新版高三理科數(shù)學新課標二輪習題：專題七 概率與統(tǒng)計 專題能力訓練21 Word版含答案

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1、 1

2、 1 專題能力訓練21　隨機變量及其分布 能力突破訓練 1.甲射擊命中目標的概率是12,乙命中目標的概率是13,丙命中目標的概率是14.現(xiàn)在三人同時射擊目標,則目標被擊中的概率為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.34 B.23 C.45 D.710 2.(20xx浙江,8)已知隨機變量ξ滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2

3、,若0D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 3.一袋中有5個白球,3個紅球,現(xiàn)從袋中往外取球(除顏色外其他完全相同),每次任取一個記下顏色后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時停止,設停止時共取了X次球,則P(X=12)等于(　　) A.C12103810582 B.C12938958238 C.C119582382 D.C1193810582 4.已知某批零件的長度誤差(單位:毫

4、米)服從正態(tài)分布N(0,32),則從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內的概率為(　　) (附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 5.如圖所示,A,B兩點5條連線并聯(lián),它們在單位時間內能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.記從中任取三條線且在單位時間內通過的最大信息總量為X,則P(X≥8)=　　　　　.? 6.設離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1

5、 0.1 0.3 m 若隨機變量Y=|X-2|,則P(Y=2)=　　　　　.? 7.已知隨機變量X服從二項分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=　　　　　.? 8.A,B兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復時間(單位:天)記錄如下: A組:10,11,12,13,14,15,16 B組:12,13,15,16,17,14,a 假設所有病人的康復時間相互獨立,從A,B兩組隨機各選1人,A組選出的人記為甲,B組選出的人記為乙. (1)求甲的康復時間不少于14天的概率; (2)如果a=25,求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率; (3)當a為何值時

6、,A,B兩組病人康復時間的方差相等?(結論不要求證明) 9.(20xx山東,理18)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率. (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)

7、,求X的分布列與數(shù)學期望E(X). 10.某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時,發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一.小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確,則結束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定. (1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率; (2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

8、 11.若n是一個三位正整數(shù),且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等). 在某次數(shù)學趣味活動中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”;

9、(2)若甲參加活動,求甲得分X的分布列和數(shù)學期望E(X). 思維提升訓練 12. 在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為(　　) A.2 386 B.2 718 C.3 414 D.4 772 附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ

10、中交通不方便的村莊數(shù),下列概率中等于C74C86C1510的是(　　) A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 14.某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖: 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù),n表示購買

11、2臺機器的同時購買的易損零件數(shù). (1)求X的分布列; (2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值; (3)以購買易損零件所需費用的均值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個? 15.某家電產品受在保修期內維修費等因素的影響,企業(yè)生產每件的利潤(單位:百元)與該產品首次出現(xiàn)故障的時間(單位:年)有關.某廠家生產甲、乙兩種品牌,保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌家電中各隨機抽取50件,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下: 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn) 故障時間x 02 02 數(shù)量 2 3 45

12、 5 45 每件利潤 1 2 3 1.8 2.9 將頻率視為概率,解答下列問題: (1)從該廠生產的甲、乙品牌產品中隨機各抽取一件,求其至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率; (2)若該廠生產的家電均能售出,記生產一件甲品牌家電的利潤為X1,生產一件乙品牌家電的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列; (3)該廠預計今后這兩種品牌家電銷量相當,由于資金限制,只能生產其中一種品牌的家電.若從經濟效益的角度考慮,你認為應生產哪種品牌的家電?說明理由. 16.(20xx江蘇,23)已知一個口袋中有m個白球,n個黑球(m,n∈N*,n≥

13、2),這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出,并放入如圖所示的編號為1,2,3,…,m+n的抽屜內,其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n). 1 2 3 … m+n (1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p; (2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學期望,證明:E(X)

14、,C中至少有一個發(fā)生.∵P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=1-12×1-13×1-14=14.∴擊中的概率P=1-P(A·B·C)=34. 2.A　解析∵E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2, ∴E(ξ1)

15、析由正態(tài)分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)內的概率為P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)2 ≈95.45%-68.27%2=13.59%. 5.45　解析由已知得,X的可能取值為7,8,9,10,則P(X≥8)與P(X=7)是對立事件,故P(X≥8)=1-P(X=7)=1-C22C21C53=45. 6.0.5　解析由分布列的性質,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,則m=0.3.由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5. 7.13　解析根據(jù)二項分布的均值、方

16、差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13. 8.解設事件Ai為“甲是A組的第i個人”,事件Bi為“乙是B組的第i個人”,i=1,2,…,7. 由題意可知P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,…,7. (1)由題意知,事件“甲的康復時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康復時間不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37. (2)設事件C為“甲的康復時間比乙的康復時間長”,由題意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6

17、B6∪A7B6. 因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049. (3)a=11或a=18. 9.解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C105=518. (2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4,則 P(X=0)=C65C105=142, P(X=1)=C64C41C105=521, P(X=2)=C63C42C105=1021, P(X=3

18、)=C62C43C105=521, P(X=4)=C61C44C105=142. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X的數(shù)學期望是 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4) =0+1×521+2×1021+3×521+4×142=2. 10.解(1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A, 則P(A)=56×45×34=12. (2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3. 又P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=

19、3)=56×45×1=23,所以X的分布列為 X 1 2 3 P 16 16 23 所以E(X)=1×16+2×16+3×23=52. 11.解(1)個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345; (2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為C93=84,隨機變量X的取值為:0,-1,1,因此P(X=0)=C83C93=23,P(X=-1)=C42C93=114,P(X=1)=1-114-23=1142.所以X的分布列為 X 0 -1 1 P 23 114 1142 則E(X)=0×23+(-1)×114+1×1142

20、=421. 思維提升訓練 12.C　解析因為曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線,所以P(-1

21、.2,0.2. 從而P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1

22、)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元). 當n=19時, E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040. 當n=20時, E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080. 可知當n=19時所需費用的均值小于n=20時所需費用的均值,故應選n=19. 15.解(1)設“甲、乙品牌家電至少有一件首次出現(xiàn)故

23、障發(fā)生在保修期內”為事件A,則P(A)=1-4550×4550=19100. (2)依題意得,X1的分布列為 X1 1 2 3 P 125 350 910 X2的分布列為 X2 1.8 2.9 P 110 910 (3)由(2)得E(X1)=1×125+2×350+3×910=14350=2.86(百元),E(X2)=1.8×110+2.9×910=2.79(百元).因為E(X1)>E(X2),所以應生產甲品牌家電. 16.解(1)編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p為p=Cm+n-1n-1Cm+nn=nm+n. (2)隨機變量X的概率分布為 X

24、 1n 1n+1 1n+2 … 1k … 1m+n P Cn-1n-1Cm+nn Cnn-1Cm+nn Cn+1n-1Cm+nn … Ck-1n-1Cm+nn … Cn+m-1n-1Cm+nn 隨機變量X的期望為E(X)=∑k=nm+n1k·Ck-1n-1Cm+nn=1Cm+nn∑k=nm+n1k·(k-1)!(n-1)!(k-n)!. 所以E(X)<1Cm+nn∑k=nm+n(k-2)!(n-1)!(k-n)!=1(n-1)Cm+nn∑k=nm+n(k-2)!(n-2)!(k-n)! =1(n-1)Cm+nn(1+Cn-1n-2+Cnn-2+…+Cm+n-2n-2) =1(n-1)Cm+nn(Cn-1n-1+Cn-1n-2+Cnn-2+…+Cm+n-2n-2) =1(n-1)Cm+nn(Cnn-1+Cnn-2+…+Cm+n-2n-2) =…=1(n-1)Cm+nn(Cm+n-2n-1+Cm+n-2n-2) =Cm+n-1n-1(n-1)Cm+nn=n(m+n)(n-1), 即E(X)