【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第6章學(xué)案28
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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 學(xué)案28 等差數(shù)列及其前n項和 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 自主梳理 1.等差數(shù)列的有關(guān)定義 (1)一般地,如果一個數(shù)列從第____項起,每一項與它的前一項的____等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號表示為____________ (n∈N*,d為常數(shù)). (2)數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是____________,其中A叫做a,b的_____
2、_______. 2.等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項公式:an=____________,an=am+__________ (m,n∈N*). (2)前n項和公式:Sn=______________=________________. 3.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn=n2+n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是其前n項和公式Sn=____________. 4.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)若m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),則有________________,特別地,當(dāng)m+n=2p時,________________. (2)等差數(shù)列中,Sm,S2m-Sm
3、,S3m-S2m成等差數(shù)列. (3)等差數(shù)列的單調(diào)性:若公差d>0,則數(shù)列為________;若d<0,則數(shù)列為__________;若d=0,則數(shù)列為____________. 自我檢測 1.(2010·北京海淀模擬)已知等差數(shù)列{an}中,a5+a9-a7=10,記Sn=a1+a2+…+an,則S13的值為________. 2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3=6,a3=4,則公差d=________. 3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S9=72,則a2+a4+a9=________. 4.(2010·湖南師大附中)若等差數(shù)列{an}的前5項之和S5=25,
4、且a2=3,則a7=________. 5.(2010·泰安一模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若=,則=________. 探究點一 等差數(shù)列的基本量運算 例1 等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn.已知a10=30,a20=50, (1)求通項an; (2)若Sn=242,求n. 變式遷移1 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d (d≠0),它的前10項和S10=110,且a1,a2,a4成等比數(shù)列,求公差d和通項公式an. 探究點二 等差數(shù)列的判定 例2 已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2- (n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn
5、= (n∈N*). (1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}中的最大值和最小值,并說明理由. 變式遷移2 已知數(shù)列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*). (1)求a2,a3的值. (2)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{}為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由. 探究點三 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3 若一個等差數(shù)列的前5項之和為34,最后5項之和為146,且所有項的和為360,求這個數(shù)列的項數(shù). 變式遷移3 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列. (1)前四項和為21,末四項和為67,且
6、前n項和為286,求n; (2)若Sn=20,S2n=38,求S3n; (3)若項數(shù)為奇數(shù),且奇數(shù)項和為44,偶數(shù)項和為33,求數(shù)列的中間項和項數(shù). 探究點四 等差數(shù)列的綜合應(yīng)用 例4 已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2 (n∈N*),它的前n項和為Sn,且a3=10,S6=72.若bn=an-30,求數(shù)列{bn}的前n項和的最小值. 變式遷移4 在等差數(shù)列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n項和為Sn. (1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值時n的值. (2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
7、 1.等差數(shù)列的判斷方法有: (1)定義法:an+1-an=d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (2)中項公式:2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (3)通項公式:an=pn+q (p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. 2.對于等差數(shù)列有關(guān)計算問題主要圍繞著通項公式和前n項和公式,在兩個公式中共五個量a1、d、n、an、Sn,已知其中三個量可求出剩余的量,而a與d是最基本的,它可以確定等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式. 3.要注意等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的靈
8、活應(yīng)用,如an=am+(n-m)d,S2n-1=(2n-1)an等. 4.在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時,可設(shè)三個數(shù)為①a,a+d,a+2d;②a-d,a,a+d;③a-d,a+d,a+3d等可視具體情況而定. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.已知{an}為等差數(shù)列,a3+a8=22,a6=7,則a5=______. 2.(2010·全國Ⅱ改編)如果等差數(shù)列中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=________. 3.(2010·濰坊五校聯(lián)合高三期中)已知{an}是等差數(shù)列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n項和Sn最小的n是_______
9、_. 4.在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為________. 5.等差數(shù)列{an}的前n項和滿足S20=S40,下列結(jié)論中正確的序號是________. ①S30是Sn中的最大值; ②S30是Sn中的最小值; ③S30=0; ④S60=0. 6.(2010·遼寧)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若S3=3,S6=24,則a9=________. 7.(2009·海南、寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,則m=________. 8.在數(shù)列{an}中,若點(n,an)
10、在經(jīng)過點(5,3)的定直線l上,則數(shù)列{an}的前9項和S9=________. 二、解答題(共42分) 9.(12分)設(shè){an}是一個公差為d (d≠0)的等差數(shù)列,它的前10項和S10=110,且a=a1a4. (1)證明:a1=d; (2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項公式. 10.(14分)(2010·山東)已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn. (1)求an及Sn; (2)令bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 11.(16分)(2010·廣東湛師附中第六次月考)在數(shù)列{an}
11、中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). (1)證明數(shù)列{}是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項; (3)若λan+≥λ對任意n≥2的整數(shù)恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍. 答案 自主梳理 1.(1)二 差 an+1-an=d (2)A= 等差中項 2.(1)a1+(n-1)d (n-m)d (2)na1+d 3.An2+Bn 4.(1)am+an=ap+aq am+an=2ap (3)遞增數(shù)列 遞減數(shù)列 常數(shù)列 自我檢測 1.130 2.2 解析 ∵S3==6,a3=4, ∴a1=0,a3-a1=2d.∴d=2. 3.24 解析
12、 ∵S9=72=, ∴a1+a9=16.∵a1+a9=2a5,∴a5=8. ∴a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24. 4.13 解析 由S5=?25=?a4=7,所以7=3+2d?d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13. 5.1 解析?。剑健ぃ健ぃ?. 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 (1)等差數(shù)列{an}中,a1和d是兩個基本量,用它們可以表示數(shù)列中的任何一項,利用等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式,列方程組解a1和d,是解決等差數(shù)列問題的常用方法;(2)由a1,d,n,an,Sn這五個量中的三個量可求出其余兩個量,需選用恰當(dāng)?shù)墓?,利用方程組觀點求解. 解
13、(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程組 解得 所以an=2n+10. (2)由Sn=na1+d,Sn=242. 得12n+×2=242.解得n=11或n=-22(舍去). 變式遷移1 解 由題意,知 即 ∵d≠0,∴a1=d.解得a1=d=2,∴an=2n. 例2 解題導(dǎo)引 1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法: 第一種是利用定義,即an-an-1=d(常數(shù))(n≥2),第二種是利用等差中項,即2an=an+1+an-1 (n≥2). 2.解選擇、填空題時,亦可用通項或前n項和直接判斷. (1)通項法:若數(shù)列{an}的通項公式為n的一次函數(shù)
14、,即an=An+B,則{an}是等差數(shù)列. (2)前n項和法:若數(shù)列{an}的前n項和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常數(shù)),則{an}為等差數(shù)列. 3.若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需說明任意連續(xù)三項不是等差數(shù)列即可. 解 (1)∵an=2- (n≥2,n∈N*),bn=,∴當(dāng)n≥2時,bn-bn-1=-=-=-=1.又b1==-. ∴數(shù)列{bn}是以-為首項,以1為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知,bn=n-,則an=1+ =1+,設(shè)函數(shù)f(x)=1+, 易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù). ∴當(dāng)n=3時,an取得最小值-1; 當(dāng)n=4時,an取得最大值3. 變
15、式遷移2 解 (1)∵a1=5,∴a2=2a1+22-1=13, a3=2a2+23-1=33. (2)假設(shè)存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{}為等差數(shù)列. 設(shè)bn=,由{bn}為等差數(shù)列,則有2b2=b1+b3. ∴2×=+.∴=+, 解得λ=-1.此時,b1=2. 事實上,bn+1-bn=- =[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1. 綜上可知,存在實數(shù)λ=-1,使得數(shù)列{}為首項為2、公差為1的等差數(shù)列. 例3 解題導(dǎo)引 本題可運用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì):若m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq,從中我們可以體會運用性質(zhì)解決問
16、題的方便與簡捷,應(yīng)注意運用;也可用整體思想(把a1+d看作整體). 解 方法一 設(shè)此等差數(shù)列為{an}共n項, 依題意有a1+a2+a3+a4+a5=34,① an+an-1+an-2+an-3+an-4=146.② 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì),得 a5+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an. 將①②兩式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)=5(a1+an)=180, ∴a1+an=36. 由Sn===360,得n=20. 所以該等差數(shù)列有20項. 方法二 設(shè)此等差數(shù)列共有n項,首項為a
17、1,公差為d, 則S5=5a1+d=34,① Sn-Sn-5=[+na1]-[(n-5)a1+d]=5a1+(5n-15)d=146.② ①②兩式相加可得10a1+5(n-1)d=180, ∴a1+d=18, 代入Sn=na1+d=n=360, 得18n=360,∴n=20.所以該數(shù)列的項數(shù)為20項. 變式遷移3 解 (1)依題意,知a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, ∴a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88. ∴a1+an==22.∵Sn==286,∴n=26. (2)∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n
18、成等差數(shù)列, ∴S3n=3(S2n-Sn)=54. (3)設(shè)項數(shù)為2n-1 (n∈N*),則奇數(shù)項有n項,偶數(shù)項有n-1項,中間項為an,則S奇==n·an=44, S偶==(n-1)·an=33,∴=. ∴n=4,an=11. ∴數(shù)列的中間項為11,項數(shù)為7. 例4 解題導(dǎo)引 若{an}是等差數(shù)列,求前n項和的最值時, (1)若a1>0,d<0,且滿足,前n項和Sn最大; (2)若a1<0,d>0,且滿足,前n項和Sn最??; (3)除上面方法外,還可將{an}的前n項和的最值問題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題,利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解,注意n∈N*. 解 方法一
19、∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差數(shù)列. 設(shè){an}的首項為a1,公差為d,由a3=10,S6=72, 得,∴. ∴an=4n-2.則bn=an-30=2n-31. 解得≤n≤. ∵n∈N*,∴n=15.∴{bn}前15項為負值. ∴S15最小. 可知b1=-29,d=2, ∴S15==-225. 方法二 同方法一求出bn=2n-31. ∵Sn==n2-30n=(n-15)2-225, ∴當(dāng)n=15時,Sn有最小值,且最小值為-225. 變式遷移4 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d, ∵a16+a17+a18=3a17=-36, ∴a17
20、=-12,∴d==3, ∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60, 令,得20≤n≤21, ∴S20=S21=-630,∴n=20或21時,Sn最小且最小值為-630. (2)由(1)知前20項小于零,第21項等于0,以后各項均為正數(shù).當(dāng)n≤21時,Tn=-Sn=-n2+n. 當(dāng)n>21時,Tn=Sn-2S21=n2-n+1 260. 綜上,Tn=. 課后練習(xí)區(qū) 1.15 解析 在等差數(shù)列{an}中,a5+a6=a3+a8=22,∴a5=15. 2.28 解析 ∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,a4=4.∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)
21、+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 3.5 解析 由S3=S7得a4+a5+a6+a7=0, 即a5+a6=0,∴9d=-2a1=18,d=2. ∴Sn=-9n+n(n-1)×2=n2-10n. ∴當(dāng)n=-=5時,Sn最?。? 4.16 解析 a4+a6+a8+a10+a12=120.∴5a8=120.∴a8=24. ∴a9-a11=a1+8d-(a1+10d) =(a1+7d)=a8=16. 5.④ 解析 方法一 由S20=S40,得a1=-d, ∴S60=60a1+d=60×+d=0. 方法二 由S20=S40,得a21+a22+…+a40=0,
22、 ∴a30+a31=0.∴S60==30(a30+a31)=0. 6.15 解析 設(shè)等差數(shù)列公差為d,則S3=3a1+d=3a1+3d=3,即a1+d=1,① S6=6a1+d=6a1+15d=24, 即2a1+5d=8.② 聯(lián)立①②兩式得a1=-1,d=2, 故a9=a1+8d=-1+8×2=15. 7.10 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知am-1+am+1=2am, ∴2am-a=0, ∴am=0或am=2.又S2m-1=(2m-1)am≠0, ∴am=2,由2(2m-1)=38,得m=10. 8.27 解析 ∵點(n,an)在定直線l上, ∴數(shù)列{an}為等差數(shù)
23、列.∴an=a1+(n-1)·d. 將(5,3)代入,得3=a1+4d=a5. ∴S9=(a1+a9)=9a5=3×9=27. 9.(1)證明 ∵{an}是等差數(shù)列,∴a2=a1+d,a4=a1+3d,又a=a1a4,于是(a1+d)2=a1(a1+3d),即a+2a1d+d2=a+3a1d (d≠0).化簡得a1=d.…………………………(6分) (2)解 由條件S10=110和S10=10a1+d,得到10a1+45d=110.由(1)知,a1=d,代入上式得55d=110, 故d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此,數(shù)列{an}的通項公式為an=2n,n∈N*.………
24、…………………………………(12分) 10.解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由于a3=7,a5+a7=26, 所以a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得a1=3,d=2.…………………………………………………………………………(4分) 由于an=a1+(n-1)d,Sn=, 所以an=2n+1,Sn=n(n+2).…………………………………………………………(7分) (2)因為an=2n+1,所以a-1=4n(n+1), 因此bn==.………………………………………………………(9分) 故Tn=b1+b2+…+bn = ==. 所以數(shù)列{bn}的
25、前n項和Tn=.…………………………………………………(14分) 11.(1)證明 將3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得-=3(n≥2). 所以數(shù)列{}為以1為首項,3為公差的等差數(shù)列.…………………………………(4分) (2)解 由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2, 所以an=.……………………………………………………………………………(8分) (3)解 若λan+≥λ對n≥2的整數(shù)恒成立, 即+3n+1≥λ對n≥2的整數(shù)恒成立. 整理得λ≤………………………………………………………………(10分) 令cn= cn+1-cn=- =.………………………………………………………………………(14分) 因為n≥2,所以cn+1-cn>0, 即數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列,所以c2最小,c2=. 所以λ的取值范圍為(-∞,].………………………………………………………(16分) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
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