2018版高考數(shù)學二輪復習 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 7 概率與統(tǒng)計教學案 理

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1、 7.概率與統(tǒng)計 ■要點重溫…………………………………………………………………………· 1．隨機抽樣方法 簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點是抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等，且是不放回抽樣． [應用1]　某社區(qū)現(xiàn)有480個住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭．在建設幸福社區(qū)的某次分層抽樣調查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為________． [解析]　設本次抽取的總戶數(shù)為x，由抽樣比例可知＝，則x＝24. [答案]　24 2．對于統(tǒng)計圖表問題，求解時，最重要的就是認真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)．對于頻率分布直

2、方圖，應注意的是圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率．莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時，莖葉圖就不那么直觀、清晰了． [應用2]　在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖23所示： 圖23 若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是________． [解析]　由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運動員，落在區(qū)間[139,151]的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名． [答案]　4 3．樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 在頻率分布直方圖中，中

3、位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值．平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和，眾數(shù)是最高矩形的中點的橫坐標． 標準差的平方就是方差，方差的計算 (1)基本公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)簡化計算公式①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或寫成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方和的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方． [應用3]　(1)某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：mm)進行檢測，如圖24是檢測結果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)為(　　) 圖24 A．20　　　 B

4、．25 C．22.5 D．22.75 (2)已知樣本數(shù)據(jù)3,4,5，x，y的平均數(shù)是5，標準差是，則xy＝(　　) A．42 B．40 C．36 D．30 (3)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機調查了40個用戶，根據(jù)用戶滿意度的評分制成頻率分布直方圖(如圖25)，則該地區(qū)滿意度評分的平均值為________. 【導學號：07804193】 圖25 [解析]　(1)產(chǎn)品的中位數(shù)出現(xiàn)在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面積依次為0.1,0.2,0.4， ……，設中位數(shù)是x，則由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故選C. (2)由＝5得

5、x＋y＝13， ① 由＝ 得x2＋y2－10x－10y＋45＝0， ② ①×10＋②得，x2＋y2＝85　 ③ ①2－③得，2xy＝84，即xy＝42，故選A. (3)由直方圖估計評分的平均值為55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5. [答案]　(1)C　(2)A　(3)77.5 4．變量間的相關關系 變量間的相關關系以散點圖為基礎，設(x1，y1)，(x2，y2)…，(xn，yn)是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)，其回歸方程為＝x＋，則 . [應用4]　假設某商品的銷售量x(件)與利潤y(萬元)有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)： x

6、 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 且已知＝90，＝140.8，iyi＝112.3，≈8.9，≈1.4. (1)對x，y進行線性相關性檢驗； (2)如果x與y具有線性相關關系，求出回歸直線方程，并估計銷售量為10件時，利潤約是多少？ 附相關公式：r＝，＝ ＝ ，＝－·. [解]　(1)＝＝4，＝＝5， 相關系數(shù)r的分子為＝iyi－5·＝122.3－5×4×5＝12.3，2 ＝ x－52＝ 90－5×16 ＝ 10， (yi－)2＝y(tǒng)－5()2＝140.8－125＝15.8， 所以r＝＝＝≈0.987. 因為0.987>0.

7、75，所以x與y之間具有很強的線性相關關系． (2)因為 ＝＝＝1.23， ＝－·＝0.08， 所以所求的回歸直線方程為＝1.23x＋0.08. 當x＝10時，＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估計銷售量為10 件時，利潤約為12.38 萬元． 5．獨立性檢驗 兩個分類變量X和Y相關的可信度，常通過隨機變量K2的觀測值k＝來衡量， k的值越大，說明“X與Y有關系”成立的可能性越大． [應用5]　甲乙兩個學校高三年級分別為1100人，1000人，為了統(tǒng)計兩個學校在地區(qū)第二次模擬考試中數(shù)學科目的成績，采用分層抽樣的方法抽取了105名學生的成績，并作出了部分頻率分布表如下(規(guī)

8、定考試成績在[120,150]內為優(yōu)秀)： 甲校： 分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 頻數(shù) 2 3 10 15 15 x 3 1 乙校： 分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 頻數(shù) 1 2 9 8 10 10 y 3 (1)計算x，y的值，并分別估計兩校數(shù)學成績的優(yōu)秀率； (2)

9、由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認為這兩個學校的數(shù)學成績有差異. 甲校 乙校 總計 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 K2＝. 附： P(K2≥k0) 0.10 0.025 0.010 k0 2.706 5.024 6.635 [解]　(1)依題意知，甲校抽取55人，乙校抽取50人，故x＝6，y＝7. 估計甲校的優(yōu)秀率為≈18.2%；乙校的優(yōu)秀率為＝40%. (2)填表如下： 甲校 乙校 總計 優(yōu)秀 10 20 30 非優(yōu)秀 45 30 75 總計 55 50 1

10、05 K2＝≈6.109. ∵6.109＞5.024，∴有97.5%的把握認為這兩個學校的數(shù)學成績有差異． 6．解排列組合問題的常用策略 相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結果． [應用6]　(1)4個不同的小球放入編號為1、2、3、4的4個盒中，則恰有1個空盒的放法共有________種． (2)從1、3、5、7中任取2個數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答) [解析]　(1)把4個球分成3

11、組，每組至少1個，即分的小球個數(shù)分別為2,1,1的3組，有種．最后將三組球放入4個盒中的3個，有分配方法數(shù)A種，因此，放法共有×A＝144(種)． (2)將問題分成三類：①含數(shù)字5，不含數(shù)字0，則選元素的過程有C·C種方法，將5排在末位，則組數(shù)的過程有A種方法，依據(jù)分步計數(shù)原理得這一類共有CCA＝108個；②含數(shù)字0，不含數(shù)字5，則選元素的過程有CC種方法，將0排在末位，則組數(shù)過程有A種方法，這一類共有CCA＝72個；③含數(shù)字0，也含數(shù)字5，則選元素的過程有CC，若0在末位，則組數(shù)過程有A種方法，若0不在末位，則組數(shù)過程有CA種方法，這一類共有CC(A＋CA)＝120個．根據(jù)分類計數(shù)原理，其

12、中能被5整除的四位數(shù)共有108＋72＋120＝300個 [答案]　(1)144　(2)300 7．二項式系數(shù)的性質 (1)對稱性：C＝C(k＝0,1,2，…，n)． (2)系數(shù)和：C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (3)最值：n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第項，二項式系數(shù)為C；n為奇數(shù)時，(n＋1)為偶數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)最大為第項及第＋1項，其二項式系數(shù)為. [應用7]　 (1)設二項式(n∈N*)展開式的二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和分別為an，bn，則＝(　　) A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1) C．2n＋1

13、D．1 (2)展開式中的常數(shù)項為________． [解析]　(1)二項式(n∈N*)展開式的二項式系數(shù)和為2n，各項系數(shù)和為＝，則an＝2n，bn＝，＝＝2n＋1，故選C. (2)＝，由二項式定理知(x－1)8通項為Tr＋1＝Cx8－r(－1)r，令r＝4得T5＝Cx4(－1)4＝70x4，故展開式中的常數(shù)項為70. [答案]　(1)C　(2)70 8．概率的計算公式 (1)互斥事件有一個發(fā)生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，若事件A與B對立P(B)＝1－P(A)． (2)古典概型的概率計算公式：P(A)＝＝； [應用8]　某班班會，準備從包括甲、乙兩人的七名同學中選派

14、4名學生發(fā)言，要求甲、乙兩人中至少有1人參加，則甲、乙都被選中且發(fā)言時不相鄰的概率為________． [解析]　由題意可分兩種情況只有甲乙中一人參加，有CCA＝480. 甲乙兩人參加有CA＝240則滿足條件總的發(fā)言總數(shù)為480＋240＝720. 甲乙兩人參加，且發(fā)言時不相鄰的包括情況有CAA＝120. 則甲、乙都被選中且發(fā)言時不相鄰的概率為＝. [答案]　 (3)幾何概型的概率計算公式：P(A)＝. [應用9]　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　)

15、 【導學號：07804194】 A． B．1－ C． D．1－ [解析]　記“點P到點O的距離大于1”為A， P(A)＝＝1－. [答案]　B (4)條件概率的概率計算公式：P(B|A)＝＝. [應用10]　盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為(　　) A. B． C. D． [解析]　第一次摸出新球記為事件A，則P(A)＝， 第二次取到新球記為事件B， 則P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝. [答案]　B (5)相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式是：P(A·B)＝P(A)

16、·P(B)； (6)獨立事件重復試驗的概率計算公式是：Pn(k)＝CPk(1－P)n－k； (7)若X～N(μ，σ2)，則滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是：①P(μ－σ

17、解析]　三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000,502)，得三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為P＝，超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率P1＝1－(1－P)2＝. 那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為P2＝P1×P＝. [答案]　 9．離散型隨機變量的均值、方差 (1)離散型隨機變量的均值、方差： 均值：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn； 方差：D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn. (2)兩點分布與二項分布的均值、方差． ①若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D

18、(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [應用12]　由于我市去年冬天多次出現(xiàn)重度污染天氣，市政府決定從今年3月份開始進行汽車尾氣的整治，為降低汽車尾氣的排放量，我市某廠生產(chǎn)了甲、乙兩種不同型號的節(jié)排器，分別從兩種節(jié)排器中隨機抽取100件進行性能質量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖27所示． 圖27 節(jié)排器等級如表格所示 綜合得分K的范圍 節(jié)排器等級 k≥85 一級品 75≤k<85 二級品 70≤k<75 三級品 若把頻率分布直方圖中的頻率視為概率，則 (1)如果從甲型號中按節(jié)排器等級用分層抽樣的方

19、法抽取10件，然后從這10件中隨機抽取3件，求至少有2件一級品的概率； (2)如果從乙型號的節(jié)排器中隨機抽取3件，求其二級品數(shù)X的分布列及數(shù)學期望． [解]　(1)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號的節(jié)排器中一級品的概率為，二級品的概率為，則用分層抽樣的方法抽取10件，其中有6件一級品，4件二級品，所以從這10件節(jié)排器中隨機抽取3件，至少有2件一級品的概率 P＝1－＝. (2)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號的節(jié)排器中一級品的概率為，二級品的概率為，三級品的概率為. 如果從乙型號的節(jié)排器中隨機抽取3件，則二級品數(shù)X可能的值為0,1,2,3 . 又P(X＝0)＝C×＝，

20、 P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C×＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ■查缺補漏…………………………………………………………………………· 1．高三學生體檢，某班級隨機抽取5名女學生的身高x(厘米)和體重y(公斤)的數(shù)據(jù)如下表： x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根據(jù)上表可得回歸直線方程為＝0.92x＋，則＝(　　) 【導學號：07804195】 A．－96.8 B．96.8 C．－10

21、4.4 D．104.4 A　[回歸直線方程過點(，)，而＝165，＝55，所以a＝55－0.92×165＝－96.8，選A.] 2．(x2－x－2)6的展開式中x2的系數(shù)等于(　　) A．－48 B．48 C．234 D．432 B　[(x2－x－2)6＝(2－x)6(1＋x)6＝(C26－C25x＋C24x2－…)(C＋Cx＋Cx2＋…)所以展開式中x2的系數(shù)為C26C－C25C＋C24C＝48.選B.] 3．如圖28是某居民小區(qū)年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列， 則年齡在[

22、35,40)的頻率是(　　) 圖28 A．0.04 B．0.06 C．0.2 D．0.3 C　[[30,35)，[35,40)，[40,45]的概率和為1－(0.01＋0.07)×5＝0.6，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的概率依次成等差數(shù)列，所以[35,40)的頻率為＝0.2.選C.] 4．某電視臺的一個綜藝欄目對六個不同的節(jié)目排演出順序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，則不同的排法共有(　　) A．192種 B．216種 C．240種 D．288種 B　[完成這件事件，可分兩類：第一類，最前排甲，其余位置有A＝120種不同的排法；第二類

23、，最前排乙，最后有4種排法，其余位置有A＝24種不同的排法；所以共有A＋4A＝216種不同的排法．] 5．設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是(　　) A. B． C. D． D　[如圖所示，正方形OABC及其內部為區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而區(qū)域D中陰影部分內的點到坐標原點的距離大于2，易知該陰影部分的面積為4－π.因此滿足條件的概率是，故選D.] 6．若(1＋2x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a0＋a1＋a2＋…＋a7的值為(　　) A．－2 B．－3 C．253 D．126 C　[令x＝1

24、，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－3，a8＝2×(－2)7＝－256， ∴a0＋…＋a7＝－a8－3＝253.選C.] 7．已知某路段最高限速60 km/h，電子監(jiān)控測得連續(xù)6輛汽車的速度用莖葉圖表示如圖29(單位：km/h)．若從中任取2輛，則恰好有1輛汽車超速的概率為(　　) 圖29 A. B． C. D． C　[由莖葉圖可知，這6輛汽車中有2輛汽車超速，所以從中任取2輛，則恰好有1輛汽車超速的概率為P＝＝，故選C.] 8．如圖30，圖案共分9個區(qū)域，有6種不同顏色的涂料可供涂色，每個區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域

25、的顏色不相同，則涂色方法有(　　) 【導學號：07804196】 圖30 A．360種 B．720種 C．780種 D．840種 B　[由圖可知，區(qū)域2,3,5,4不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各區(qū)域的顏色均不相同，所以涂色方法有A×2＝720種，故選B.] 9．已知某人投籃的命中率為，則此人投籃4次，至少命中3次的概率是________． 　[該人投籃4次，命中3次的概率為P1＝C＝；該人投籃4次，命中4次的概率為P2＝C＝，故至少命中3次的概率是P＝＋＝.] 10．已知某單位有40名職工，現(xiàn)要從中抽取5名職工，將全體職工隨

26、機按1～40編號，并按編號順序平均分成5組．按系統(tǒng)抽樣方法在各組內抽取一個號碼． 圖31 (1)若第1組抽出的號碼為2，則所有被抽出職工的號碼為________； (2)分別統(tǒng)計這5名職工的體重(單位：kg)，獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖31所示，則該樣本的方差為________． (1)2,10,18,26,34　(2)62　[(1)分段間隔為＝8，則所有被抽出職工的號碼為2,10,18,26,34. (2)＝(59＋62＋70＋73＋81)＝69. s2＝[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.] 11．某工廠為了對

27、新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如下表所示： 試銷價格x(元) 4 5 6 7 a 9 產(chǎn)品銷量y(件) b 84 83 80 75 68 已知變量x，y具有線性負相關關系，且i＝39，i＝480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得其回歸直線方程分別為：甲：＝4x＋54；乙：＝－4x＋106；丙：＝－4.2x＋105，其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的． (1)試判斷誰的計算結果正確？并求出a，b的值； (2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過1，則該檢測數(shù)據(jù)

28、是“理想數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取2個，求這兩個檢測數(shù)據(jù)均為“理想數(shù)據(jù)”的概率． [解]　(1)∵變量x，y具有線性負相關關系，∴甲是錯誤的． 又∵xi＝39，yi＝480，∴＝6.5，＝80，滿足方程 ＝－4x＋106，故乙是正確的． 由xi＝39，yi＝480，得a＝8，b＝90. (2)由計算可得“理想數(shù)據(jù)”有3個，即(4,90)，(6,83)，(8,75)．從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取2個，共有15種不同的情形，其中這兩個檢測數(shù)據(jù)均為“理想數(shù)據(jù)”有3種情形．故所求概率為P＝＝. 12．某技術公司新開發(fā)了A，B兩種新產(chǎn)品，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82

29、為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩種產(chǎn)品各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下： 測試指標 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100] 元件A 8 12 40 32 8 元件B 7 18 40 29 6 (1)試分別估計產(chǎn)品A，產(chǎn)品B為正品的概率； (2)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A，若是正品可盈利80元，次品則虧損10元；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B，若是正品可盈利100元，次品則虧損20元，在(1)的前提下，記X為生產(chǎn)1件產(chǎn)品A和1件產(chǎn)品B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． [解]　(1)產(chǎn)品A為正品的概率為＝. 產(chǎn)品B為正品的概率約為＝. (2)隨機變量X的所有取值為180,90,60，－30， P(X＝180)＝×＝； P(X＝90)＝×＝； P(X＝60)＝×＝； P(X＝－30)＝×＝. 所以，隨機變量X的分布列為： X 180 90 60 －30 P E(X)＝180×＋90×＋60×＋(－30)×＝132. 14