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1、專題02 函數(shù)
一.基礎(chǔ)題組
1. 【2014上海,理4】設(shè)若,則的取值范圍為_____________.
【答案】
【考點】分段函數(shù).
2. 【2014上海,理9】若,則滿足的取值范圍是 .
【答案】
【考點】冪函數(shù)的性質(zhì).
3. 【2013上海,理6】方程=3x-1的實數(shù)解為______.
【答案】log34
4. 【2013上海,理12】設(shè)a為實常數(shù),y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=9x++7.若f(x)≥a+1對一切x≥0成立,則a的取值范圍為______.
【答案】(-∞,]
5. 【2013上海,理14】對區(qū)
2、間I上有定義的函數(shù)g(x),記g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定義域為[0,3]的函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x),且f-1([0,1))=[1,2),f-1((2,4])=[0,1).若方程f(x)-x=0有解x0,則x0=______.
【答案】2
6. 【2012上海,理7】已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是__________.
【答案】(-∞,1]
7. 【2012上海,理9】已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=__________.
3、
【答案】-1
8. 【2011上海,理1】函數(shù)的反函數(shù)為f-1(x)=______.
【答案】
9. 【2011上海,理13】設(shè)g(x)是定義在R上,以1為周期的函數(shù).若函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間[3,4]上的值域[-2,5],則f(x)在區(qū)間[-10,10]上的值域為______.
【答案】[-15,11]
10. 【2011上海,理16】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又是在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是( )
A. B.y=x3 C.y=2|x| D.y=cosx
【答案】A
11. 【20
4、10上海,理8】對任意不等于1的正數(shù),函數(shù)的反函數(shù)的圖像都過點P,則點P的坐標(biāo)是 ;
【答案】
【點評】反函數(shù)是高考??嫉闹R點,一般難度都不大.當(dāng)與反函數(shù)圖像有關(guān)時,要注意反函數(shù)與原函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
12. 【2010上海,理17】若是方程的解,則屬于區(qū)間 [答]( )
(A)(). (B)(). (C)() (D)()
【答案】C
【點評】本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等知識的考查,把對方程的根的研究轉(zhuǎn)化為對函數(shù)零點的考察是解題的關(guān)鍵.
13. (2009上海,
5、理20)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.
有時可用函數(shù)
描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度.其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*),f(x)表示對該學(xué)科知識的掌握程度,正實數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).
(1)證明:當(dāng)x≥7時,掌握程度的增長量f(x+1)-f(x)總是下降;
(2)根據(jù)經(jīng)驗,學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127,133].當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時,掌握程度是85%,請確定相應(yīng)的學(xué)科.
【答案】(1) 參考解析;(2) 乙學(xué)科
14. 【2008上海,理4】若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f -1(x)=x2(x
6、>0),則f(4)= .
15. 【2008上海,理8】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)=lg x,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是 .
16. 【2008上海,理11】方程x2+x-1=0的解可視為函數(shù)y=x+的圖像與函數(shù)y=的圖像交點的橫坐標(biāo),若x4+ax-4=0的各個實根x1,x2,…,xk (k≤4)所對應(yīng)的點(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直線y=x的同側(cè),則實數(shù)a的取值范圍是 .
17. 【2007上海,理1】函數(shù)的定義域為
7、
18. 【2007上海,理3】函數(shù)的反函數(shù)
19.【2007上海,理4】方程的解是
20. 【2006上海,理3】若函數(shù)=(>0,且≠1)的反函數(shù)的圖像過點(2,-1),則= .
【答案】
21. 【2006上海,理11】若曲線=||+1與直線=+沒有公共點,則、分別應(yīng)滿足的條件是 .
【答案】=0、∈(-1,1)
22. 【2005上海,理1】函數(shù)的反函數(shù)=__________.
【答案】
23. 【2005上海,理2】方程的解是__________
【答案】x=0
24. 【2005上海,理10】函
8、數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點,則的取值范圍是__________
【答案】
25. 【2005上海,理13】若函數(shù),則該函數(shù)在上是( )
A.單調(diào)遞減無最小值 B.單調(diào)遞減有最小值
C.單調(diào)遞增無最大值 D.單調(diào)遞增有最大值
【答案】A
26. 【2005上海,理16】設(shè)定義域為R的函數(shù),則關(guān)于的方程有7個不同實數(shù)解的充要條件是( )
A.且B.且C.且D.且
【答案】C
二.能力題組
1. 【2014上海,理12】設(shè)常數(shù)a使方程在閉區(qū)間[0,2]上恰有三個解,則 .
【
9、答案】
【考點】解三角方程,方程的解與函數(shù)圖象的交點.
2. 【2014上海,理18】若是的最小值,則的取值范圍為( ).
(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)
【答案】D
【考點】分段函數(shù)的單調(diào)性與最值問題.
3. 【2013上海,理20】甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每一小時可獲得的利潤是元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3 000元,求x的取值范圍;
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.
10、
【答案】(1) 3≤x≤10 ;(2) 6千克/小時, 最大利潤為457 500元
4. 【2012上海,理20】已知函數(shù)f(x)=lg(x+1).
(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范圍;
(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時,有g(shù)(x)=f(x),求函數(shù)y=g(x)(x∈[1,2])的反函數(shù).
【答案】(1) ; (2) y=3-10x ,x∈[0,lg 2]
5. 【2012上海,理21】海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位:以失事船的當(dāng)前位置為原點,以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度),則救援船恰好在失事船
11、正南方向12海里A處,如圖.現(xiàn)假設(shè):①失事船的移動路徑可視為拋物線;②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援;③救援船出發(fā)t小時后,失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t.
(1)當(dāng)t=0.5時,寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo).若此時兩船恰好會合,求救援船速度的大小和方向;
(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船?
【答案】(1) 海里,北偏東弧度 (2) 時速至少是25海里才能追上失事船
因此,救援船的時速至少是25海里才能追上失事船.
6. 【2011上海,理20】已知函數(shù)f(x)=a·2x+b·3x,其中常數(shù)a,b滿足ab≠0.
(1)若ab>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
12、
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.
【答案】(1) 單調(diào)遞減;(2)
7. (2009上海,理22)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.
已知函數(shù)y=f-1(x)是y=f(x)的反函數(shù).定義:若對給定的實數(shù)a(a≠0),函數(shù)y=f(x+a)與y=f-1(x+a)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a和性質(zhì)”;若函數(shù)y=f(ax)與y=f-1(ax)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a積性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2)求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
13、(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)(x>0)對任何a>0,滿足“a積性質(zhì)”.求y=f(x)的表達(dá)式.
【答案】(1)不滿足; (2) k=-1,f(x)=-x+b(b∈R) ;(3) 參考解析
三.拔高題組
1. 【2014上海,理20】(本題滿分14分)本題有2個小題,第一小題滿分6分,第二小題滿分1分.
設(shè)常數(shù),函數(shù)
(1) 若=4,求函數(shù)的反函數(shù);
(2) 根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
【答案】(1),;(2)時為奇函數(shù),當(dāng)時為偶函數(shù),當(dāng)且時為非奇非偶函數(shù).
【考點】反函數(shù),函數(shù)奇偶性.
2. 【2008上海,理19】(8’+8’)已知函數(shù)f(
14、x)=2x-
⑴ 若f(x)=2,求x的值
⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍
3. 【2007上海,理18】近年來,太陽能技術(shù)運用的步伐日益加快,已知2002年全球太陽能年生產(chǎn)量為670兆瓦,年增長率為34%。在此后的四年里,增長率以每年2%的速度增長(例如2003年的年生產(chǎn)量增長率為36%)
(1)求2006年的太陽能年生產(chǎn)量(精確到0.1兆瓦)
(2)已知2006年太陽能年安裝量為1420兆瓦,在此后的4年里年生產(chǎn)量保持42%的增長率,若2010年的年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%,求4年內(nèi)年安裝量的增長率的最小值(精確到0.
15、1%)
4. 【2007上海,理19】已知函數(shù)
(1)判斷的奇偶性 (2)若在是增函數(shù),求實數(shù)的范圍
5. 【2006上海,理22】(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分)
已知函數(shù)=+有如下性質(zhì):如果常數(shù)>0,那么該函數(shù)在0,上是減函數(shù),在,+∞上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)=+(>0)的值域為6,+∞,求的值;
(2)研究函數(shù)=+(常數(shù)>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由;
(3)對函數(shù)=+和=+(常數(shù)>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論,不必證明),并求函數(shù)=+(是正整數(shù))在區(qū)間[,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究結(jié)論).
【答案】(1)b=log29;(2)參考解析;(3)參考解析