【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第10章學(xué)案4

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 曲線(xiàn)與方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 了解曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的對(duì)應(yīng)法則． 自主梳理 1．曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn) 如果曲線(xiàn)C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線(xiàn)C的方程．曲線(xiàn)C叫做方程f(x，y)＝0的曲線(xiàn)． 2．求曲線(xiàn)方程的一般方法(五步法) 求曲線(xiàn)(圖形)的方程，一般有下面幾個(gè)步驟： (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}； (3)

2、用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0為最簡(jiǎn)形式； (5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上． 3．求曲線(xiàn)方程的常用方法： (1)直接法；(2)定義法；(3)代入法；(4)參數(shù)法． 自我檢測(cè) 1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線(xiàn)2x2－y＝0上移動(dòng)，則點(diǎn)A(0，－1)與點(diǎn)P連線(xiàn)中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____________． 2．一動(dòng)圓與圓O：x2＋y2＝1外切，而與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是______________________________________________________________

3、____． 3．已知A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是______________________． 4．若M、N為兩個(gè)定點(diǎn)且MN＝6，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足·＝0，則P點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______． 5．(2011·江西改編)若曲線(xiàn)C1：x2＋y2－2x＝0與曲線(xiàn)C2：y(y－mx－m)＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________________． 探究點(diǎn)一　直接法求軌跡方程 例1　動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(a,0)，B(－a,0)連線(xiàn)的斜率的乘積為k，試求點(diǎn)P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線(xiàn)．

4、 變式遷移1　已知兩點(diǎn)M(－2,0)、N(2,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足||||＋·＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為_(kāi)_____________． 探究點(diǎn)二　定義法求軌跡方程 例2　已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且O1O2＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線(xiàn)． 變式遷移2　在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B，C，且滿(mǎn)足條件sin C－sin B＝sin A，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)______________________

5、_____________． 探究點(diǎn)三　相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程 例3　如圖所示，從雙曲線(xiàn)x2－y2＝1上一點(diǎn)Q引直線(xiàn)x＋y＝2的垂線(xiàn)，垂足為N. 求線(xiàn)段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程． 變式遷移3　已知長(zhǎng)為1＋的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn)，且＝.求點(diǎn)P的軌跡C的方程． 分類(lèi)討論思想 例　(14分) 過(guò)定點(diǎn)A(a，b)任作互相垂直的兩直線(xiàn)l1與l2，且l1與x軸交于點(diǎn)M，l2與y軸交于點(diǎn)N，如圖所示，求線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程． 多角度

6、審題　要求點(diǎn)P坐標(biāo)，必須先求M、N兩點(diǎn)，這樣就要求直線(xiàn)l1、l2，又l1、l2過(guò)定點(diǎn)且垂直，只要l1的斜率存在，設(shè)一參數(shù)k1即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再消去k1即得點(diǎn)P軌跡方程． 【答題模板】 解　(1)當(dāng)l1不平行于y軸時(shí)，設(shè)l1的斜率為k1，則k1≠0.因?yàn)閘1⊥l2， 所以l2的斜率為－， [2分] l1的方程為y－b＝k1(x－a)， ①[4分] l2的方程為y－b＝－(x－a)， ②[6分] 在①中令y＝0，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝a－， [8分] 在②中令x＝0，得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1＝b＋， [10分] 設(shè)MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則有 消去k1

7、，得2ax＋2by－a2－b2＝0 (x≠)． ③[12分] (2)當(dāng)l1平行于y軸時(shí)，MN中點(diǎn)為，其坐標(biāo)滿(mǎn)足方程③. 綜合(1)(2)知所求MN中點(diǎn)P的軌跡方程為2ax＋2by－a2－b2＝0. [14分] 【突破思維障礙】 引進(jìn)l1的斜率k1作參數(shù)，寫(xiě)出l1、l2的直線(xiàn)方程，求出M、N的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，本題還要注意直線(xiàn)l1的斜率是否存在． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 當(dāng)AM⊥x軸時(shí)，AM的斜率不存在，此時(shí)MN中點(diǎn)為，易錯(cuò)點(diǎn)是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點(diǎn). 1．求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)

8、系，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表達(dá)成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱(chēng)之為直接法．用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程一般有建系設(shè)點(diǎn)，列式，代換，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略．(2)定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線(xiàn)的定義)，可從曲線(xiàn)定義出發(fā)直接寫(xiě)出軌跡方程，或從曲線(xiàn)定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件不易表達(dá)或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x′，y′)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x′，y′表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱(chēng)相關(guān)點(diǎn)法．(4)參數(shù)法：求軌

9、跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 2．本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)容易忽略直線(xiàn)斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)考慮是否符合曲線(xiàn)的定義． (滿(mǎn)分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果M是線(xiàn)段F1P的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是_________________________________________________________________． 2．已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，且AB＝

10、3，CB－CA＝2，則點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_____________． 3．長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，＝2，則點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)___________． 4．(2011·淮安模擬)如圖，圓O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)為兩個(gè)定點(diǎn)．直線(xiàn)l是圓O的一條切線(xiàn)，若經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)以直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)，則拋物線(xiàn)焦點(diǎn)所在的軌跡是________． 5．P是橢圓＋＝1上的動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥y軸，D為垂足，則PD中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)___________． 6．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA＝2PB，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等

11、于______． 7．已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)CD＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)_____________． 8．平面上有三點(diǎn)A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)已知拋物線(xiàn)y2＝4px (p>0)，O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足OA⊥OB，如果OM⊥AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程． 10．(14分)(2009·寧夏、海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)

12、焦點(diǎn)的距離分別是7和1. (1)求橢圓C的方程； (2)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線(xiàn)上的一點(diǎn)，＝λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)． 11．(14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F1(0，－)和F2(0，)為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線(xiàn)C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且＝＋.求： (1)點(diǎn)M的軌跡方程； (2)||的最小值． 學(xué)案53　曲線(xiàn)與方程 答案 自我檢測(cè) 1．8x2－2y－1＝0　

13、2.雙曲線(xiàn)的右支　3.y2－＝1(y≤－1) 4．x2＋y2＝9 5．(－，0)∪(0，) 解析　C1：(x－1)2＋y2＝1， C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)． 當(dāng)m＝0時(shí)，C2：y＝0，此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)m≠0時(shí)，要滿(mǎn)足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線(xiàn)y＝m(x＋1)有兩交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線(xiàn)相切時(shí)，m＝±， 即直線(xiàn)處于兩切線(xiàn)之間時(shí)滿(mǎn)足題意， 則－

14、B的斜率存在，因此軌跡曲線(xiàn)應(yīng)除去A、B兩點(diǎn)； ③一般地，方程＋＝1所表示的曲線(xiàn)有以下幾種情況： 1°　A>B>0，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓； 2°　A＝B>0，表示圓； 3°　00>B，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)； 5°　A<0

15、，(*)式即－＝1， ①若k>0，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)(除去A、B兩點(diǎn))． ②若k<0，(*)式可化為＋＝1. 1°　當(dāng)－1

16、　解題導(dǎo)引　(1)由于動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)O1、O2的距離的差為常數(shù)，故應(yīng)考慮是否符合雙曲線(xiàn)的定義，是雙曲線(xiàn)的一支還是兩支，能否確定實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等，以便直接寫(xiě)出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標(biāo)轉(zhuǎn)化； (2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程時(shí)需注意：“軌跡”和“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念，前者要指出曲線(xiàn)的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)． 解　 如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系． 由O1O2＝4， 得O1(－2,0)、O2(2,0)． 設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則 由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有MO1＝r－1； 由動(dòng)圓M與圓O2外切，有MO2

17、＝r＋2. ∴MO2－MO1＝3<4. ∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線(xiàn)的左支． ∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝. ∴點(diǎn)M的軌跡方程為－＝1 (x<0)． 變式遷移2?。? (x>) 解析　∵sin C－sin B＝sin A，由正弦定理得到 AB－AC＝BC＝a(定值)． ∴A點(diǎn)軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)右支，其中實(shí)半軸長(zhǎng)為，焦距為BC＝a. ∴虛半軸長(zhǎng)為 ＝a，由雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程得為－＝1(x>)． 例3　解題導(dǎo)引　相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法．其題目特征是：點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)相關(guān)，且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律(有方程)，

18、只需將A的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到B的坐標(biāo)中，整理即可得點(diǎn)A的軌跡方程． 解　設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1，y1)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2x－x1,2y－y1)． ∵N在直線(xiàn)x＋y＝2上， ∴2x－x1＋2y－y1＝2. ① 又∵PQ垂直于直線(xiàn)x＋y＝2， ∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0. ② 聯(lián)立①②解得 ③ 又點(diǎn)Q在雙曲線(xiàn)x2－y2＝1上， ∴x－y＝1.④ ③代入④，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0. 變式遷移3　解　設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)， ＝， 又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)， 所以x－x

19、0＝－x，y＝(y0－y) 得x0＝x，y0＝(1＋)y. 因?yàn)锳B＝1＋，即x＋y＝(1＋)2， 所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2， 化簡(jiǎn)得＋y2＝1. ∴點(diǎn)P的軌跡方程為＋y2＝1. 課后練習(xí)區(qū) 1．以F1、O為焦點(diǎn)的橢圓 2．雙曲線(xiàn)的一支 解析　A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，CB－CA＝2

20、A、B在拋物線(xiàn)上， 所以由拋物線(xiàn)的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離AM、BN(如圖所示)， 于是AF＋BF＝AM＋BN. 過(guò)O作OR⊥l，由于l是圓O的一條切線(xiàn)，所以四邊形AMNB是直角梯形，OR是中位線(xiàn)， 故有AF＋BF＝AM＋BN ＝2OR＝8>4＝AB. 根據(jù)橢圓的定義知，焦點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)橢圓． 5.＋＝1 解析　設(shè)PD中點(diǎn)為M(x，y)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x，y)，代入方程＋＝1， 即得＋＝1. 6．4π 解析　設(shè)P(x，y)，由題知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0， 配方得(x－2)2＋

21、y2＝4，可知圓的面積為4π. 7．(x－10)2＋y2＝36 (y≠0) 解析　方法一　直接法． 設(shè)A(x，y)，y≠0，則D， ∴CD＝ ＝3. 化簡(jiǎn)得(x－10)2＋y2＝36， ∵A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形， ∴A不能落在x軸上，即y≠0. 方法二　 定義法．如圖所示， 設(shè)A(x，y)，D為AB的中點(diǎn)，過(guò)A作AE∥CD交x軸于E， 則E(10,0)． ∵CD＝3，∴AE＝6， ∴A到E的距離為常數(shù)6. ∴A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓， 即(x－10)2＋y2＝36. 又A、B、C不共線(xiàn)，故A點(diǎn)縱坐標(biāo)y≠0. 故A點(diǎn)軌跡方程為(x－10)2＋y2

22、＝36 (y≠0)． 8．y2＝8x 9．解　設(shè)M(x，y)，直線(xiàn)AB斜率存在時(shí)， 設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx＋b. 由OM⊥AB得k＝－. 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 由y2＝4px及y＝kx＋b消去y， 得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝. 消去x，得ky2－4py＋4pb＝0， 所以y1y2＝. (6分) 由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2， 所以＝－，b＝－4kp. 故y＝kx＋b＝k(x－4p)． (10分) 用k＝－代入， 得x2＋y2－4px＝0 (x≠0)． (12分) AB斜率不存在時(shí)

23、，經(jīng)驗(yàn)證也符合上式． 故M的軌跡方程為 x2＋y2－4px＝0 (x≠0)． (14分) 10．解　(1)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a、c，由已知得解得又∵b2＝a2－c2，∴b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (4分) (2)設(shè)M(x，y)，其中x∈[－4,4]， 由已知＝λ2及點(diǎn)P在橢圓C上可得＝λ2， 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112， 其中x∈[－4,4]． (5分) ①當(dāng)λ＝時(shí)，化簡(jiǎn)得9y2＝112， 所以點(diǎn)M的軌跡方程為y＝±(－4≤x≤4)． 軌跡是兩條平行于x軸的線(xiàn)段．(7分) ②當(dāng)λ≠時(shí)，方程變形為＋＝1， 其中x∈[－

24、4,4]． 當(dāng)0<λ<時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足－4≤x≤4的部分． 當(dāng)<λ<1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿(mǎn)足－4≤x≤4的部分； 當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓． (14分) 11．解　(1)橢圓的方程可寫(xiě)為＋＝1，其中a>b>0， 由得，所以曲線(xiàn)C的方程為x2＋＝1(01，y>2)． (10分) (2)||2＝x2＋y2，y2＝＝4＋， 所以||2＝x2－1＋＋5≥4＋5＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x2－1＝，即x＝時(shí)，上式取等號(hào)． 故||的最小值為3. (14分) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品