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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆
第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切
一、填空題
1.已知tan=,則tan α=________.
解析 tan α=tan===-.
答案?。?
2.已知cos α=-,且α∈,則tan=________.
解析 由條件得sin α=,所以tan α=-,tan==.
答案
3.已知α,β∈,且tan α=4,cos(α+β)=-,則角β度數(shù)為________.
解析 由α,β∈,tan α=4,cos(α+β)=-,
得sin α=,cos α=,sin(α+β)= =,
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=c
2、os(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×=.
所以β=.
答案
4.若sin α=,α∈,則cos=________.
解析 因為α∈,sin α=,所以cos α=,
所以cos=-(cos α-sin α)=-.
答案?。?
5.已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,則sin=________.
解析 a·b=4sin+4cos α-
=2sin α+6cos α-=4sin-=0,所以sin=.所以sin=-sin=-.
答案 -
6.函數(shù)f(x)=sin 2xsin -cos 2xcos在上的單調(diào)遞增區(qū)間為________
3、.
解析 f(x)=cos,當(dāng)x∈時,2x-∈,于是由2x-∈[-π,0],
得f(x)在上的單調(diào)增區(qū)間為.
答案
7.已知tan α=,tan β=,且α,β∈(0,π),則α+2β=________.
解析 tan 2β===,所以tan(α+2β)===1.∵tan α=<1,α∈(0,π),∴α∈,同理β∈,∴α+2β∈,所以α+2β=.
答案
8.若sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,則cos(α-β)的值為________.
解析 由sin α-sin β=1-得:
sin2α-2sin αsin β+sin2β=1-+=-.①
由cos
4、 α-cos β=得:cos2 α-2cos αcos β+cos2β=.②
①+②得1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-,
即2cos(α-β)=,所以cos(α-β)=.
答案
9.在△ABC中,若sin A=,cos B=-,則sin C=________.
解析 在△ABC中,由cos B=-<0,知角B為鈍角,角A為銳角,
所以cos A=,sin B=.[來源:]
所以sin C=sin[π-(A+B)]
=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B
=×+×=.
答案
10.已知銳角α滿足cos 2α=co
5、s,則sin 2α等于________.
解析 由cos 2α=cos得
(cos α-sin α)(cos α+sin α)=(cos α+sin α)[來
由α為銳角知cos α+sin α≠0.[來源:]
∴cos α-sin α=,平方得1-sin 2α=.
∴sin 2α=.
答案 [來源:數(shù)理化網(wǎng)]
二、解答題
11.函數(shù)f(x)=cos+sin,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(α)=,α∈,求tan的值.
解 (1)f(x)=cos+sin
=sin+cos
=sin
∴f(x)的最小正周期T==4π.
(2)由f(α)=
6、,
得sin+cos=,
∴1+sin α=.∴sin α=.
又α∈.
∴cos α== =.[來源:]
∴tan α==.
∴tan=
==7.
12.已知向量a=(m,sin 2x),b=(cos 2x,n),x∈R,f(x)=a·b,若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(0,1)和.
(1)求m,n的值;
(2)求f(x)的最小正周期,并求f(x)在x∈上的最小值;
(3)若f=,α∈時,求tan的值.
解 (1)f(x)=mcos 2x+nsin 2x,因為f(0)=1,所以m=1.又f=1,所以n=1.故m=1,n=1.
(2)f(x)=cos 2x+sin 2x=
7、sin,
所以f(x)的最小正周期為π.
因為x∈,
所以2x+∈,所以當(dāng)x=0或x=時,f(x)取最小值1.
(3)因為f=,所以cos α+sin α=,
即sin=,又α∈,
故α+∈,所以cos=,
所以tan==.
13.(1)已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值;
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,求2α-β的值.
解 (1)∵0<β<<α<π,
∴-<-β<,<α-<π,
∴cos==,
sin==,
∴cos =cos
=coscos+sinsin
=×+×=,
∴cos(α+β
8、)=2cos2-1=2×-1=-.
(2)∵tan α=tan[(α-β)+β]=
==>0,∴0<α<,
又∵tan 2α===>0,∴0<2α<,
∴tan(2α-β)===1.
∵tan β=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,
∴2α-β=-.
14.在△ABC中,A、B、C為三個內(nèi)角,f(B)=4cos B·sin2+cos 2B-2cos B.
(1)若f(B)=2,求角B;
(2)若f(B)-m>2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解 (1)f(B)=4cos B×+cos 2B-2cos B
=2cos B(1+sin B)+cos 2B-2cos B
=2cos Bsin B+cos 2B
=sin 2B+cos 2B=2sin.
∵f(B)=2,∴2sin=2,
∵0<B<π,∴2B+=.∴B=.
(2)f(B)-m>2恒成立,即2sin>2+m恒成立.
∴2sin∈[-2,2],∴2+m<-2.∴m<-4.
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