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高考達(dá)標(biāo)檢測(二) 命題及其關(guān)系 充分條件與必要條件
一、選擇題
1.命題“若α=,則tan α=1”的逆否命題是( )
A.若α≠,則tan α≠1 B.若α=,則tan α≠1
C.若tan α≠1,則α= D.若tan α≠1,則α≠
解析:選D 逆否命題是將原命題中的條件與結(jié)論都否定后再交換位置即可.
所以逆否命題為:若tan α≠1,則α≠.
2.在命題“若拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,則{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是( )
A.都真 B.都假
C.否命題真 D.逆否命題真
解析:選D 對(duì)于原命題:“若拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,則{x|ax2+bx+c<0}≠?”,這是一個(gè)真命題,所以其逆否命題也為真命題;但其逆命題:“若{x|ax2+bx+c<0}≠?,則拋物線y=ax2+bx+c的開口向下”是一個(gè)假命題,因?yàn)楫?dāng)不等式ax2+bx+c<0的解集非空時(shí),可以有a>0,即拋物線的開口可以向上,因此否命題也是假命題.故選D.
3.“直線y=x+b與圓x2+y2=1相交”是“0
e,a-ln x<0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是( )
A.a(chǎn)≤1 B.a(chǎn)<1
C.a(chǎn)≥1 D.a(chǎn)>1
解析:選B 由題意知?x>e,a1,所以a≤1,故答案為B.
5.a(chǎn)2+b2=1是asin θ+bcos θ≤1恒成立的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選A 因?yàn)閍2+b2=1,所以設(shè)a=cos α,b=sin α,則asin θ+bcos θ=sin(α+θ)≤1恒成立;當(dāng)asin θ+bcos θ≤1恒成立時(shí),只需asin θ+bcos θ=sin(θ+φ)≤≤1即可,所以a2+b2≤1,故不滿足必要性.
6.若向量a=(x-1,x),b=(x+2,x-4),則“a⊥b”是“x=2”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選B 若“a⊥b”,則ab=(x-1,x)(x+2,x-4)=(x-1)(x+2)+x(x-4)=2x2-3x-2=0,則x=2或x=-;若“x=2”,則ab=0,即“a⊥b”,所以“a⊥b”是“x=2”的必要不充分條件.
7.在△ABC中,“sin A-sin B=cos B-cos A”是“A=B”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選B 在△ABC中,當(dāng)A=B時(shí),sin A-sin B=cos B-cos A顯然成立,即必要性成立;當(dāng)sin A-sin B=cos B-cos A時(shí),則sin A+cos A=sin B+cos B,兩邊平方可得sin 2A=sin 2B,則A=B或A+B=,即充分性不成立.則在△ABC中,“sin A-sin B=cos B-cos A”是“A=B”的必要不充分條件.
8.設(shè)m,n是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面,則下列命題中不正確的是( )
A.當(dāng)n⊥α?xí)r,“n⊥β”是“α∥β”的充要條件
B.當(dāng)m?α?xí)r,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件
C.當(dāng)m?α?xí)r,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件
D.當(dāng)m?α?xí)r,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件
解析:選C 由垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行可知,A正確;顯然,當(dāng)m?α?xí)r,“m⊥β”?“α⊥β”;當(dāng)m?α?xí)r,“α⊥β” “m⊥β”,故B正確;當(dāng)m?α?xí)r,“m∥n”“n∥α”, n也可能在平面α內(nèi),故C錯(cuò)誤;當(dāng)m?α?xí)r,“n⊥α”?“m⊥n”,反之不成立,故D正確.
二、填空題
9.“若a≤b,則ac2≤bc2”,則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是________.
解析:其中原命題和逆否命題為真命題,逆命題和否命題為假命題.
答案:2
10.下列命題正確的序號(hào)是________.
①命題“若a>b,則2a>2b”的否命題是真命題;
②命題“a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是真命題;
③若p是q的充分不必要條件,則綈p是綈q的必要不充分條件;
④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要條件是a=.
解析:①否命題“若2a≤2b,則a≤b”,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,該命題正確;
②由互為逆否命題真假相同可知,該命題為真命題;
由互為逆否命題可知,③是真命題;
④方程ax2+x+a=0有唯一解,
則a=0或求解可得a=0或a=,故④是假命題.
答案:①②③
11.已知集合A=,B={x|-13,即m>2.
答案:(2,+∞)
12.給出下列四個(gè)結(jié)論:
①若am20,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆命題為真命題;
④命題“若m2+n 2=0,則m=0且n=0”的否命題是“若m2+n2≠0,則m≠0且n≠0”;
⑤對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若滿足=++,則P,A,B,C四點(diǎn)一定共面.
其中真命題的為________.(填序號(hào))
解析:①命題“若x2-3x-4=0,則x=4”的逆否命題為“若x≠4,則x2-3x-4≠0”,故①正確;
②x=4?x2-3x-4=0;由x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4.
∴“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要條件,故②正確;
③命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆命題為“若方程x2+x-m=0有實(shí)根,則m>0”,是假命題,如m=0時(shí),方程x2+x-m=0有實(shí)根,故③錯(cuò)誤;
④命題“若m2+n2=0,則m=0且n=0”的否命題是“若m2+n2≠0,則m≠0或n≠0”,故④錯(cuò)誤;
⑤∵++=1,∴對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若滿足=++,則P,A,B,C四點(diǎn)一定共面,故⑤正確.
答案:①②⑤
2.已知p:-x2+4x+12≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).
(1)若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________;
(2)若“綈p”是“綈q”的充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.
解析:由題知,p為真時(shí),-2≤x≤6,q為真時(shí),1-m≤x≤1+m,
令P={x|-2≤x≤6},Q={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)∵p是q的充分不必要條件,∴PQ,
∴或解得m≥5,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[5,+∞).
(2)∵“綈p”是“綈q”的充分條件,∴“p”是“q”的必要條件,
∴Q?P,∴解得0
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