2018版高考數(shù)學二輪復習 第1部分 重點強化專題 限時集訓20 坐標系與參數(shù)方程 不等式選講 文

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1、 專題限時集訓(二十)坐標系與參數(shù)方程　不等式選講 [建議用時：45分鐘] [A組　高考題體驗練] 1．(2017·全國卷Ⅰ)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. [解] (1)曲線C的普通方程為＋y2＝1． 1分 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0． 2分 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，． 4分 (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cos θ，sin θ

2、)到l的距離為d＝. 5分 當a≥－4時，d的最大值為. 由題設得＝，所以a＝8; 7分 當a＜－4時，d的最大值為. 由題設得＝， 所以a＝－16. 9分 綜上，a＝8或a＝－16． 10分 (2017·全國卷Ⅰ)選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)當a＝1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范圍． [解] (1)當a＝1時，不等式f(x)≥g(x)等價于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.?、?1分 當x

3、<－1時，①式化為x2－3x－4≤0，無解； 2分 當－1≤x≤1時，①式化為x2－x－2≤0，從而－1≤x≤1； 3分 當x>1時，①式化為x2＋x－4≤0， 從而1＜x≤． 4分 所以f(x)≥g(x)的解集為. 5分 (2)當x∈[－1,1]時，g(x)＝2， 6分 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等價于當x∈[－1,1]時，f(x)≥2.7分 又f(x)在[－1,1]的最小值必為f(－1)與f(1)之一， 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范圍為[－1,1]． 10分 2．(2017·全國卷Ⅱ)選修4-4：坐標系與參

4、數(shù)方程在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． [解] (1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，點M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝． 1分 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程ρ＝4cos θ(ρ＞0). 3分 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0). 5分 (

5、2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cos α， 6分 于是△OAB的面積S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 9分 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋． 10分 (2017·全國卷Ⅱ)選修4－5：不等式選講已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4， (2)a＋b≤2. [證明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b62分 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. 5分 (2

6、)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b) 7分 ≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，所以a＋b≤2． 10分 3．(2017·全國卷Ⅲ)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． [解] (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 1

7、分 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 2分 設P(x，y)，由題設得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 4分 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0). 5分 (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 6分 聯(lián)立得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 8分 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為． 10分 (2017·全國卷Ⅲ)選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求

8、不等式f(x)≥1的解集； (2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范圍． [解] (1)f(x)＝ 1分 當x＜－1時，f(x)≥1無解； 2分 當－1≤x≤2時，由f(x)≥1，得2x－1≥1， 解得1≤x≤2； 3分 當x＞2時，由f(x)≥1，解得x＞2． 4分 所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}. 5分 (2)由f(x)≥x2－x＋m得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x． 6分 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x| ＝－2＋≤， 9分 且當x＝時，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝. 故

9、m的取值范圍為． 10分 [B組　模擬題提速練] 1．(2017·南昌一模)選修4－4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)．以O為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數(shù)a的值. [解] (1)曲線C1的參數(shù)方程為 ∴其普通方程為x－y－a＋1＝0， 2分 由曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴

10、ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x2＋4x－x2－y2＝0， 即曲線C2的直角坐標方程為y2＝4x. 5分 (2)設A，B兩點所對應參數(shù)分別為t1，t2， 聯(lián)立得2t2－2t＋1－4a＝0， ∵兩曲線有兩個不同的交點， 則Δ＝(2)2－4×2(1－4a)＞0，即a＞0， 由根與系數(shù)的關系可知 根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|， 又由|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|， 即t1＝2t2或t1＝－2t2， 7分 ∴當t1＝2t2時，有 解得a＝＞0，符合題意； 8分 當t1＝－2t2時，有 解得a＝＞

11、0，符合題意. 9分 綜上所述，實數(shù)a的值為或． 10分 (2017·南昌一模)選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R. (1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求實數(shù)a的取值范圍； (2)當a＜2時，函數(shù)f(x)的最小值為3，求實數(shù)a的值． [解] (1)由題f(x)≤2－|x－1|，即為＋|x－1|≤1. 而由絕對值的幾何意義知＋|x－1|≥， 2分 ∵不等式f(x)≤2－|x－1|有解， ∴≤1，即0≤a≤4. ∴實數(shù)a的取值范圍是[0,4]. 5分 (2)函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零點為和1，當a＜2時

12、，＜1， ∴f(x)＝ 7分 由圖可知f(x)在上單調遞減，在上單調遞增， ∴f(x)min＝f＝－＋1＝3， 解得a＝－4＜2(符合題意)，即a＝－4． 10分 2．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程平面直角坐標系xOy中，曲線C：(x－1)2＋y2＝1.直線l經過點P(m,0)，且傾斜角為.以O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系． (1)寫出曲線C的極坐標方程與直線l的參數(shù)方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|·|PB|＝1，求實數(shù)m的值. [解] (1)曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ，即曲線

13、C的極坐標方程為ρ＝2cos θ． 2分 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 5分 (2)設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m． 8分 由題意得|m2－2m|＝1，得m＝1,1＋或1－． 10分 選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x＋6|－|m－x|(m∈R)． (1)當m＝3時，求不等式f(x)≥5的解集； (2)若不等式f(x)≤7對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍. 【導學號：04024171】 [解] (1)當m＝3時，f(x)≥5，即|x＋6|－|x－

14、3|≥5， ①當x＜－6時，得－9≥5，所以x∈?； ②當－6≤x≤3時，得x＋6＋x－3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3； ③當x＞3時，得9≥5，成立，所以x＞3． 4分 故不等式f(x)≥5的解集為{x|x≥1}. 5分 (2)因為|x＋6|－|m－x|≤|x＋6＋m－x|＝|m＋6|. 由題意得|m＋6|≤7，則－7≤m＋6≤7， 8分 解得－13≤m≤1， 故m的取值范圍是[－13,1]． 10分 3．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P點的極坐標為(2，π)，

15、曲線C的極坐標方程為ρcos2θ＝sin θ. (1)試將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并求曲線C的焦點坐標； (2)設直線l與曲線C相交于兩點A，B，點M為AB的中點，求|PM|的值． [解] (1)把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入ρcos2θ＝sin θ，可得曲線C的直角坐標方程為x2＝y(tǒng)，它是開口向上的拋物線，焦點坐標為. 5分 (2)點P的直角坐標為(－2,0)，它在直線l上，在直線l的參數(shù)方程中， 設點A，B，M對應的參數(shù)為t1，t2，t0. 由題意可知t0＝. 7分 把直線l的參數(shù)方程代入拋物線的直角坐標方程，得t2－5t＋8＝0． 8分 因為

16、Δ＝(5)2－4×8＝18＞0， 所以t1＋t2＝5，則|PM|＝|t0|＝． 10分 選修4－5：不等式選講 設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞0； (2)若f(x)＋3|x－4|≥m對一切實數(shù)x均成立，求m的取值范圍． [解] (1)當x≥4時，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5＞0，得x＞－5，所以x≥4成立． 2分 當－≤x＜4時，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立． 4分 當x＜－時，f(x)＝－x－5＞0，得x＜－5，所以x＜－5成立． 綜上，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜－5

17、}． 6分 (2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9． 8分 當－≤x≤4時等號成立，所以m≤9． 10分 4．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的方程為ρ＝. (1)求曲線C1，C2的直角坐標方程； (2)若A，B分別為曲線C1，C2上的任意點，求|AB|的最小值． [解] (1)C1：x－2y－3＝0，C2：＋y2＝1． 4分 (2)設B(2cos θ，sin θ)，則|AB|＝＝． 8分 當且僅當θ＝2kπ－(k∈Z)時，|AB|min＝＝． 10分 選修4－5：不等式選講 設函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|2x－1|. (1)求不等式f(x)≥2的解集； (2)若?x∈R，不等式f(x)≥a|x|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． [解] (1)不等式f(x)≥2等價于 或 或 3分 解得x≤0或x≥，因此不等式f(x)≥2的解集為. 5分 (2)當x＝0時，f(x)＝2，a|x|＝0，原式恒成立； 6分 當x≠0時，原式等價轉換為＋≥a恒成立，即a≤min． 8分 ∵＋≥＝1，當且僅當≤0，即≤x≤1時取等號， ∴a≤1． 10分 8