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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
一、填空題
1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,則x=______,y=________.
解析:若a∥b,則==,
∴x=,y=-.
答案: -
2.在下列命題中:
①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行;
②若三個(gè)向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面;
③已知空間的三個(gè)向量a,b,c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得p=x a+y b+z c.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是________.
解析:a與b共線,
2、a,b所在直線也可能重合,故①不正確;三個(gè)向量a,b,c中任兩個(gè)一定共面,但三個(gè)卻不一定共面,故②不正確;只有當(dāng)a,b,c不共面時(shí),空間任意一向量p才能表示為p=x a+y b+z c,故③不正確,綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0.
答案:0
3.若{a,b,c}為空間的一組基底,則下列各項(xiàng)中,能構(gòu)成基底的一組向量是________.
①a,a+b,a-b ②b,a+b,a-b
③c,a+b,a-b ④a+b,a-b,a+2b
解析:若c、a+b、a-b共面,
則c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,
則a、b、c為共面向量,此與{a,b,c}為空間向量的一
3、組基底矛盾,故c,a+b,a-b可構(gòu)成空間向量的一組基底.
答案:③
4.已知空間四邊形ABCD中,M、G分別為BC、CD的中點(diǎn),則+(+)等于________.
解析:如圖所示:
(+)=,+=.
答案:
5.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在上且=,N為B1B的中點(diǎn),則||為________.
解析:以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).
設(shè)M(x,y,z),
∵點(diǎn)M在上且=,
∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),
∴x=a,y=,z=.
得M(,,),
∴||
4、=
=a.
答案:a
6.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a與b的夾角的余弦值為,則λ等于________.
解析:由已知得==,
∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.
答案:-2或
7.已知A(-1,-2,6),B(1,2,-6),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則向量與的夾角是________.
解析:設(shè)與的夾角為θ,則cos θ=-1知θ=π.
答案:π
8.已知ABCD為平行四邊形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________.
解析:設(shè)D(x,y,z),由題設(shè)知,=(-2,-6,-2),
=(3-x,7-y,
5、-5-z),
又=,所以,所以,
故D(5,13,-3).
答案:(5,13,-3)
9.在空間四邊形ABCD中,·+·+·=________.
解析:設(shè)=b,=c,=d,
則=d-c,=d-b,=c-b.
原式=b·(d-c)+d·(c-b)-c(d-b)=0.
答案:0
二、解答題
10.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),O為原點(diǎn),點(diǎn)A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
(2)在直線AB上是否存在一點(diǎn)E,使得⊥b?
解析:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|==5
6、.
(2)假設(shè)存在一點(diǎn)E滿足題意,即=t(t≠0).
=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).
若⊥b,則·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在點(diǎn)E,使得⊥b,
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-,-,).
11.證明三個(gè)向量a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e3共面.
證明:若e1、e2、e3共面,顯然a、b、c共面;
若e1、e2、e3不共面,設(shè)c=λa+μb,
即-3e1+12e2+11e3=λ(-e1+3e2+2e3)+μ(4e1-6e2+2e
7、3),
整理得-3e1+12e2+11e3=(4μ-λ)e1+(3λ-6μ)e2+(2λ+2μ)e3,
由空間向量基本定理可知解得
即c=5a+b,則三個(gè)向量共面.
12.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),試求:
(1)△ABC的重心坐標(biāo);
(2)△ABC的面積;
(3)△ABC的AB邊上的高.
解析:(1)設(shè)重心坐標(biāo)為(x0,y0,z0),
則x0==2,y0==,
z0==,
∴重心坐標(biāo)為(2,,).
(2)=(1,1,1),=(2,1,3),||=,
||=,·=2+1+3=6,
∴cos A=cos 〈,〉==,
∴sin A= =.
∴S△ABC=||·||·sin A
=×××=.
(3)設(shè)AB邊上的高為CD,
則S△ABC=||·||,∴||==.
故△ABC的AB邊上的高是.