2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)11 拋物線的幾何性質(zhì) 蘇教版必修4.doc
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課時(shí)分層作業(yè)(十一) 拋物線的幾何性質(zhì) (建議用時(shí):40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1.拋物線焦點(diǎn)在x軸上,直線y=-3與拋物線交于點(diǎn)A,AF=5,則該拋物線的方程是________. [解析] 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2ax(a≠0),設(shè)A(m,-3). 由拋物線定義得5=AF=, 又(-3)2=2am, ∴a=1或a=9, 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2x或y2=18x. [答案] y2=2x或y2=18x 2.拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸,若AB=4,則焦點(diǎn)到弦AB的距離為_(kāi)_______. [解析] 由題意我們不妨設(shè)A(x,2),則(2)2=4x,∴x=3,∴直線AB的方程為x=3,拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),∴焦點(diǎn)到弦AB的距離為2. [答案] 2 3.在拋物線y2=16x內(nèi),過(guò)點(diǎn)(2,1)且被此點(diǎn)平分的弦AB所在直線的方程是________. [解析] 顯然斜率不存在時(shí)的直線不符合題意.設(shè)直線斜率為k,則直線方程為y-1=k(x-2)①,由消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,∴y1+y2==2(y1,y2分別是A,B的縱坐標(biāo)),∴k=8,代入①得y=8x-15. [答案] y=8x-15 4.已知過(guò)拋物線Γ:x=-的焦點(diǎn)F的直線交拋物線Γ于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),若x1+x2=-7,則AB的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392104】 [解析] 因?yàn)閤=-,所以y2=-2x,所以拋物線Γ的準(zhǔn)線方程為x=,根據(jù)拋物線的定義知AF=-x1,BF=-x2,所以AB=AF+BF=1-(x1+x2)=1-(-7)=8. [答案] 8 5.直線y=k(x+1)與拋物線y2=8x有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. [解析] 聯(lián)立直線與拋物線方程,得所以ky2-8y+8k=0. 由題意得解得-<k<,且k≠0. 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-,0)∪(0,). [答案] (-,0)∪(0,) 6.已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,P是E的準(zhǔn)線l上一點(diǎn),Q是直線PF與E的一個(gè)交點(diǎn).若=,則直線PF的方程為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392105】 [解析] 拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)Q到l的距離為d,則QF=d. ∵=,∴||=||=d,∴直線的傾斜角為45或135,∴直線的斜率為1, ∴直線的方程為x+y-1=0或x-y-1=0. [答案] x+y-1=0或x-y-1=0 7.如圖243是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2 m,水面寬4 m.水位下降1 m后,水面寬_________ m. 圖243 [解析] 建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).由題意A(2,-2),代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.設(shè)B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=,故水面寬為2 m. [答案] 2 8.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________. [解析] 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,由拋物線定義知,點(diǎn)P到直線l2的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離,作PA⊥l1垂足為A,則點(diǎn)P到l1,l2的距離之和d=PA+PF,當(dāng)P,A,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),d取得最小值,最小值即為點(diǎn)F到直線l1的距離,由點(diǎn)到直線的距離公式得dmin==2. [答案] 2 二、解答題 9.已知拋物線y2=2px (p>0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形,直角頂點(diǎn)在原點(diǎn),兩直角邊OA與OB的長(zhǎng)分別為1和8,求拋物線的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392106】 [解] 設(shè)直線OA的方程為y=kx,k≠0,則直線OB的方程為y=-x, 由得x=0(舍)或x=, ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為,B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2,-2pk), 由|OA|=1,|OB|=8, 可得 解方程組得k6=64,即k2=4. 則p2==,又p>0,則p=, 故所求拋物線方程為y2=x. 10.已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9. (1)求該拋物線的方程; (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若=+λ,求λ的值. [解] (1)直線AB的方程是y=2,與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由拋物線定義得,|AB|=x1+x2+p=+p=9, 所以p=4,從而拋物線方程為y2=8x. (2)由于p=4,4x2-5px+p2=0可化簡(jiǎn)為x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,從而A(1,-2),B(4,4);設(shè)C(x3,y3),則=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. [能力提升練] 1.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則△AOB的面積為_(kāi)_______. [解析] 由條件,不妨設(shè)lOA為y=x,解方程組得x=2p,所以A(2p,2p).故S△AOB=2(2p)(2p)=4p2. [答案] 4p2 2.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長(zhǎng)為8,則p=________. [解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)橹本€傾斜角為45,過(guò)拋物線焦點(diǎn),所以可設(shè)直線方程為y=x-,代入拋物線方程得=2px,即x2-3px+=0,故x1+x2=3p,由拋物線的定義可知,|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=4p=8,因此p=2. [答案] 2 3.已知拋物線y=x2與雙曲線-x2=1(a>0)有共同的焦點(diǎn)F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P在x軸上方且在雙曲線上,則的最小值為_(kāi)_______. [解析] 拋物線y=x2的焦點(diǎn)F為(0,2),則雙曲線-x2=1中,c=2,則a2=3. 即雙曲線方程為-x2=1,設(shè)P(m,n),則n2-3m2=3, 則=(m,n)(m,n-2)=m2+n2-2n=-1+n2-2n=-2n-1=-,所以當(dāng)n=時(shí),的最小值為3-2. [答案] 3-2 4.如圖244,拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸.證明:直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392107】 圖244 [證明] 法一:設(shè)直線AB的方程為y=k,A(x1,y1),B(x2,y2),C.聯(lián)立方程,得 消去x,得y2--p2=0,∴y1y2=-p2,kOA=,kOC==. 又∵y=2px1,∴kOC==kOA,∴AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 當(dāng)k不存在時(shí),AB⊥x軸,同理可得kOA=kOC,所以AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 法二:因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,由于直線AB斜率不確定,所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+,代入拋物線方程消去x得y2-2pmy-p2=0.若設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是該方程的兩個(gè)根,所以y1y2=-p2. 因?yàn)锽C∥x軸,且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為,故直線CO的斜率為k===,即k也是直線OA的斜率,所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 法三:如圖,過(guò)A作AD⊥l,D為垂足,則AD∥EF∥BC, 設(shè)AC與EF相交于點(diǎn)N,則==, =.由拋物線的定義可知AF=AD,BF=BC,∴EN===NF. 即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn),與拋物線的頂點(diǎn)O重合,所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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