高考數(shù)學(xué) 熱點難點突破技巧 第05講 函數(shù)的零點問題處理方法

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1、 第05講：函數(shù)的零點問題處理方法 【知識要點】 一、方程的根與函數(shù)的零點 （1）定義：對于函數(shù)（，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)（的零點.函數(shù)的零點不是一個點的坐標(biāo)，而是一個數(shù)，類似的數(shù)學(xué)概念有截距和極值點等. （2）函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖像與軸的交點的橫坐標(biāo)，即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有交點函數(shù)有零點. （3）零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在使得，這個也就是方程的根. 函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點的一個充分不必要條件. 零點

2、存在性定理只能判斷是否存在零點，但是零點的個數(shù)則不能通過零點存在性定理確定，一般通過數(shù)形結(jié)合解決. 二、二分法 （1）二分法及步驟 對于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到函數(shù)零點近似值的方法叫做二分法. （2）給定精確度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下： 第一步：確定區(qū)間，驗證，給定精確度. 第二步：求區(qū)間的中點. 第三步：計算：①若=0，則就是函數(shù)的零點；②若，則令 （此時零點）③若，則令（此時零點） 第四步：判斷是否達(dá)到精確度即若，則得到零點值或，否則重復(fù)第二至第四步. 三、一元二次方程的

3、根的分布 討論一元二次方程的根的分布一般從以下個方面考慮列不等式組： （1）的符號； （2）對稱軸的位置； （3）判別式的符號； （4）根分布的區(qū)間端點的函數(shù)值的符號. 四、精確度為0.1指的是零點所在區(qū)間的長度小于0.1，其中的任意一個值都可以??；精確到0.1指的是零點保留小數(shù)點后一位數(shù)字，要看小數(shù)點后兩位，四舍五入. 五、方法總結(jié) 1、函數(shù)零點問題的處理常用的方法有：(1) 方程法；（2）圖像法；（3）方程+圖像法. 2、高考考查單調(diào)函數(shù)的零點時，一般要找到兩個變量，并且要證明.這是一個難點，一般利用放縮法證明. 【方法講評】 方法一 方程法 使用情景 方程可以

4、直接解出來. 解題步驟 先解方程，再求解. 【例1 】已知函數(shù)區(qū)間內(nèi)有零點，求實數(shù)的取值范圍. 【點評】（1）本題如果用其它方法比較復(fù)雜，用這種方法就比較簡潔.關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)方程能直接解出來.（2）對于含有參數(shù)的一元二次函數(shù)要比較敏感，看到它就要想到因式分解，如果不好因式分解，再考慮其它方法. 【反饋檢測1】函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（ ） A．4 B．5 C．6 D． 7 方法二 圖像法 使用情景 函數(shù)是一些簡單的初等函數(shù)（反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

5、、三角函數(shù)等）或單調(diào)性容易求出，比較容易畫出函數(shù)的圖像. 解題步驟 先求函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖像分析. 【例2】（2016年北京高考文科）設(shè)函數(shù) （1）求曲線在點處的切線方程； （2）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍； （3）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件. （2）當(dāng)時，，所以． 令，得，解得或． 與在區(qū)間上的情況如下： 所以，當(dāng)且時，存在，， ，使得． 由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有三個不同零點． （3）當(dāng)時，，， 此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

6、，所以不可能有三個不同零點． 當(dāng)時，只有一個零點，記作． 當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增． 所以不可能有三個不同零點． 【點評】（1）本題的第2問是用數(shù)形結(jié)合解答的，畫圖分析得只有滿足極大值大于零且極小值小于零，則函數(shù)圖像與軸會有三個不同的交點，函數(shù)有三個不同零點.(2)本題的第3問， ，是一個二次函數(shù)，但是由于該二次函數(shù)與軸的交點的個數(shù)不確定，所以要就判別式分類討論，分類討論時結(jié)合數(shù)形結(jié)合比較直觀地看到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到零點的個數(shù). 【例3】（2017全國高考新課標(biāo)I理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個零點，求a的取值范

7、圍. (2) ①若由（1）知至多有一個零點. ②若，由（1）知當(dāng)時，取得最小值，. （i）當(dāng)時，=0，故只有一個零點. （ii）當(dāng)時，由于>0，即，故沒有零點. （iii）當(dāng)時，，即. 故在只有一個零點. 【點評】（1）本題第2問根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，用的就是圖像法. 由于第1問已經(jīng)求出了函數(shù)的單調(diào)性，所以第2問可以直接利用第1問的單調(diào)性作圖分析. (2) 當(dāng)時，要先判斷的零點的個數(shù)，此時考查了函數(shù)的零點定理，，還必須在該區(qū)間找一個函數(shù)值為正的值，它就是要說明，這里利用了放縮法，丟掉了.(3) 當(dāng)時，要判斷上的零點個數(shù)，也是在考查函數(shù)的零點定理，還要在該區(qū)間

8、找一個函數(shù)值為正的值，它就是，再放縮證明>0. （4）由此題可以看出零點定理在高考中的重要性. 【反饋檢測2】已知函數(shù)，其中為實數(shù)，常數(shù). (1) 若是函數(shù)的一個極值點，求的值；(2) 當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (3) 當(dāng)取正實數(shù)時，若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個實數(shù)根，求的取值范圍. 方法三 方程圖像法 使用情景 函數(shù)比較復(fù)雜，不方便解方程，也不容易求函數(shù)的單調(diào)性. 解題步驟 先令,重新構(gòu)造方程,再畫函數(shù)的圖像分析解答. 【例4】【2017江蘇，14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上, 其 中集合，則方程的解的個數(shù)是 . 因此，則，此時左邊為

9、整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此， 因此不可能與每個周期內(nèi)對應(yīng)的部分相等， 只需考慮與每個周期的部分的交點， 畫出函數(shù)圖象，圖中交點除外其他交點橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個周期的部分， 且處，則在附近僅有一個交點， 因此方程的解的個數(shù)為8． 【點評】直接求方程的解的個數(shù)比較困難，所以轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù). 所以要先化出函數(shù)和函數(shù)的圖像，再分析它們的交點個數(shù)，即得到方程的解的個數(shù). 【例5】函數(shù)． （1）當(dāng)時，若函數(shù)與的圖象有且只有3個不同的交點，求實數(shù)的值的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性． 【解析】（1）當(dāng)時，由題得， 兩式相減得，故． 令，， 故當(dāng)時，；當(dāng)時， ；

10、 當(dāng)時，；，．故． 【點評】（1）由于函數(shù)與函數(shù)的圖像不好畫，即使能畫出來，也不方便研究兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，所以把交點轉(zhuǎn)化成方程組的解來解答，再轉(zhuǎn)化成方程的解來解答，再分離參數(shù)化成 的形式，利用數(shù)形結(jié)合分析解答. （2）對于一個函數(shù)如果不方便解方程，也不方便畫圖，則可以嘗試?yán)弥匦聵?gòu)造方程，再分別畫出函數(shù)和函數(shù)的圖像分析解答. 【例6】函數(shù)的零點個數(shù)是 個. 當(dāng)時， 所以函數(shù)在上只有一個零點. 綜上所述，函數(shù)零點個數(shù)為2. 【點評】（1）函數(shù)是一個分段函數(shù)，求出每一段的函數(shù)的零點個數(shù)再相加即可. （2）上面一段宜選用解方程的方法求零

11、點，因為它可以整理成一個關(guān)于的一元二次方程. 下面的一段宜選用圖像法求零點.因為它的單調(diào)性比較容易求得. (3)要想靈活選擇，主要取決于熟練生巧. 【反饋檢測3】設(shè)函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)與圖象的交點個數(shù)． 高考數(shù)學(xué)熱點難點突破技巧第05講： 函數(shù)的零點問題處理方法參考答案 【反饋檢測1答案】 【反饋檢測2答案】（1）；（2）的單調(diào)增區(qū)間是，； 的單調(diào)減區(qū)間是，，；（3）的取值范圍是. 【反饋檢測2詳細(xì)解析】(1) 因為是函數(shù)的一個極值點，所以，即. 而當(dāng)時，， 可驗證：是函數(shù)的一個極值點

12、.因此. (2) 當(dāng)時， 令得，解得，而. 所以當(dāng)變化時，、的變化是 極小值 極大值 因此的單調(diào)增區(qū)間是，； 的單調(diào)減區(qū)間是，，； (3) 當(dāng)取正實數(shù)時，，令得， 當(dāng)時，解得.在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，但是函數(shù)值恒大于零，極大值，極小值，并且根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的變化速度可知當(dāng)時，，當(dāng)時，.因此當(dāng)時，關(guān)于的方程一定總有三個實數(shù)根，結(jié)論成立； 當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，無論取何值，方程最多有一個實數(shù)根，結(jié)論不成立.因此所求的取值范圍是. 【反饋檢測3答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是, 單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）． 【反饋檢測3詳細(xì)解析】（1）函數(shù)的定義域為． （2）令,問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù)，,當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)， 注意到，所以有唯一零點； 當(dāng)時，或時，時，， 所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 注意到，所以有唯一零點． 綜上，函數(shù)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點． 12