新編高中數學人教版A版必修一學案：第一單元 1.3.1 第2課時 函數的最大值、最小值 含答案

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1、新編人教版精品教學資料 第2課時　函數的最大值、最小值 學習目標　1.理解函數的最大(小)值的概念及其幾何意義(難點).2.會借助單調性求最值(重點).3.掌握求二次函數在閉區(qū)間上的最值(重點)． 預習教材P30，完成下面問題： 知識點　函數的最大值與最小值 最大值 最小值 條件 一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 結論 稱M是函數y＝f(x)的最大值 稱M是函數y＝f(x)的最小值 幾何 意義 f(x)圖象上最高點的縱坐標 f(x)圖象

2、上最低點的縱坐標 【預習評價】　(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何函數f(x)都有最大值和最小值．(　　) (2)若存在實數m，使f(x)≥m，則m是函數f(x)的最小值．(　　) (3)若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)．(　　) 提示　(1)×　反例：f(x)＝x既無最大值，也無最小值． (2)×　若使m是f(x)的最小值，還需在f(x)的定義域內存在x0，使f(x0)＝m. (3)√　由于f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數，所以f(a)≤f(x)≤f(b)．故f(x)的最小值是f(a)，最大

3、值是f(b)． 題型一　用圖象法和函數的單調性求函數的最值 【例1】　(1)已知函數f(x)＝則f(x)的最大值、最小值分別為________，________. (2)求函數f(x)＝在區(qū)間[2,5]上的最大值與最小值． (1)解析　作出函數f(x)的圖象(如圖)．由圖象可知，當x＝±1時，f(x)取最大值為f(±1)＝1.當x＝0時，f(x)取最小值f(0)＝0， 故f(x)的最大值為1，最小值為0. 答案　1　0 (2)解　任取2≤x1

4、>0，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)

5、設1≤x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)·. ∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1， ∴x1x2－1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數． (2)解　由(1)可知，f(x)在[1,4]上遞增， ∴當x＝1時， f(x)min＝f(1)＝2， 當x＝4時， f(x)max＝f(4)＝. 綜上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2. 題型二　函數最值的實際應用 【例2】　某公司生產一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產一臺儀器需增加投

6、入100元，已知總收益滿足函數：R(x)＝其中x是儀器的月產量． (1)將利潤表示為月產量的函數f(x)； (2)當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤) 解　(1)設月產量為x臺，則總成本為20 000＋100x， 從而f(x)＝ (2)當0≤x≤400時，f(x)＝－(x－300)2＋25 000； ∴當x＝300時，f(x)max＝25 000， 當x＞400時，f(x)＝60 000－100x是減函數， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴當x＝300時 ，f(x)max＝25 000. 即每月生產300臺

7、儀器時利潤最大，最大利潤為25 000元． 規(guī)律方法　求解實際問題的四個步驟 (1)讀題：分為讀懂和深刻理解兩個層次，把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系(目標與條件的關系)． (2)建模：把問題中的關系轉化成函數關系，建立函數解析式，把實際問題轉化成函數問題． (3)求解：選擇合適的數學方法求解函數． (4)評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以改正，最后將結果應用于現實，作出解釋或預測． 特別提醒：求解實際問題的步驟也可認為分成“設元——列式——求解——作答”四個步驟． 【訓練2】　某水廠蓄水池有水450噸，水廠每小時向蓄水池注水80噸，同時蓄水池又向居民小區(qū)供水，

8、t小時內供水量為80噸．現在開始向池中注水并同時向居民供水，多少小時后蓄水池中水量最少？ 解　設t小時后，池中水量為y噸，則 y＝450＋80t－80＝4(－10)2＋50， 當＝10，即t＝5時，ymin＝50， 所以5小時后蓄水池中水量最少，最少為50噸. 互動探究 　題型三　二次函數的最值 【探究1】　(1)求函數y＝x2－2x＋2的單調區(qū)間． (2)求函數y＝－x2－2x＋2的單調區(qū)間． 解　(1)函數y＝x2－2x＋2是開口向上，對稱軸為x＝1的拋物線， 故其單減區(qū)間是(－∞，1)，單增區(qū)間是(1，＋∞)． (2)函數y＝－x2－2x＋2的圖象是開口向下，對稱軸

9、為x＝－1的拋物線，故其單減區(qū)間是(－1，＋∞)，單增區(qū)間是(－∞，－1)． 【探究2】　函數f(x)＝x2－2x＋2在區(qū)間[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分別是什么？ 解　函數f(x)＝x2－2x＋2的圖象開口向上，對稱軸為x＝1， (1)因為f(x)在區(qū)間[－1,0]上單調遞減，所以f(x)在區(qū)間[－1,0]上的最大值為f(－1)＝5，最小值為f(0)＝2； (2)因為f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增，則f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最小值為f(1)＝1，又因為f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在區(qū)間

10、[－1,2]上的最大值為f(－1)＝5. (3)因為f(x)在區(qū)間[2,3]上單調遞增，所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值為f(2)＝2，最大值為f(3)＝5. 【探究3】　已知函數f(x)＝x2－ax＋1， (1)求f(x)在[0,1]上的最大值； (2)當a＝1時，求f(x)在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值． 解　(1)因為函數f(x)＝x2－ax＋1的圖象開口向上，其對稱軸為x＝， 所以區(qū)間[0,1]的哪一個端點離對稱軸遠，則在哪個端點取到最大值， 當≤，即a≤1時，f(x)的最大值為f(1)＝2－a； 當>，即a>1時，f(x)的最大值為f(0)＝1.

11、(2)當a＝1時，f(x)＝x2－x＋1，其圖象的對稱軸為x＝. ①當t≥時，f(x)在[t，t＋1]上是增函數，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1； ②當t＋1≤，即t≤－時，f(x)在上是減函數， ∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1； ③當t<

12、最小值． 對于含參數的二次函數的最值問題，一般有如下幾種類型： (1)區(qū)間固定，對稱軸變動(含參數)，求最值； (2)對稱軸固定，區(qū)間變動(含參數)，求最值； (3)區(qū)間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數． 通常都是根據區(qū)間端點和對稱軸的相對位置進行分類討論． 課堂達標 1．函數f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分別為(　　) A．3,5　　　 B．－3,5　　　 C．1,5　　 D．5，－3 解析　因為f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是單調遞減函數，所以當x＝2時，函數的最小值為－3.當x＝－2時，函數的最大值為5. 答案　B 2．函數

13、y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域為(　　) A．[0,3]　　　 B．[－1,0] C．[－1，＋∞)　　 D．[－1,3] 解析　∵函數y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴當x＝1時，函數y取得最小值為－1，當x＝3時，函數取得最大值為3，故函數的值域為[－1,3]，故選D． 答案　D 3．若函數y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實數a的值是(　　) A．2　　　 B．－2　　　 C．2或－2　　 D．0 解析　由題意a≠0，當a>0時，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；當a<0時，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.

14、綜上知a＝±2. 答案　C 4．函數f(x)＝－3x在區(qū)間[2,4]上的最大值為________． 解析　∵在區(qū)間[2,4]上是減函數，－3x在區(qū)間[2,4]上是減函數，∴函數f(x)＝－3x在區(qū)間[2,4]上是減函數，∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4. 答案?。? 5．已知函數f(x)＝求函數f(x)的最大值、最小值． 解　作出f(x)的圖象如圖：由圖象可知，當x＝2時，f(x)取最大值為2；當x＝時，f(x)取最小值為－. 所以f(x)的最大值為2，最小值為－. 課堂小結 1．函數的最值與值域、單調性之間的聯(lián)系 (1)對一個函數來說，其值域是確定的，但它不一定有最 值，如函數y＝.如果有最值，則最值一定是值域中的一個元素． (2)若函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上單調，則f(x)的最值必在區(qū)間端點處取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)． 2．二次函數在閉區(qū)間上的最值 探求二次函數在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出y＝f(x)的草圖，然后根據圖象的增減性進行研究．特別要注意二次函數的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系，它是求解二次函數在已知區(qū)間上最值問題的主要依據，并且最大(小)值不一定在頂點處取得．