【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第7篇 第2講 空間圖形的基本關(guān)系與公理

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1、 第2講　空間圖形的基本關(guān)系與公理 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　)． A．相交或平行　 B．相交或異面 C．平行或異面　 D．相交、平行或異面 解析　依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D. 答案　D 2．在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是 (　　)． A．相交　 B．異面　 C．平行　 D．垂直 解析　如圖所示

2、，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交． 答案　A 3．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是 (　　)． ①P∈a，P∈α?aα；②a∩b＝P，bβ?aβ；③a∥b，aα，P∈b，P∈α?bα；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. A．①②　 B．②③　　 C．①④　 D．③④ 解析　當(dāng)a∩α＝P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，①錯(cuò)；a∩β＝P時(shí)，②錯(cuò)； 如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α， 又a∥b，由a與b確定

3、唯一平面β，但β經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P， ∴β與α重合， ∴bα，故③正確； 兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確． 答案　D 4．(20xx·陜西五校聯(lián)考)已知l，m，n是空間中的三條直線，命題p：若m⊥l，n⊥l，則m∥n；命題q：若直線l，m，n兩兩相交，則直線l，m，n共面，則下列命題為真命題的是 (　　)． A．p且q　 B．p或q C．p或(綈q)　 D．(綈p)且q 解析　命題p中，m，n可能平行、還可能相交或異面，所以命題p為假命題；命題q中，當(dāng)三條直線交于三個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，三條直線一定共面，當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，三條直線不一定共面，所以命題q也為假命題．所以綈p

4、和綈q都為真命題，故p或(綈q)為真命題．選C. 答案　C 5. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過(guò)頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為 (　　)． A．1　　　　　　　 B．2　　 C．3　　　　　　　 D．4 解析　有2條：A1B和A1C1. 答案　B 二、填空題 6．如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對(duì)． 解析　 如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂胁煌奈恢?，且正方體共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線＝24(對(duì))． 答案　

5、24 7. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)． 解析　A，M，C1三點(diǎn)共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線，①②錯(cuò)，④正確；M，B，B1三點(diǎn)共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，因此直線BN與MB1是異面直線，③

6、正確． 答案?、邰? 8．(20xx·江西卷)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)_______． 解析　取CD的中點(diǎn)為G，由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行，從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行或EF在平面內(nèi)．所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交．故直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4. 答案　4 三、解答題 9. 如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的

7、中點(diǎn)． (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ (1)證明　由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC， ∴四邊形BCHG為平行四邊形． (2)解　由BE綊AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綊FG， ∴四邊形BEFG為平行四邊形， ∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH， ∴EF與CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． 10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1，O，M共線． 證明　如圖所示，∵A1A∥C1

8、C， ∴A1A，C1C確定平面A1C. ∵A1C平面A1C，O∈A1C， ∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩線A1C， ∴O∈平面BDC1， ∴O在平面BDC1與平面A1C的交線上． ∵AC∩BD＝M， ∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C， ∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M， ∴O∈C1M，即C1，O，M三點(diǎn)共線． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·長(zhǎng)春一模)一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中 (　　)． A．AB∥CD　　 B．AB與CD相交 C．AB⊥CD　　 D．

9、AB與CD所成的角為60° 解析　如圖，把展開(kāi)圖中的各正方形按圖1所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖2所示的直觀圖，可見(jiàn)選項(xiàng)A，B，C不正確．∴正確選項(xiàng)為D.圖2中，BE∥CD，∠ABE為AB與CD所成的角， △ABE為等邊三角形，∴∠ABE＝60°. 答案　D 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1， CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線 (　　)． A．不存在　 B．有且只有兩條 C．有且只有三條　 D．有無(wú)數(shù)條 解析　法一　 圖1 在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定

10、一個(gè)平面(如圖1)，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)．如圖所示．故選D. 法二　在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α(如圖2)，因CD與平面α不平行， 圖2 所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交． 答案　D 二、填空題 3.(20xx·安徽卷)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方

11、體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號(hào))． ①當(dāng)0＜CQ＜時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)CQ＝時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)CQ＝時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R＝；④當(dāng)＜CQ＜1時(shí)， S為六邊形；⑤當(dāng)CQ＝1時(shí)，S的面積為. 解析　如圖1，當(dāng)CQ＝時(shí)，平面APQ與平面ADD1A1的交線AD1必平行于PQ，且D1Q＝AP＝， ∴S為等腰梯形，∴②正確； 同理，當(dāng)0＜CQ＜時(shí)，S為四邊形，∴①正確； 圖1 圖2 如圖2，當(dāng)CQ＝時(shí)，將正方體ABCD－A1B1C1D1補(bǔ)成底面不變，高為1.5的長(zhǎng)方體ABCD－A2B2C2D2.Q為CC2的中點(diǎn)，連接

12、AD2交A1D1于點(diǎn)E，易知PQ∥AD2，作ER∥AP，交C1D1于R，連接RQ，則五邊形APQRE為截面S.延長(zhǎng)RQ，交DC的延長(zhǎng)線于F，同時(shí)與AP的延長(zhǎng)線也 交于F，由P為BC的中點(diǎn)，PC∥AD，知CF＝DF＝1， 由題意知△RC1Q∽△FCQ，∴＝， ∴C1R＝，∴③正確；由圖2知當(dāng)＜CQ＜1時(shí)，S為五邊形，∴④錯(cuò)誤；當(dāng)CQ＝1時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C1重合，截面S為邊長(zhǎng)為的菱形，對(duì)角線AQ＝，另一條對(duì)角線為，∴S＝，⑤正確． 答案?、佗冖邰? 三、解答題 4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1C1與B1C所成角的大??； (2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，

13、求A1C1與EF所成角的大?。? 解　(1)如圖，連接AC，AB1， 由ABCD－A1B1C1D1是正方體， 知AA1C1C為平行四邊形， 所以AC∥A1C1，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由 △AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°. (2)如圖，連接BD，由(1)知AC∥A1C1. ∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角． ∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角為90°. ∴EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.