《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1課時 一元二次不等式及其解法學(xué)案 新人教A版必修5.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1課時 一元二次不等式及其解法學(xué)案 新人教A版必修5.doc(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第1課時 一元二次不等式及其解法
學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握一元二次不等式的解法(重點(diǎn)).2.能根據(jù)“三個二次”之間的關(guān)系解決簡單問題(難點(diǎn)).
[自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知]
1.一元二次不等式的概念
只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
(1)ax2+bx+c>0(a≠0).
(2)ax2+bx+c≥0(a≠0).
(3)ax2+bx+c<0(a≠0).
(4)ax2+bx+c≤0(a≠0).
思考:不等式x2-y2>0是一元二次不等式嗎?
[提示] 此不等式含有兩個變量,根據(jù)一元二次不等式的定義,可知不是一元二次不等式.
3.一元二次不等式的解與解集
使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值,叫做這個一元二次不等式的解,其解的集合,稱為這個一元二次不等式的解集.
思考:類比“方程x2=1的解集是{1,-1},解集中的每一個元素均可使等式成立”.不等式x2>1的解集及其含義是什么?
[提示] 不等式x2>1的解集為{x|x<-1或x>1},該集合中每一個元素都是不等式的解,即不等式的每一個解均使不等式成立.
4.三個“二次”的關(guān)系:
設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac
判別式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
解不
等式
f(x)
>0
或
f(x)
<0的
步驟
求方程
f(x)=0的解
有兩個不等的實(shí)數(shù)解
x1,x2
有兩個相等的實(shí)數(shù)解
x1=x2
沒有實(shí)數(shù)解
畫函數(shù)
y=f(x)
的示意圖
得等的集不式解
f(x)
>0
{x|x<x1_
或x>x2}
R
f(x)
<0
{x|x1<
x<x2}
?
?
思考:若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集為R,則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足什么條件?
[提示] 結(jié)合二次函數(shù)圖象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集為R,則解得a∈?,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集為R.
[基礎(chǔ)自測]
1.思考辨析
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式.( )
(2)若a>0,則一元二次不等式ax2+1>0無解.( )
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2(x1
0的解集為R.( )
[答案] (1) (2) (3) (4)√
提示:(1)錯誤.當(dāng)m=0時,是一元一次不等式;當(dāng)m≠0時,是一元二次不等式.(2)錯誤.因?yàn)閍>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集為R.(3)錯誤.當(dāng)a>0時,ax2+bx+c<0的解集為{x|x10的解集為R.
2.(2018全國卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},則?RA=( )
A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
B [通解 A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以?RA={x|-1≤x≤2},故選B.
優(yōu)解 因?yàn)锳={x|x2-x-2>0},所以?RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故選B.]
3.不等式x2-2x-5>2x的解集是________.
{x|x>5或x<-1} [由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,
因?yàn)閤2-4x-5=0的兩根為-1,5,
故x2-4x-5>0的解集為{x|x<-1或x>5}.]
4.不等式-3x2+5x-4>0的解集為________.
【導(dǎo)學(xué)號:91432278】
? [原不等式變形為3x2-5x+4<0.
因?yàn)棣ぃ?-5)2-434=-23<0,所以3x2-5x+4=0無解.
由函數(shù)y=3x2-5x+4的圖象可知,3x2-5x+4<0的解集為?.]
[合 作 探 究攻 重 難]
一元二次不等式的解法
解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-≥0;
(3)-2x2+3x-2<0.
[解] (1)因?yàn)棣ぃ?2-423=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有兩個不等實(shí)根x1=-3,x2=-.又二次函數(shù)y=2x2+7x+3的圖象開口向上,所以原不等式的解集為.
(2)原不等式可化為2≤0,所以原不等式的解集為.
(3)原不等式可化為2x2-3x+2>0,因?yàn)棣ぃ?-422=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0無實(shí)根,又二次函數(shù)y=2x2-3x+2的圖象開口向上,所以原不等式的解集為R.
[規(guī)律方法] 解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形,使不等式右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.
(2)判別式.對不等式左側(cè)因式分解,若不易分解,則計算對應(yīng)方程的判別式.
(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根.
(4)畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.
(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.解下列不等式
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0;
(4)-3x2+5x-2>0.
【導(dǎo)學(xué)號:91432279】
[解] (1)∵Δ>0,方程2x2-3x-2=0的根是x1=-,x2=2,
∴不等式2x2-3x-2>0的解集為
.
(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,
∴不等式x2-4x+4>0的解集為.
(3)原不等式可化為x2-2x+3>0,
由于Δ<0,方程x2-2x+3=0無解,
∴不等式-x2+2x-3<0的解集為R.
(4)原不等式可化為3x2-5x+2<0,
由于Δ>0,方程3x2-5x+2=0的兩根為x1=,x2=1,
∴不等式-3x2+5x-2>0的解集為.
含參數(shù)的一元二次不等式的解法
解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
思路探究:①對于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否分a=0,a<0,a>0三類進(jìn)行討論?②當(dāng)a≠0時,是否還要比較兩根的大???
[解] 當(dāng)a=0時,原不等式可化為x>1.
當(dāng)a≠0時,原不等式可化為(ax-1)(x-1)<0.
當(dāng)a<0時,不等式可化為(x-1)>0,
∵<1,∴x<或x>1.
當(dāng)a>0時,原不等式可化為(x-1)<0.
若<1,即a>1,則1,即01};當(dāng)01時,原不等式的解集為.
[規(guī)律方法]
解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
注:對參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集,不能合并.
[跟蹤訓(xùn)練]
2.解關(guān)于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0). 【導(dǎo)學(xué)號:91432280】
[解] 原不等式移項(xiàng)得ax2+(a-2)x-2≥0,
化簡為(x+1)(ax-2)≥0.
∵a<0,∴(x+1)≤0.
當(dāng)-20、y<0、y=0時x的取值集合分別是什么?這說明二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有何關(guān)系?
提示:y=x2-2x-3的圖象如圖所示.
函數(shù)y=x2-2x-3的值滿足y>0時自變量x組成的集合,亦即二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象在x軸上方時點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合{x|x<-1或x>3};同理,滿足y<0時x的取值集合為{x|-10(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)是函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的一種特殊情況,它們之間是一種包含關(guān)系,也就是當(dāng)y=0時,函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)就轉(zhuǎn)化為方程,當(dāng)y>0或y<0時,就轉(zhuǎn)化為一元二次不等式.
2.方程x2-2x-3=0與不等式x2-2x-3>0的解集分別是什么?觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問題?這又說明什么?
提示:方程x2-2x-3=0的解集為{-1,3}.
不等式x2-2x-3>0的解集為{x|x<-1或x>3},觀察發(fā)現(xiàn)不等式x2-2x-3>0解集的端點(diǎn)值恰好是方程x2-2x-3=0的根.
3.設(shè)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分別為{x|xx2},{x|x10(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分別為{x|xx2},{x|x10的解集為{x|20的解集為{x|20,即x2-x+>0,解得x<或x>,所以不等式cx2+bx+a<0的解集為∪.
法二:由不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|20的解集.
[解] 由根與系數(shù)的關(guān)系知=-5,=6且a<0.
∴c<0,=-,故不等式cx2-bx+a>0
即x2-x+<0,即x2+x+<0.
解之得.
2.(變條件)若將本例中的條件“關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|20,得(x-1)(2x+1)>0,解得x>1或x<-,從而得原不等式的解集為∪(1,+∞).]
3.設(shè)a<-1,則關(guān)于x的不等式a(x-a)<0的解集為________.
[因?yàn)閍<-1,所以a(x-a)<0?(x-a)>0.又a<-1,所以>a,所以x>或x0的解集為________.
[由題意,-2,-是方程ax2+bx+c=0的兩個根且a<0,
故解得a=c,b=c.
所以不等式ax2-bx+c>0即為2x2-5x+2<0,
解得0的解集為.]
5.解下列不等式:
(1)x(7-x)≥12;
(2)x2>2(x-1).
【導(dǎo)學(xué)號:91432283】
[解] (1)原不等式可化為x2-7x+12≤0,因?yàn)榉匠蘹2-7x+12=0的兩根為x1=3,x2=4,
所以原不等式的解集為{x|3≤x≤4}.
(2)原不等式可以化為x2-2x+2>0,
因?yàn)榕袆e式Δ=4-8=-4<0,方程x2-2x+2=0無實(shí)根,而拋物線y=x2-2x+2的圖象開口向上,
所以原不等式的解集為R.
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