【名校資料】高考數學理一輪資源庫第十章 第2講雙曲線

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1、◆+◆◆二〇一九高考數學學習資料◆+◆◆ 第2講 雙曲線 一、填空題 1．若雙曲線－＝1(a＞0)的離心率為2，則a＝________. 解析　∵b＝，∴c＝，∴＝＝2，∴a＝1. 答案　1 2．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為________． 解析　焦點(c,0)到漸近線y＝x的距離為＝b，則由題意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴離心率e＝＝. 答案　 3．已知雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于________． 解析 ∵右焦點為(3,0)，∴c＝3，又∵c2＝a2＋b2

2、＝a2＋5＝9，∴a2＝4，a＝2，∴e＝＝. 答案 4．已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________． 解析 設|PF1|＝m，|PF2|＝n， 則 解得mn＝2， ∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝8＋4＝12， ∴m＋n＝2，即|PF1|＋|PF2|＝2. 答案 2 5．設P為直線y＝x與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)左支的交點，F1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e＝________. 解析 ∵PF1⊥x軸，∴xP＝－c，代入－＝1， 得yp＝±，[

3、來源:] ∵P在y＝x上，∴yp＝－， ∴3b＝c， ∴9b2＝c2， ∴9(c2－a2)＝c2， ∴＝， ∴＝，∴e＝. 答案 6． 已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x， 它的一個焦點與拋物線y2＝16x的焦點相同，則雙曲線的方程為________． 解析 由已知得解之得∴雙曲線方程為－＝1. 答案 －＝1 7． 過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，若垂 足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為________． 解析 如圖所示，不妨設F為右焦點，過F作FP垂直 于一條漸近線，垂足

4、為P，過P作PM⊥OF于M.由已 知得M為OF的中點，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|， 又F(c,0)，漸近線方程為bx－ay＝0， ∴|PF|＝＝b， ∴b2＝·c，即2b2＝c2＝a2＋b2， ∴a2＝b2，∴e＝＝＝. 答案 8．設F1，F2是雙曲線x2－＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3PF1＝4PF2，則△PF1F2的面積是________． 解析　由可解得 又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形， 則S△PF1F2＝PF1×PF2＝24. 答案　24 9. 如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A、B為左、右焦點，且雙曲線過C、

5、D兩頂點．若AB＝4，BC＝3，則此雙曲線的標準方程為________． 解析　設雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．由題意得B(2,0)，C(2,3)， ∴解得 ∴雙曲線的標準方程為x2－＝1. 答案　x2－＝1 10．過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點分別為A、B.若∠AOB＝120°(O是坐標原點)，則雙曲線C的離心率為________． 解析　 如圖，由題知OA⊥AF， OB⊥BF且∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， 又OA＝a，OF＝c， ∴＝＝cos 60°＝，∴＝2. 答案　2 二、解答題

6、11．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點到漸近線的距離為. (1)求此雙曲線的方程； (2)設P為雙曲線上一點，A，B兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、第二象限，若＝，求△AOB的面積． 解 (1)依題意得 解得 故雙曲線的方程為－x2＝1. (2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x， 設A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由＝得點P的坐標為， 將點P的坐標代入－x2＝1，整理得mn＝1， 設∠AOB＝2θ，則tan θ＝，從而sin 2θ＝， 又|OA|＝m，|OB|＝n， ∴S△AOB＝|OA||O

7、B|sin 2θ＝2mn＝2. 12．設中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F2，且F1F2＝2，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程； (2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值． 解　(1)由已知，得c＝，設橢圓長、短半軸長分別為a，b，雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n， 則解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2. 故橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. (2)不妨設F1、F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6， 所以PF1＝10，PF2＝4

8、.又F1F2＝2， 故cos∠F1PF2＝ ＝＝. 13．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0； (3)求△F1MF2的面積． (1)解　∵e＝，∴設雙曲線方程為x2－y2＝λ. 又∵雙曲線過(4，－)點，∴λ＝16－10＝6， ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明　法一　由(1)知a＝b＝，c＝2， ∴F1(－2，0)，F2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， ∴kMF1·kMF2＝＝，又點(3，m)在雙曲線上，∴m2＝3， ∴kMF1·kMF

9、2＝－1，MF1⊥MF2，·＝0. 法二　∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m) ∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2. ∵M在雙曲線上，∴9－m2＝6，∴m2＝3，∴·＝0. (3)解　∵在△F1MF2中，F1F2＝4，且|m|＝， ∴S△F1MF2＝·F1F2·|m|＝×4×＝6. 14．已知斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3)． (1)求C的離心率； (2)設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|＝17，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切． (1)解　由題意知，l的方程為y＝x＋2， 代

10、入C的方程并化簡，得 (b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0. 設B(x1，y1)，D(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 由M(1,3)為BD的中點，知＝1， 故×＝1，即b2＝3a2， ① ∴c＝＝2a，∴C的離心率e＝＝2. (2)證明　由①知，C的方程為3x2－y2＝3a2. A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0. 故不妨設x1≤－a，x2≥a， ∴|BF|＝＝ ＝a－2x1， ∴|FD|＝＝ ＝2x2－a， |BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a) ＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8. 又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17， 解得a＝1或a＝－(舍去)． 故|BD|＝|x1－x2|＝ ＝6. 連接MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3， 從而MA＝MB＝MD，∴∠DAB＝90°， 因此以M為圓心，MA為半徑的圓過A、B、D三點，且在A處與x軸相切．∴過A、B、D三點的圓與x軸相切. 高考數學復習精品 高考數學復習精品