稱， ∴f(x)是偶函數(shù)．…………………………………………………………………………(8分) 顯然－sin2x∈[－1,0]， 又∵x≠＋，k∈Z， ∴－sin2x≠－. ∴原函數(shù)的值域為 .……………………………………………………………(12分) 10．解　(1)∵f(x)和g(x)的對稱軸完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋)＋a(3分) ∴f(x)的最小正周期T＝＝π.…………………………………………………………(4

23、分) (2)當2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 [kπ＋，kπ＋](k∈Z)．…………………………………………………………………(8分) (3)當x∈[0，]時，2x＋∈[，]，…………………………………………………(10分) ∴2sin(2·＋)＋a＝－2， ∴a＝－1.………………………………………………………………………………(12分) 11．解　f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋2·－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin.………………………………………………………(4分) (1)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z. ……………………………………………………………………………………………(8分) (2)f(x＋θ)＝2sin. 根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知， y＝f(x＋θ) 在x＝0處取最值， ∴sin＝±1， ∴2θ－＝kπ＋，θ＝＋，k∈Z.……………………………………………………(12分) 又0<θ<，解得θ＝.…………………………………………………………………(14分)