新版高考數(shù)學一輪復(fù)習學案訓(xùn)練課件: 課時分層訓(xùn)練41 空間圖形的基本關(guān)系與公理 理 北師大版

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1、 1

2、 1 課時分層訓(xùn)練(四十一) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 A組 基礎(chǔ)達標 一、選擇題 1.下列命題中,真命題的個數(shù)為(  ) ①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點,那么這兩個平面重合; ②兩條直線可以確定一個平面; ③空間中,相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi); ④若M∈α,M∈β,α∩β=l,則M∈l. A.1       B.2 C.3 D.4 B [根

3、據(jù)公理2可判斷①是真命題;兩條異面直線不能確定一個平面,故②是假命題;在空間中,相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角),故③是假命題;根據(jù)公理3可知④是真命題.綜上,真命題的個數(shù)為2.] 2.已知A,B,C,D是空間四點,命題甲:A,B,C,D四點不共面,命題乙:直線AC和BD不相交,則甲是乙成立的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 A [若A,B,C,D四點不共面,則直線AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直線AC和BD不相交,若直線AC和BD平行時,A,B,C,D四點共面,所以甲是乙成立的充分不必要條件.] 3.若直

4、線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是(  ) 【導(dǎo)學號:79140226】 A.l與l1,l2都不相交 B.l與l1,l2都相交 C.l至多與l1,l2中的一條相交 D.l至少與l1,l2中的一條相交 D [由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交.] 4.(20xx·蘭州實戰(zhàn)模擬)已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=,AD=1,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為(  ) A. B. C. D. A [連接AC,AB1(圖略),由長方體性質(zhì)可知A

5、B1∥DC1,所以∠AB1C就是異面直線B1C和C1D所成的角.由題知AC==2,AB1==,CB1==2,所以由余弦定理得cos∠AB1C==,故選A.] 5.(20xx·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(  ) A. B. C. D. A [設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD=m1. ∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m. ∵平面A

6、BB1A1∥平面DCC1D1, 且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, 同理可證CD1∥n. 因此直線m,n所成的角與直線B1D1,CD1所成的角相等,即∠CD1B1為m,n所成的角. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形, 故直線B1D1與CD1所成角為60°,其正弦值為.] 二、填空題 6.(20xx·湖北調(diào)考)已知正六棱錐S-ABCDEF的底面邊長和高均為1,則異面直線SC與DE所成角的大小為________.  [設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O,連接SO,CO,BO,則由正六邊形的性質(zhì)知OC∥DE,SO⊥平面ABCDEF,所以∠SCO

7、為異面直線SC與DE所成角.又易知△BOC為等邊三角形,所以SO=BC=CO=1,所以∠SCO=.] 7.若平面α,β相交,在α,β內(nèi)各取兩點,這四點都不在交線上,這四點能確定________個平面. 1或4 [如果這四點在同一平面內(nèi),那么確定一個平面;如果這四點不共面,則任意三點可確定一個平面,所以可確定四個平面.] 8.(20xx·鄭州模擬)在圖7-2-7中,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號). 【導(dǎo)學號:79140227】 (1)     (2)    (3)    (4)

8、圖7-2-7 (2)(4) [圖(1)中,直線GH∥MN;圖(2)中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖(3)中,連接MG(圖略),GM∥HN,因此GH與MN共面;圖(4)中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面,所以在圖(2)(4)中,GH與MN異面.] 三、解答題 9.如圖7-2-8所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點.問: 圖7-2-8 (1)AM和CN是否是異面直線?說明理由; (2)D1B和CC1是否是異面直線?說明理由. [解] (1)AM,CN不是異面直線.理由:連接MN,A

9、1C1,AC. 因為M,N分別是A1B1,B1C1的中點,所以MN∥A1C1. 又因為A1AC1C,所以A1ACC1為平行四邊形, 所以A1C1∥AC,所以MN∥AC, 所以A,M,N,C在同一平面內(nèi), 故AM和CN不是異面直線. (2)直線D1B和CC1是異面直線. 理由:因為ABCD-A1B1C1D1是正方體,所以B,C,C1,D1不共面.假設(shè)D1B與CC1不是異面直線, 則存在平面α,使D1B平面α,CC1平面α, 所以D1,B,C,C1∈α, 這與B,C,C1,D1不共面矛盾,所以假設(shè)不成立, 即D1B和CC1是異面直線.] 10.如圖7-2-9所示,在三棱

10、錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求: 圖7-2-9 (1)三棱錐P-ABC的體積; (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值. [解] (1)S△ABC=×2×2=2, 三棱錐P-ABC的體積為 V=S△ABC·PA=×2×2=. (2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則ED∥BC,所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角). 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. B組 能力提升 11.(20xx·陜西質(zhì)檢(一))已知P是

11、△ABC所在平面外的一點,M,N分別是AB,PC的中點.若MN=BC=4,PA=4,則異面直線PA與MN所成角的大小是(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° A [取AC中點為O,連接OM,ON,則易證OM綊BC,ON綊PA,所以∠ONM就是異面直線PA與MN所成的角.由MN=BC=4,PA=4,得OM=BC=2,ON=AP=2,則cos∠ONM==,所以∠ONM=30°,即異面直線PA與MN所成角的大小是30°,故選A.] 12.如圖7-2-10,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F(xiàn),G分別是線段AE,BC的

12、中點,則AD與GF所成的角的余弦值為________. 【導(dǎo)學號:79140228】 圖7-2-10  [取DE的中點H,連接HF,GH. 由題設(shè),HFAD, 所以∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補角). 在△GHF中,可求HF=, GF=GH=, ∴cos∠GFH==.] 13.如圖7-2-11,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點. 圖7-2-11 (1)求四棱錐O-ABCD的體積; (2)求異面直線OC與MD所成角的正切值. [解] (1)由已知可求得正方形ABCD的面積S=4, ∴四棱錐O-ABCD的體積V=×4×2=. (2)如圖,連接AC,設(shè)線段AC的中點為E,連接ME,DE. 又M為OA中點,∴ME∥OC, 則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角,由已知可得 DE=,EM=,MD=,∵()2+()2=()2, ∴△DEM為直角三角形, ∴tan∠EMD===. ∴異面直線OC與MD所成角的正切值為.

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