新版高三數(shù)學理33個黃金考點總動員 考點08 函數(shù)與方程解析版 Word版含解析

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1、 1

2、 1 高三數(shù)學33個黃金考點總動員 【考點剖析】 1.最新考試說明： （1）結合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)． （2）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解． 2.命題方向預測： （1）考查具體函數(shù)的零點個數(shù)和零點的取值范圍. （2）利用函數(shù)零點求解參數(shù)的取值范圍. （3）考查函數(shù)零點、方程的根和兩函

3、數(shù)圖象交點橫坐標的等價轉化思想和數(shù)形結合思想． 3.課本結論總結： （1）幾個等價關系： 方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． （2）函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間（a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． （3）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系： Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象 ? ? ?

4、與x軸的交點 ?（x1,0）,(x2,0) ?(x1,0) 無交點? 零點個數(shù) ?兩個 ?一個（二重的） ?零個 （4）給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下： ①確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε； ②求區(qū)間(a，b)的中點c； ③計算f(c)； (i)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點； ii)若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))； (iii)若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))． ④判斷是否達到精確度ε.即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則

5、重復②③④. 4.名師二級結論： （１）二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零點分布情況 根的分布(m＜n＜p為常數(shù)) 圖象 滿足的條件 x1＜x2＜m (兩根都小于m) m＜x1＜x2 (兩根都大于m) x1＜m＜x2 (一根大于m，一根小于m) f(m)＜0 x1，x2∈(m，n) (兩根位于m，n之間) m＜x1＜n＜x2＜p (兩根分別位于m與n，n與p之間) 只有一根在m，n之間 或f(m)·f(n)＜0 （２）有關函數(shù)零點的重要結論： (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，則f(x)至

6、多有一個零點． (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號． (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值符號可能不變，也可能改變． (4)函數(shù)至多有個零點． 5.課本經(jīng)典習題： (1) 新課標A版必修一第88頁，例1 求函數(shù)的零點的個數(shù)。 答案：僅有一個零點 【經(jīng)典理由】函數(shù)零點個數(shù)的判斷是高考命題的熱點。 (2) 【課本典型習題改編，P119B組第1題】方程的解所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【經(jīng)典理由】判斷方程的根所在的大致范圍這也是高考命題的一個熱點，在教學中

7、應引起足夠的重視． 6.考點交匯展示： (1)函數(shù)的零點與三角函數(shù)交匯 例1【解析團隊學易高考沖刺金卷36套預測卷】若關于的方程在區(qū)間上有唯一的實數(shù)解，則的取值范圍為 . 【答案】 【解析】原方程可變形為，∵，∴，易知函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，∴方程時，有，即． 考點：1.方程解的個數(shù)問題; 2.與函數(shù)的單調性或函數(shù)圖象的交點． (2) 函數(shù)的零點與不等式交匯 例2【20xx高考湖南，理15】已知，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是 . 【答案】. 考點:1.函數(shù)與方程；2.分類討論的數(shù)學思想. (3) 函數(shù)的零點與

8、函數(shù)的最值、極值等交匯 例3【新課標第Ⅱ套預測卷】 已知命題：函數(shù)在內恰有一個零點；命題：函數(shù)在上是減函數(shù).若且為真命題,則實數(shù)的取值范圍是( ). A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　D.或 【答案】C 考點：1、函數(shù)的零點；2、函數(shù)的單調性；3、復合命題的真假. 例4【高考原創(chuàng)預測卷（江蘇版）】(本小題滿分16分) 設函數(shù)的圖像關于坐標原點對稱，且與軸相切. （1） 求的值； （2） 是否存在實數(shù)使函數(shù)在區(qū)間上的值域仍是區(qū)間？ 解：（1）因為的圖像關于坐標原點對稱，所以恒成立， 即，于是 令則由得 因為當時，所以函數(shù)在區(qū)

9、間上是單調增函數(shù)， 從而函數(shù)在區(qū)間上至多有一個零點. 又因為當時，， 所以函數(shù)在區(qū)間上是單調減函數(shù)，于是， 所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點. 故此時不存在. 綜上所述，不存在實數(shù)使函數(shù)在區(qū)間上的值域仍是區(qū)間.………………………… 16分 考點：函數(shù)與方程思想 【考點分類】 熱點1函數(shù)零點的求解與判斷 1. 【20xx山東高考理第8題】 已知函數(shù)若方程有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】 考點：函數(shù)與方程，函數(shù)的圖象. 2. 【20xx高考安徽，理15】設，其中均為實數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅

10、有一個實根的是 .（寫出所有正確條件的編號） ①；②；③；④；⑤. 【答案】①③④⑤ 【解析】令，求導得，當時，，所以單調遞增，且至少存在一個數(shù)使，至少存在一個數(shù)使，所以必有一個零點，即方程僅有一根，故④⑤正確；當時，若，則，易知，在上單調遞增，在上單調遞減，所以， ，要使方程僅有一根，則或者 ，解得或，故①③正確.所以使得三次方程僅有一個實 根的是①③④⑤. 考點:1函數(shù)零點與方程的根之間的關系；2.函數(shù)的單調性及其極值. 3. 【20xx天津高考理第14題】已知函數(shù)，．若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為__________． 【答案】．

11、 考點:方程的根與函數(shù)的零點． 【方法規(guī)律】 1．方程的根(從數(shù)的角度看)、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(從形的角度看)、函數(shù)的零點是同一個問題的三種不同的表現(xiàn)形式． 2．函數(shù)零點的判斷： (1)解方程：當對應方程易解時，可通過先解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上； (2)利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內必有零點. (3) 數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷． 【解題技巧】 1．函數(shù)零點的求法： ①（代數(shù)

12、法）求方程的實數(shù)根； ②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點。 ２．確定函數(shù)的零點所在區(qū)間的常用方法 (1)利用函數(shù)零點的存在性定理:首先看函數(shù)在區(qū)間上的圖象是否連續(xù),再看是否有·.若有,則函數(shù)在區(qū)間內必有零點. (2)數(shù)形結合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷. ３．確定方程在區(qū)間上根的個數(shù)的方法 (1)解方程法:當對應方程易解時,可先解方程,看求得的根是否落在區(qū)間上再判斷. (2)數(shù)形結合法:通過畫函數(shù)與的圖象,觀察其在區(qū)間上交點個數(shù)來判斷. ４．函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法 (1)直接求零點：令

13、，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且·，還必須結合函數(shù)的圖像與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點； (3)利用圖像交點的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖像，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 函數(shù)零點個數(shù)的判斷通常轉化為兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)，其步驟是： (1)令； (2)構造，； (3)作出圖像； (4)由圖像交點個數(shù)得出結論． 【易錯點睛】 1.函數(shù)零點—忽視單調性的存在。例如：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且f(x)在(－2,2)內

14、有一個零點，則f(－2)·f(2)的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定 解答：若函數(shù)f(x)在(－2,2)內有一個零點，該零點可分兩種情況：(1)該零點是變號零點，則f(－2)·f(2)<0；(2)該零點是非變號零點，則f(－2)·f(2)>0，因此選D. 易錯警示： 警示1：錯誤認為該零點是變號零點；警示2：不知道非變號零點這種情況． 方法剖析：方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以根據(jù)區(qū)間端點處的函數(shù)值的正負來確定，但要確定零點的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調性，在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)是單調的，它至多有一個零點，如果不是單調的，可繼續(xù)細分出

15、小的單調區(qū)間，再結合這些小的區(qū)間的端點處函數(shù)值的正負，作出正確判斷．本題的解答錯誤在于沒有正確理解函數(shù)零點的含義及存在性，事實上，當f(x)在(－2,2)內有一個零點時，f(－2)·f(2)的符號不能確定． 2.要注意對于在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)，若x0是f(x)的零點，卻不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0僅是f(x)在[a，b]上存在零點的充分條件，而不是必要條件． 注意以下兩點： ①滿足零點存在性定理的條件的零點可能不唯一； ②不滿足零點存在性定理條件時，也可能有零點． ③由函數(shù)在閉區(qū)間上有零點不一定能推出·，如圖所示．所以·是在閉區(qū)間上有零點的

16、充分不必要條件． 注意：①如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間上是一個單調函數(shù)，那么當·時，函數(shù)在區(qū)間內有唯一的零點，即存在唯一的，使. ②如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有·，那么，函數(shù)在區(qū)間內不一定沒有零點． ③如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么當函數(shù)在區(qū)間內有零點時不一定有·，也可能有·. 熱點2函數(shù)零點與函數(shù)的性質的綜合應用 １．【20xx高考天津，理8】已知函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個零點，則的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 考點：求函數(shù)解析、函數(shù)

17、與方程思、數(shù)形結合. 2.【20xx全國1高考理第11題】已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考點：1、函數(shù)的零點；2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性． 3. 【20xx高考湖南卷第10題】已知函數(shù)與圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 考點：指對數(shù)函數(shù) 方程 單調性 4. 【20xx高考江蘇卷第13題】已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點（互不相

18、同），則實數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 【解析】作出函數(shù)的圖象，可見，當時，，，方程在上有10個零點，即函數(shù)和圖象與直線在上有10個交點，由于函數(shù)的周期為3，因此直線與函數(shù)的應該是4個交點，則有． 考點：函數(shù)的零點，周期函數(shù)的性質，函數(shù)圖象的交點問題． 【方法規(guī)律】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路: 1．直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； 2．分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決； 3．數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解. 【解題技巧】 1.應

19、用函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍． (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決． (3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結合求解． 2．與方程根有關的計算和大小比較問題的解法 數(shù)形結合法:根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點的對稱性等進行計算與比較大小. 3．在求方程解的個數(shù)或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時，數(shù)形結合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構造兩個函數(shù)，，即把方程

20、寫成的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關系． 【易錯點睛】用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟須注意的問題： ①第一步中要使：(1)區(qū)間長度盡量?。? (2) ，的值比較容易計算且·. ②根據(jù)函數(shù)的零點與相應方程根的關系，求函數(shù)的零點與求相應方程的根是等價的． 對于求方程的根，可以構造函數(shù)，函數(shù)的零點即為方程　的根． ③求函數(shù)零點近似值的關鍵是判斷區(qū)間長度是否小于精確度，當區(qū)間長度小于精確度時，運算即告結束，此時區(qū)間內的任何一個值均符合要求，而我們通常取區(qū)間的一個端點值作為近似解． 【熱點預測】 1. 【穩(wěn)派普通

21、高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬信息卷(五)】若函數(shù)滿足且時，，函數(shù)分別在兩相鄰對稱軸與處取得最值1與-1，則函數(shù)在區(qū)間內零點的個數(shù)為（ ） A．1006 B．1007 C．1008 D．1010 【答案】C 【解析】 試題分析：，故周期為2，，在同一坐標系內作出函數(shù)與的圖象，利用函數(shù)的周期為4，數(shù)形結合即得交點個數(shù)為，故選C. 2. 【改編題】已知是函數(shù)的零點，若，則的值滿足（ ） A． B． C． D．的符號不確定 3．設函數(shù)f(x)滿足f()=f(x),f(x)=f(2x),且當時,f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xc

22、os|,則函數(shù)h (x)=g(x)-f(x)在上的零點個數(shù)為 （　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因為當時,f(x)=x3. 所以當,f(x)=f(2x)=(2x)3, 當時,g(x)=xcos;當時,g(x)= xcos,注意到函數(shù)f(x)、 g(x)都 是偶函數(shù),且f(0)= g(0), f(1)= g(1),,作出函數(shù)f(x)、 g(x)的大致圖象,函數(shù)h(x) 除了0、1這兩個零點之外,分別在區(qū)間上各有一個零點,共有6個 零點,故選B. 4. 【溫州市高三第一次適應性測試】設函數(shù)，若和是函數(shù)的兩個零點，和是的兩個極值 點，則等于(

23、 ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：,若和是函數(shù)的兩個零點,即和是方程的兩根，得到,,,由已知得和是的兩根，所以,故選C. 5．【成都市新津中學高高三（下）二月月考】已知函數(shù),且函數(shù)恰有3個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 6.【四川省成都市高中畢業(yè)班摸底測試】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(4－x)＝f(x)，且當x∈(－1，3]時，f(x)＝，則函數(shù)g(x)＝f(x)－|lgx|的零點個數(shù)

24、是（ ） A、7 B、8 C、9 D、10 【答案】D 【解析】由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，知x＝0是它的一條對稱軸 又由f(4－x)＝f(x)，知x＝2是它的一條對稱軸 于是函數(shù)的周期為(2－0)×2＝4 畫出f(x)的草圖如圖，其中y＝|lgx|在(1，＋∞)遞增且經(jīng)過(10，1)點 10 x 0 1 y 1 函數(shù)g(x)的零點，即為y＝f(x)與y＝|lgx|的交點 結合圖象可知，它們共有10個交點，選D. 7．【上海市靜安區(qū)高三上學期期末考試】已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的以2為周期的偶函數(shù)，當時，.

25、若直線與函數(shù)的圖像在內恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)的值是( ) A．或； B．0； C．0或； D．0或. 【答案】D 8．【河南省鄭州市高中畢業(yè)年級第一次質量預測試題】定義在上的函數(shù)的單調增區(qū)間為，若方程恰有4個不同的實根，則實數(shù)的值為（ ） A． B． C．1 D．-1 【答案】B 9. 【河北省衡水中學高三上學期第五次調研考試】函數(shù)若關于的方程有五個不同的實數(shù)解,則的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析：∵，∴，∴或， ∴由圖像可知：的取值范圍是.

26、10.【山東省日照市高三3月第一次模擬考試】已知定義在R上的函數(shù)滿足：，，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為 A. B. C. D. 【答案】C 11.【成都七中高高三3月高考模擬考試】設函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為 個． 【答案】3 【解析】 試題分析：將的圖象向上平移個單位得的圖象，由圖象可知，有3個零點. 12. 【廣東省梅州市高三3月質檢】已知函數(shù)f(x)=x-[x],其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，若關于x的方程f(x)=kx+k有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是__________. 【答案】 13.【江蘇省連云港市高三第二次調研

27、考試】已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為 ． 【答案】 【解析】 14．【20xx高考北京，理14】設函數(shù) ①若，則的最小值為 ； ②若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】(1)1，(2)或. 【解析】①時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)值大于1，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，當時，取得最小值為1； 15. 已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的極值； （Ⅱ）設函數(shù)若函數(shù)在上恰有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）在處取得極小值.（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求導數(shù)，解得函數(shù)的減區(qū)間；解，得函數(shù)的增區(qū)間． 確定在處取得最

28、小值． 也可以通過“求導數(shù)、求駐點、研究函數(shù)的單調區(qū)間、確定極值（最值）” . （Ⅱ）遵循“求導數(shù)、求駐點、確定函數(shù)的單調性”明確函數(shù)的單調區(qū)間. 應用零點存在定理，建立不等式組，解之即得. 試題解析：（Ⅰ）的定義域是，，得……………………3分 時，，時，， 所以在處取得極小值 ……………………6分 （Ⅱ） 所以，令得 所以在遞減，在遞增 ……………………9分 ……………………11分 所以 ……………………13分 16.(山東省淄博市高三3月模擬考試)（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，（，）． （Ⅰ）判斷曲線在點（1，）處的切線與曲線的公共點個數(shù)； （Ⅱ）當時，若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）當△>時，即或時，有兩個公共點； 當△=時，即或時，有一個公共點； 當△<時,即時，沒有公共點 . （Ⅱ）當時，函數(shù)有兩個零點. 當△=時，即或時，有一個公共點；