2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 專(zhuān)題突破練（3）三角函數(shù)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用（理）（含解析）.docx

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專(zhuān)題突破練(3)　三角函數(shù)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用 一、選擇題 1．若f(cosx)＝cos2x，則f(sin15)＝(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　C 解析　f(sin15)＝f(cos75)＝cos150＝－cos30＝－．故選C． 2．點(diǎn)P從(2，0)點(diǎn)出發(fā)，沿圓x2＋y2＝4按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(　　) A．(－1，) B．(－，－1) C．(－1，－) D．(－，1) 答案　A 解析　弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為α＝＝，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，∴x＝2cos＝－1，y＝2sin＝．故選A． 3．有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題： p1：?x0∈R，sin2＋cos2＝； p2：?x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0； p3：?x∈[0，π]，＝sinx； p4：sinx＝cosy?x＋y＝． 其中是假命題的是(　　) A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p3，p4 答案　A 解析　p1是假命題，∵?x∈R，sin2＋cos2＝1；p2是真命題，如x＝y(tǒng)＝0時(shí)成立；p3是真命題，∵?x∈[0，π]，sinx≥0，∴＝＝|sinx|＝sinx；p4是假命題，x＝，y＝2π時(shí)，sinx＝cosy，但x＋y≠．故選A． 4．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，向量p＝(1，－)，q＝(cosB，sinB)，p∥q且bcosC＋ccosB＝2asinA，則C＝(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 答案　A 解析　∵p∥q，∴－cosB＝sinB，即得tanB＝－， ∴B＝120，∵bcosC＋ccosB＝2asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝2sin2A，即sinA＝sin(B＋C)＝2sin2A，sinA≠0得sinA＝，∴A＝30，C＝180－A－B＝30．故選A． 5．(2018福州五校聯(lián)考二)已知a＝2－，b＝(2log23)－，c＝cos50cos10＋cos140sin170，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)>c>b B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．c>b>a 答案　C 解析　因?yàn)閍＝2－＝＝，b＝(2log23)－＝3－＝＝，所以a>b，排除B，D；c＝cos50cos10＋cos140sin170＝sin40cos10－cos40sin10＝sin30＝＝，所以b>c，所以a>b>c．選C． 6．(2018河北保定一模)國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖)．如果小正方形的邊長(zhǎng)為2，大正方形的邊長(zhǎng)為10，直角三角形中較小的銳角為θ，則sinθ＋－cosθ＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　設(shè)直角三角形中較小的直角邊長(zhǎng)為a，則a2＋(a＋2)2＝102，解得a＝6，所以sinθ＝＝，cosθ＝＝，sinθ＋－cosθ＋＝cosθ－cosθ＋sinθ＝cosθ＋sinθ＝＋＝．故選A． 7．(2018河南十所名校測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝2sinωx＋的兩個(gè)極值點(diǎn)為α，β，且|α－β|min＝，則函數(shù)f(x)在0，上的最大值為(　　) A．－ B．1 C． D．2 答案　D 解析　由題意得f(x)的最小正周期為T(mén)＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin2x＋，因?yàn)閤∈0，，所以2x＋∈，，所以f(x)的最大值為2．故選D． 8．(2018江西吉安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ 則函數(shù)g(x)＝sin的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵f＝f＝f＝πcos－＝，∴g(x)＝sin＝sin2x－＝－cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π，求得kπ≤x≤kπ＋，可得g(x)的增區(qū)間為，k∈Z，令k＝0，可得增區(qū)間為．故選A． 9．(2018山東濟(jì)南二模)如圖，半徑為1的圓O中，A，B為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)∠BOP＝x，將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，2π]上的圖象大致為(　　) 答案　A 解析　由余弦定理，當(dāng)0≤x≤π時(shí)，PB＝＝＝＝2sin， PA＝＝＝2cos， ∴PB＋PA＝2sin＋2cos＝2sin＋， 當(dāng)π≤x≤2π時(shí)，PB＝ ＝＝2sin，PA＝＝ ＝－2cos，∴PB＋PA＝2sin－2cos＝2sin－．故選A． 10．(2018南昌一模)函數(shù)f(x)＝(－π≤x≤π)的圖象大致為(　　) 答案　A 解析　由f(－x)＝＝－f(x)，知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除B；由于ex＋e－x＞0，0≤x≤π時(shí)，sinx≥0，所以f(x)≥0，排除D；考查函數(shù)g(x)＝ex＋e－x，則g′(x)＝ex－e－x＝，當(dāng)x＞0時(shí)，g′(x)＞0，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則g＜g，且y＝sinx在0，上單調(diào)遞增，所以f＜f，排除C．故選A． 11．(2019湖南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x＋sinx(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，則當(dāng)y≥1時(shí)，的取值范圍是(　　) A．， B．，1 C．[1，3－3] D．，＋∞ 答案　A 解析　函數(shù)f(x)＝x＋sinx(x∈R)為奇函數(shù)，又f′(x)＝1＋cosx≥0，所以函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x2－4x＋1)≤f(－y2＋2y－3)，即(x－2)2＋(y－1)2≤1，當(dāng)y≥1時(shí)表示的區(qū)域?yàn)榘雸A及其內(nèi)部，令k＝＝，其幾何意義為過(guò)點(diǎn)(－1，0)與半圓相交或相切的直線的斜率，斜率最小時(shí)直線過(guò)點(diǎn)(3，1)，此時(shí)kmin＝＝，斜率最大時(shí)直線剛好與半圓相切，圓心到直線的距離d＝＝1(k>0)，解得kmax＝．故選A． 12．(2018邯鄲摸底)若函數(shù)f(x)＝ 恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　) A．－，－∪， B．－，－∪－，－∪， C．－，－∪， D．－，－∪－，－∪， 答案　B 解析　令g(x)＝sin2x－，h(x)＝cos2x－，在同一坐標(biāo)系中作出g(x)，h(x)在－π，上的圖象，如圖所示． g(x)在－π，上的零點(diǎn)為－，－，； h(x)在－π，上的零點(diǎn)為－，－，． 由題f(x)在－π，上恰有4個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)m∈－，－∪－，－∪，時(shí)，滿足題意．故選B． 二、填空題 13．(2019湖南衡陽(yáng)模擬)如圖，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C，B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，－，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則cos2－sincos－的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　由2＋－2＝1及點(diǎn)B在圓O上，知圓O為單位圓，所以△OCB為正三角形，所以∠BOC＝，∠AOB＝－α，由三角函數(shù)定義知sin－α＝，所以cos2－sincos－＝cosα－sinα＝sin－α＝． 14．(2018南昌二模)如圖，有一塊半徑為20 m，圓心角∠AOB＝的扇形展示臺(tái)，展示臺(tái)分成了四個(gè)區(qū)域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC＝∠BOD)，某次菊花展分別在這四個(gè)區(qū)域擺放：泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜．預(yù)計(jì)這三種菊花展示帶來(lái)的日效益分別是50元/m2、30元/m2、40元/m2．為使預(yù)計(jì)日總效益最大，∠COD的余弦值應(yīng)等于________． 答案　 解析　由題知半徑r＝ 20，設(shè)∠COD＝α，則日總效益為f(α)＝r2sinα50＋πr2－r2sinα30＋πr240＝4000sinα－2000α＋π，而f′(α)＝4000cosα－2000，令f′(α)＝0，可得cosα＝，易知此時(shí)日總效益f(α)取得最大值． 15．(2018河北唐山摸底)△ABC的垂心H在其內(nèi)部，∠A＝60，AH＝1，則BH＋CH的取值范圍是________． 答案　(，2] 解析　因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，設(shè)∠BAH＝θ，且θ∈(0，60)，所以BH＝2AHsinθ＝2sinθ，CH＝2AHsin(60－θ)＝2sin(60－θ)， 所以BH＋CH＝2sinθ＋2sin(60－θ)＝2sinθ＋cosθ－sinθ＝2sin(θ＋60)，又由θ∈(0，60)，則θ＋60∈(60，120)，所以2sin(θ＋60)∈(，2]，即BH＋CH的取值范圍是(，2]． 16．(2018河南一模)如圖，OA，OB為扇形湖面OAB的湖岸，現(xiàn)欲利用漁網(wǎng)和湖岸在湖中隔出兩個(gè)養(yǎng)殖區(qū)——區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ，點(diǎn)C在上，∠COA＝θ，CD∥OA，其中，半徑OC及線段CD需要用漁網(wǎng)制成．若∠AOB＝，OA＝1，則所需漁網(wǎng)的最大長(zhǎng)度為_(kāi)_______． 答案　 解析　由CD∥OA，∠AOB＝，∠COA＝θ可得∠OCD＝θ，∠ODC＝，∠COD＝－θ，在△OCD中利用正弦定理可得CD＝sin－θ，θ∈0，，設(shè)漁網(wǎng)的長(zhǎng)度為f(θ)，則f(θ)＝θ＋1＋sin－θ， ∴f′(θ)＝1－cos－θ，∵θ∈0，，則－θ∈0，，令f′(θ)＝0，則cos－θ＝，－θ＝，θ＝． θ 0， ， f′(θ) ＋ 0 － f(θ) 　 極大值 　 則f(θ)∈2，，故所需漁網(wǎng)的最大長(zhǎng)度為． 三、解答題 17．(2018河北石家莊質(zhì)檢一)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac． (1)求cosB的值； (2)若b＝，且sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，求△ABC的面積． 解　(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac．∴＝，即cosB＝． (2)∵b＝，cosB＝， ∴b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac， 又sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，由正弦定理，得a＋c＝2b＝2，∴13＝52－ac，∴ac＝12． 由cosB＝，得sinB＝， ∴△ABC的面積S△ABC＝acsinB＝12＝． 18．(2018湖北八市聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<在它的某一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．將y＝f(x)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)不變)，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為g(x)． (1)求g(x)的解析式； (2)設(shè)△ABC的三邊a，b，c滿足b2＝ac，且邊b所對(duì)角為x，若關(guān)于x的方程g(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解　(1)由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期T＝， 且＝－＝，則T＝π，∴ω＝2， 又sin2＋φ＝1，|φ|<，∴φ＝－． ∴f(x)＝sin2x－，∴g(x)＝sin4x＋． (2)∵cosx＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，取等號(hào))，∴0BC＝10， 由余弦定理知cos60＝， 整理知(AB＋AC)2－100＝3ABAC， 由基本不等式知ABAC≤2． ≤2， 解得AB＋AC≤20． 故AB＋AC的取值范圍為(10，20]．