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1、4.4 等腰三角形和直角三角形A 組 2015 年全國中考題組一、選擇題1(2015山東青島,4,3 分)如圖,在ABC 中,C90,B30,AD 是ABC 的角平分線,DEAB,垂足為 E,DE1,則 BC()A. 3B2C3D. 32解析 在 RtBDE 中,B30,所以 BD2DE2,又因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等,可得 CDDE1,所以 BC3.答案 C2(2015浙江臺州,8,3 分)如果將長為 6 cm,寬為 5 cm 的長方形紙片折疊一次,那么這條折痕的長不可能是()A8 cmB5 2 cmC5.5 cmD1 cm解析 折痕最長為該矩形對角線的長 5262 61 cm.答
2、案 A3 (2015四川瀘州, 12, 3 分)在平面直角坐標(biāo)系中, 點 A( 2, 2), B(3 2, 3 2),動點 C 在 x 軸上,若以 A,B,C 三點為頂點的三角形是等腰三角形,則點 C的個數(shù)為()A2B3C4D5解析 如圖,AB 所在的直線是 yx,設(shè) AB 的中垂線所在的直線是 yxb.點 A( 2, 2),B(3 2,3 2),AB 的中點坐標(biāo)是(2 2,2 2)把 x2 2,y22代入yxb,解得 b4 2,AB 的中垂線所在的直線是 yx4 2,C1(4 2,0);以點 A 為圓心,以 AB 的長為半徑畫弧,與 x 軸的交點為點 C2,C3;AB (3 2 2)2(3
3、2 2)24,3 24,以點 B 為圓心,以 AB 的長為半徑畫弧,與 x 軸沒有交點綜上,可得若以A,B,C 三點為頂點的三角形是等腰三角形,則點 C 的個數(shù)為 3.答案 B4(2015山東泰安,13,3 分)如圖,AD 是ABC 的角平分線,DEAC,垂足為 E,BFAC 交 ED 的延長線于點 F,若 BC 恰好平分ABF,AE2BF,給出下列四個結(jié)論: DEDF; DBDC; ADBC;AC3BF,其中準(zhǔn)確的結(jié)論共有()A4 個B3 個C2 個D1 個解析 先由 AD,BD 都是角的平分線,又因為 BFAC,同旁內(nèi)角互補,可得ADB90,進(jìn)而可得ADCADB,所以成立,進(jìn)而再證明DCE
4、DBF,所以成立答案 A二、填空題5(2015山東泰安,23,3 分)如圖,在矩形 ABCD 中,M, N 分別是邊 AD, BC 的中點, E, F 分別是線段 BM,CM 的中點若 AB8,AD12,則四邊形 ENFM 的周長為_解析 由勾股定理可得 BMMC10,所以 MEMF5,再由三角形的中位線的性質(zhì)可得 ENFN5,所以四邊形 ENFM 的周長為 20.答案 206(2015四川宜賓,15,3 分)如圖,一次函數(shù)的圖象與 x 軸,y 軸分別相交于點 A,B,將AOB 沿直線 AB 翻折,得ACB.若 C32,32 ,則該一次函數(shù)的解析式為_解析 如圖,過點 C 作 CDx 軸,設(shè)
5、A(x,0)將AOB 沿直線 AB 翻折,得ACB,OAAC.A(x,0),C32,32 ,OAACx,則 AD32x.在 RtADC 中,由勾股定理得 x232x2322,解得:x1 即 A(1,0),OAAC1.sinCADCDAC32,CAD60即OAC180CAD120.AOB 沿直線 AB 翻折,得ACB,CABOAB60,在 RtAOB中,OA1,OAB60,OBOAtanOAB 3即 B(0, 3)設(shè)一次函數(shù)的解析式為 ykxb(k0),將點 A,B 的坐標(biāo)代入解析式得:y 3x 3.答案y 3x 37(2015山東青島,12,3)如圖,平面直角坐標(biāo)系的原點 O 是正方形 ABC
6、D 的中心,頂點 A、B 的坐標(biāo)分別為(1,1),(1,1),把正方形 ABCD 繞點 O 逆時針方向旋轉(zhuǎn) 45得正方形 ABCD, 則正方形 ABCD與正方形 ABCD重疊部分組成的正八邊形的邊長為_解析由勾股定理可得AC2 2, 所以AO 2, 所以正八邊形的邊長2( 21)2 22.答案2 228(2015四川瀘州,16,3 分)如圖,在矩形 ABCD 中,BC 2AB,ADC 的平分線交邊 BC 于點 E,AHDE 于點 H,連結(jié) CH 并延長交邊 AB 于點 F,連結(jié) AE 交 CF 于點 O.給出下列命題:AEBAEH;DH2 2EH;HO12AE;BCBF 2EH.其中正確命題的
7、序號是_(填上所有正確命題的序號)解析在矩形 ABCD 中,ADBC 2AB 2CD,DE 平分ADC,ADECDE45.AHDE,ADH 是等腰直角三角形,AD 2AH,AHABCD.DEC 是等腰直角三角形,DE 2CD,ADDE,AED67.5,AEB1804567.567.5,AEDAEB,故正確;設(shè) DH1,則 AHDH1,ADDE 2,HE 21,2 2HE2 2( 21)1,故錯誤;AEH67.5,EAH22.5.DHDC,EDC45,DHC67.5,OHA22.5,OAHOHA,OAOH,AEHOHE67.5,OHOE,OH12AE,故正確;AHDH,CDCE,在AFH 與EH
8、C 中,AHFHCE22.5,F(xiàn)AHHEC45,AHCE,AFHEHC,AFEH.在ABE 與AHE 中,ABAH,BEAHEA,AEAE,ABEAHE,BEEH,BCBF(BECE)(ABAF)(CDEH)(CDEH)2EH,故錯誤答案三、解答題9(2015山東泰安,28,10 分)如圖,ABC 是直角三角形, 且ABC90, 四邊形 BCDE 是平行四邊形,E 為 AC 中點,BD 平分ABC,點 F 在 AB 上,且BFBC.求證:(1)DFAE;(2)DFAC.證明(1)延長 DE 交 AB 于點 G,連結(jié) AD.EDBC,E 是 AC 中點,ABC90,AGBG,DGAB,ADBDB
9、D 平分ABC,ABD45,BAD45,BDGADG45.四邊形 BCDE 是平行四邊形,EDBC.又BFBC,BFDE,AEDDFB,AEDF,(2)AEDDFB,AEDDFB,DFGDEC.DFG 與FDG 互余,DEC 與FDG 互余DFAC.10(2015貴州遵義,24,10 分)如圖,ABCD 中,BDAD,A45,E,F(xiàn) 分別是 AB,CD 上的點,且 BEDF,連結(jié) EF 交 BD 于 O.(1)求證:BODO;(2)若 EFAB,延長 EF 交 AD 的延長線于 G,當(dāng) FG1 時,求 AD 的長(1)證明法一四邊形 ABCD 是平行四邊形,ABCD,ABDCDB.又BOEDO
10、F(對頂角相等),BEDF,BOEDOF(AAS)BODO.法二連結(jié) DE,BF.四邊形 ABCD 是平行四邊形,CDAB.又DFBE,四邊形 DEBF 是平行四邊形BODO.(2)解ABCD,A45,CDG45.EFCD,DFGDFO90,G45,DFGF1.BDAD,ADB90,BDG90,ODF45,DOF45,ODFDOF,OFDF1,OD 2.由BOEDOF 可知,OBOD 2,BD2 2.ADB90,A45,ABDA45.ADBD2 2,即 AD 的長為 2 2.B 組20142011 年全國中考題組一、選擇題1(2014貴州黔西南,3,4 分)已知等腰三角形 ABC 中,腰 AB
11、8,底 BC5,則這個三角形的周長()A21B20C19D18解析由等腰三角形的定義可得 ACAB8,則周長為 88521.故選 A.答案A2(2014山東濱州 7,3 分)下列四組線段中,可以構(gòu)成直角三角形的是 ()A4,5,6B1.5,2,2.5C2,3,4D1,2,3解析A 中,42524162,則不能構(gòu)成直角三角形;B 中,1.52226.252.52,能構(gòu)成直角三角形;C 中,22321342,則不能構(gòu)成直角三角形;D 中,12( 2)2332,則不能構(gòu)成直角三角形故選 B.答案B3(2014四川德陽,10,3 分)如圖,在 RtABC 中,ACB90,點 D 是 AB 的中點,且
12、CD52,如果RtABC 的面積為 1,則它的周長為()A.512B. 51C. 52D. 53解析在 RtABC 中,ACB90,D 是 AB 的中點,AB2CD 5.AC2BC2AB25.又ABC 的面積為 1,即12ACBC1,(ACBC)2AC22ACBCBC2549.ACBC3(舍去負(fù)值)ACBCAB3 5,即ABC 的周長為 3 5.故選 D.答案D4(2013山東棗莊,6,3 分)如圖,ABC 中,ABAC10,BC8,AD 平分BAC 交 BC 于點 D,點 E 為AC 的中點,連結(jié) DE,則CDE 的周長為()A20B12C14D13解析ABC 是等腰三角形,AD 平分BAC
13、,CDBD4.又點 E 為AC 的中點,CEAE5,DE 是ABC 的中位線,DE12AB5,CDE 的周長CDCEDE45514.故選 C.答案C5 (2013山東威海, 8, 3 分)如圖, 在ABC 中, A36,ABAC,AB 的垂直平分線 OD 交 AB 于點 O,交 AC于點 D,連結(jié) BD.下列結(jié)論錯誤的是()AC2ABBD 平分ABCCSBCDSBODD點 D 為線段 AC 的黃金分割點解析A36, ABAC, CABC722A, A 正確 OD是 AB 的垂直平分線,ADBD, ABDA36,BD 平分ABC,B 正確CBDA36,C 是公共角,BCDABC,BDACCDBC
14、.又ADBDBC,ADACCDAD,點 D 為線段 AC 的黃金分割點,D 正確;由上述條件不能得出 C,故選 C.答案C6(2013貴州安順,6,3 分)如圖,有兩棵樹,一棵高 10 m,另一棵高 4 m,兩樹相距 8 m一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行()A8 mB10 mC12 mD14 m解析如圖,設(shè)大樹高為 AB10 m,小樹高為 CD4 m,過 C 點作 CEAB于 E,則四邊形 EBDC 是矩形連結(jié) AC,EB4 m,EC8 m,AEABEB1046(m),在 RtAEC 中,AC AE2EC210(m)故選 B.答案B二、填空題7(2014江蘇揚州,10
15、,3 分)若等腰三角形的兩條邊長分別為 7 cm 和 14 cm,則它的周長為_ cm.解析可分情況討論:(1)若腰長為 7 cm,則三邊為 7 cm,7 cm,14 cm,7714,不能構(gòu)成三角形,則假設(shè)不成立;(2)若腰長為 14 cm,則三邊為7 cm,14 cm,14 cm,71414,能構(gòu)成三角形,則周長為 7141435(cm)答案358(2013浙江義烏,15,4 分)如圖,ADBC 于點 D,D為 BC 的中點, 連結(jié) AB, ABC 的平分線交 AD 于點 O,連結(jié) OC,若AOC125,則ABC_.解析ADBC 于點 D, D 為 BC 的中點,AD 是線段 BC 的垂直平
16、分線 ,OB OC, OBCC.AOC125, ODC90, C35,OBC35,BO 平分ABC,ABC2C70.答案709(2013浙江紹興,15,5 分)如圖的鋼架中,焊上等長的 13 根鋼條來加固鋼架若 AP1P1P2P2P3P13P14P14A,則A 的度數(shù)是_解析設(shè)Ax,AP1P1P2P2P3P13P14P14A,AAP2P1AP13P14x,P2P1P3P13P14P122x,P3P2P4P12P13P113x,P7P6P8P8P9P77x,AP7P87x,AP8P77x.在AP7P8中,AAP7P8AP8P7180,即 x7x7x180,解得 x12,即A12.答案12三、解答題10(2014江蘇無錫,21,6 分)如圖,已知:ABC中,ABAC,M 是 BC 的中點,D,E 分別是 AB,AC 邊上的點,且 BDCE,求證:MDME.證明ABAC,BC.M 是 BC 的中點,BMCM.在BDM 和CEM 中,BDCE,BC,BMCM,BDMCEM.MDME.