2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四章 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法試題 新人教A版選修4-5.doc

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一　數(shù)學(xué)歸納法 課后篇鞏固探究 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 解析當(dāng)n=1時,左邊有2n+1=21+1=3,所以左邊所得的代數(shù)式為1+2+3. 答案C 2.已知n是正奇數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明時,若已假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,且為奇數(shù))時命題為真,則還需證明(　　) A.當(dāng)n=k+1時命題成立 B.當(dāng)n=k+2時命題成立 C.當(dāng)n=2k+2時命題成立 D.當(dāng)n=2(k+2)時命題成立 解析因為n是正奇數(shù),所以只需證明等式對所有奇數(shù)都成立即可.又k的下一個奇數(shù)是k+2,故選B. 答案B 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)3時,由n=k(k≥1)的假設(shè)到證明n=k+1時,等式左邊應(yīng)添加的式子是(　　) A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.13(k+1)[2(k+1)2+1] 解析當(dāng)n=k(k≥1)時,左邊為12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,當(dāng)n=k+1時,左邊為12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12,分析等式變化規(guī)律可知左邊實際增加的是(k+1)2+k2. 答案B 4.導(dǎo)學(xué)號26394063下列代數(shù)式(其中k∈N+)能被9整除的是(　　) A.6+67k B.2+7k-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k) 解析(1)當(dāng)k=1時,顯然只有3(2+7k)能被9整除. (2)假設(shè)當(dāng)k=n(n∈N+,n≥1)時命題成立, 即3(2+7k)能被9整除. 當(dāng)k=n+1時,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除.這就是說,當(dāng)k=n+1時命題也成立. 由(1)(2)可知,3(2+7k)能被9整除對任何k∈N+都成立. 答案D 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n,第一步應(yīng)驗證的等式是　　　　　　　　　　. 解析當(dāng)n=1時,等式的左邊為1-12=12,右邊=12,所以左邊=右邊. 答案1-12=12 6.若凸n(n≥4)邊形有f(n)條對角線,則凸(n+1)邊形的對角線條數(shù)f(n+1)為　　　　　　　　　　. 解析由題意知f(n+1)-f(n)=n-1, 則f(n+1)=f(n)+n-1. 答案f(n)+n-1 7.若s(n)=1+12+13+…+13n-1(n∈N+),則s(5)-s(4)=　　　　　　　　. 解析依題意,s(5)=1+12+13+…+114, s(4)=1+12+13+…+111, 于是s(5)-s(4)=112+113+114. 答案112+113+114 8.已知f(n)=(2n+7)3n+9(n∈N+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除. 證明(1)當(dāng)n=1時,f(1)=(2+7)3+9=36,能被36整除,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時命題成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除. 當(dāng)n=k+1時,f(k+1)=[2(k+1)+7]3k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9 =(2k+7)3k3+23k+1+9=3[(2k+7)3k+9]-27+23k+1+9 =3[(2k+7)3k+9]+18(3k-1-1). 由于3k-1-1是2的倍數(shù),則18(3k-1-1)能被36整除, 即當(dāng)n=k+1時命題也成立. 由(1)(2)可知,對一切正整數(shù)n,都有f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除. 9.導(dǎo)學(xué)號26394064用數(shù)學(xué)歸納法證明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1n(n+1)2(n∈N+). 證明(1)當(dāng)n=1時,左邊=12=1,右邊=(-1)01(1+1)2=1,左邊=右邊,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時命題成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1k(k+1)2. 當(dāng)n=k+1時, 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2 =(-1)k-1k(k+1)2+(-1)k(k+1)2 =(-1)k(k+1)(k+1)-k2 =(-1)k(k+1)[(k+1)+1]2. 因此,當(dāng)n=k+1時命題也成立, 根據(jù)(1)(2)可知,命題對于任何n∈N+等式成立. 10.導(dǎo)學(xué)號26394065已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an2+2an=4Sn. (1)計算a1,a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中猜想的結(jié)論. 解(1)當(dāng)n=1時,a12+2a1=4S1,即a12+2a1=4a1, 整理,得a12-2a1=0, 解得a1=2(a1=0舍去). 當(dāng)n=2時,a22+2a2=4S2,即a22+2a2=4(2+a2), 整理,得a22-2a2-8=0, 解得a2=4(a2=-2舍去). 當(dāng)n=3時,a32+2a3=4S3,即a32+2a3=4(2+4+a3), 整理,得a32-2a3-24=0, 解得a3=6(a3=-4舍去). 當(dāng)n=4時,a42+2a4=4S4,即a42+2a4=4(2+4+6+a4), 整理,得a42-2a4-48=0, 解得a4=8(a4=-6舍去). 由以上結(jié)果猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=2n. (2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式為an=2n. ①當(dāng)n=1時,a1=2,由(1)知,猜想成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時猜想成立,即ak=2k, 這時有ak2+2ak=4Sk,即Sk=k2+k. 當(dāng)n=k+1時,ak+12+2ak+1=4Sk+1, 即ak+12+2ak+1=4(Sk+ak+1), 所以ak+12-2ak+1=4k2+4k, 解得ak+1=2k+2(ak+1=-2k舍去). 故當(dāng)n=k+1時,猜想也成立. 由①②可知,猜想對任意n∈N+都成立.