新編高考數學人教A版理科含答案導學案【第四章】三角函數、解三角形 學案17

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1、新編高考數學復習資料 第四章　三角函數與三角恒等變換 學案17　任意角的三角函數 導學目標： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義． 自主梳理 1．任意角的概念 角可以看成平面內一條射線OA繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置OB所成的圖形．旋轉開始時的射線OA叫做角的________，射線的端點O叫做角的________，旋轉終止位置的射線OB叫做角的________，按______時針方向旋轉所形成的角叫做正角，按______時針方向旋轉所形成的角叫做負角．若一條射線沒作任何旋轉，稱它形成了一個

2、________角． (1)象限角 使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是__________角． (2)象限界角(即終邊在坐標軸上的角) 終邊在x軸上的角表示為____________________； 終邊在y軸上的角表示為__________________________________________； 終邊落在坐標軸上的角可表示為____________________________． (3)終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合______________________或_______

3、___________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示． (4)弧度制 把長度等于________長的弧所對的__________叫1弧度的角．以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做________，它的單位符號是________，讀作________，通常略去不寫． (5)度與弧度的換算關系 360°＝______ rad；180°＝____ rad；1°＝________ rad； 1 rad＝_______________≈57.30°. (6)弧長公式與扇形面積公式 l＝________，即弧長等于__________________________

4、_______________________． S扇＝________＝____________. 2．三角函數的定義 任意角的三角函數定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，記作sin α，即sin α＝y；②____叫做α的余弦，記作cos α，即cos α＝x；③________叫做α的正切，記作tan α，即tan α＝ (x≠0)． (1)三角函數值的符號 各象限的三角函數值的符號如下圖所示，三角函數正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)三角函數線 下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示__________

5、，__________________和____________． 自我檢測 1．“α＝”是“cos 2α＝”的 （ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 2.(2011·濟寧模擬)點P(tan 2 009°，cos 2 009°)位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

6、 D．第四象限 3．(2010·山東青島高三教學質量檢測)已知sin α<0且tan α>0，則角α是 （ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．已知角α的終邊上一點的坐標為，則角α的最小正值為 (　　) A. B. C. D. 探究點一　角的概念 例1　(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的終邊落在第幾象限； (2)寫出終邊落

7、在直線y＝x上的角的集合； (3)若θ＝168°＋k·360° (k∈Z)，求在[0°，360°)內終邊與角的終邊相同的角． 變式遷移1　若α是第二象限的角，試分別確定2α，的終邊所在位置． 探究點二　弧長與扇形面積 例2　(2011·金華模擬)已知一個扇形的圓心角是α，0<α<2π，其所在圓的半徑是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積； (2)若扇形的周長是一定值C(C>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？ 變式遷移2　(1)已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數； (2

8、)已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ 探究點三　三角函數的定義 例3　已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 變式遷移3　已知角α的終邊經過點P(－4a,3a) (a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． 1．角的度量由原來的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習慣．象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長公式和扇形面積公式的運用是學習三角函數的基礎． 2．三角函數都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數值的函數，

9、是從實數集到實數集的映射，注意兩種定義法，即坐標法和單位圓法． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011·宣城模擬)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動弧長到達Q，則Q的坐標為 （ ） A．(－，) B．(－，－) C．(－，－) D．(－，) 2．若0和cos x<同時成立的x的取值范圍是

10、 (　　) A.

11、 B. C. D．2sin 5．已知θ∈且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，則關于tan θ的值，以下四個答案中，可能正確的是 (　　) A．－3 B．3或 C．－ D．－3或－ 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題

12、4分，共12分) 6．已知點P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，則α的取值范圍是________________． 7．(2011·龍巖模擬)已知點P落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為________． 8．閱讀下列命題： ①若點P(a,2a) (a≠0)為角α終邊上一點，則sin α＝； ②同時滿足sin α＝，cos α＝的角有且只有一個； ③設tan α＝且π<α<，則sin α＝－； ④設cos(sin θ)·tan(cos θ)>0 (θ為象限角)，則θ在第一象限．其中正確命題為________．(將正確命題的序號填在橫

13、線上) 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知扇形OAB的圓心角α為120°，半徑長為6， (1)求的弧長； (2)求弓形OAB的面積． 10．(12分)在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合： (1)sin α≥； (2)cos α≤－. 11．(14分)(2011·舟山月考)已知角α終邊經過點P(x，－) (x≠0)，且cos α＝x.求sin α＋的值． 答案 自主梳理 1．始邊　頂點　終邊　逆　順　零　(1)第幾象限 (2){α|α＝kπ，k∈Z}　　　(3){β|β＝α＋k·360°，k∈

14、Z}　{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}　(4)半徑　圓心角　弧度制　rad　弧度　(5)2π　π　　°　(6)|α|·r　弧所對的圓心角(弧度數)的絕對值與半徑的積　lr　|α|r2　2.①y?、趚?、邸?2)α的正弦線　α的余弦線　α的正切線 自我檢測 1．A　2.D　3.C　4.D 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)一般地，角α與－α終邊關于x軸對稱；角α與π－α終邊關于y軸對稱；角α與π＋α終邊關于原點對稱． (2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成[0,2π)范圍內的一角α與2π的整數倍，然后判斷角α的象限． (

15、3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合參數k賦值來求得所需角． 解　(1)π＋2kπ<α<＋2kπ (k∈Z)， ∴－－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)， 即＋2kπ<－α<π＋2kπ (k∈Z)．① ∴－α角終邊在第二象限． 又由①各邊都加上π，得＋2kπ<π－α<2π＋2kπ (k∈Z)． ∴π－α是第四象限角． 同理可知，π＋α是第一象限角． (2)在(0，π)內終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為 . (3)∵θ＝168°＋k·360° (k∈Z)， ∴＝56°＋

16、k·120° (k∈Z)． ∵0°≤56°＋k·120°<360°， ∴k＝0,1,2時，∈[0°，360°)． 故在[0°，360°)內終邊與角的終邊相同的角是56°，176°，296°. 變式遷移1　解　∵α是第二象限的角， ∴k·360°＋90°<α

17、 當k＝2n＋1 (n∈Z)時， n·360°＋225°<

18、，即2R＋αR＝C， S扇＝αR2＝·αR·R＝·αR·2R ≤·2＝·2＝. 當且僅當αR＝2R，即α＝2時，等號成立，即當α為2弧度時，該扇形有最大面積C2. 變式遷移2　解　設扇形半徑為R，圓心角為θ，所對的弧長為l. (1)依題意，得 ∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或. ∵8>2π，舍去，∴θ＝. (2)扇形的周長為40，即θR＋2R＝40， S＝lR＝θR2＝θR·2R≤2＝100. 當且僅當θR＝2R，即R＝10，θ＝2時扇形面積取得最大值，最大值為100. 例3　解題導引　某角的三角函數值只與該角終邊所在位置有關，當終邊確定時三角函數值就相應確定了．但若

19、終邊落在某條直線上時，這時終邊實際上有兩個，因此對應的函數值有兩組，要分別求解． 解　∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上， ∴在角α的終邊上任取一點P(4t，－3t) (t≠0)， 則x＝4t，y＝－3t， r＝＝＝5|t|， 當t>0時，r＝5t， sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－； 當t<0時，r＝－5t， sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－. 綜上可知，t>0時，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－； t<0時，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 變式遷移3　解　r＝＝5|a|. 若

20、a>0，則r＝5a，α角在第二象限， sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－. 若a<0，則r＝－5a，α角在第四象限， sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－. 課后練習區(qū) 1．A　2.B　3.D　4.C　5.C 6.∪ 解析　由已知得 ∴＋2kπ<α<＋2kπ或π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z. ∵0≤α≤2π，∴當k＝0時，<α<或π<α<. 7.π 解析　由三角函數的定義，tan θ＝＝＝－1. 又∵sin >0，cos <0，∴P在第四象限，∴θ＝. 8．③ 解析　①中，當α在第三象限時， sin α＝－，

21、故①錯． ②中，同時滿足sin α＝，cos α＝的角為α＝2kπ＋ (k∈Z)，不只有一個，故②錯．③正確．④θ可能在第一象限或第四象限，故④錯．綜上選③. 9．解　(1)∵α＝120°＝，r＝6， ∴的弧長為l＝αr＝×6＝4π.……………………………………………………(4分) (2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，……………………………………………………(7分) S△ABO＝r2·sin ＝×62× ＝9，……………………………………………………………………………………(10分) ∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.………………………………………

22、………(12分) 10．解　(1) 作直線y＝交單位圓于A、B兩點，連結OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的集合為.…………………………………………………(6分) (2) 作直線x＝－交單位圓于C、D兩點，連結OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為 .……………………………………………………(12分) 11．解　∵P(x，－) (x≠0)， ∴點P到原點的距離r＝.…………………………………………………………(2分) 又cos α＝x， ∴cos α＝＝x.∵x≠0，∴x＝±， ∴r＝2.…………………………………………………………………………………(6分) 當x＝時，P點坐標為(，－)， 由三角函數的定義， 有sin α＝－，＝－， ∴sin α＋＝－－＝－；……………………………………………(10分) 當x＝－時， 同樣可求得sin α＋＝.………………………………………………(14分)