學(xué)案19 排列、組合和二項(xiàng)式定理

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1、1.1.理解分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理理解分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理, ,會(huì)用分類計(jì)數(shù)會(huì)用分類計(jì)數(shù) 原理或分步計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題原理或分步計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題. .2.2.理解排列、組合的概念理解排列、組合的概念, ,能利用排列公式、組合公能利用排列公式、組合公 式，解決簡單的實(shí)際問題式，解決簡單的實(shí)際問題. .3.3.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理:(1):(1)能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理,(2),(2) 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題. .學(xué)案學(xué)案19 19 排列、組合和排列、組合和二項(xiàng)式定理二

2、項(xiàng)式定理 1.(20091.(2009全國全國)甲組有甲組有5 5名男同學(xué)、名男同學(xué)、3 3名女同學(xué)名女同學(xué); ;乙乙 組有組有6 6名男同學(xué)、名男同學(xué)、2 2名女同學(xué)名女同學(xué). .若從甲、乙兩組中各選若從甲、乙兩組中各選 出出2 2名同學(xué)名同學(xué), ,則選出的則選出的4 4人中恰有人中恰有1 1名女同學(xué)的不同選名女同學(xué)的不同選 法共有法共有 ( )( ) A.150 A.150種種 B.180B.180種種 C.300C.300種種 D.345D.345種種 解析解析 若從甲組中選出若從甲組中選出1 1名女同學(xué)名女同學(xué), ,有有 種選法種選法, ,則甲則甲 組還需從組還需從5 5名男同學(xué)中選名

3、男同學(xué)中選1 1名名, ,有有 種選法種選法, ,其余其余2 2名同名同 學(xué)還應(yīng)從乙組的男同學(xué)中選學(xué)還應(yīng)從乙組的男同學(xué)中選, ,有有 種種, ,此時(shí)有此時(shí)有 =225(=225(種種););若從乙組中選若從乙組中選1 1名女同學(xué)名女同學(xué), ,有有 種選法種選法, ,則則13C15C26C261513CCC12C 乙組還需從男同學(xué)中選乙組還需從男同學(xué)中選1 1人人, ,有有 種選法種選法, ,從甲組的從甲組的5 5 名男同學(xué)中選名男同學(xué)中選2 2名名, ,共有共有 種種, ,此時(shí)有此時(shí)有 =120=120 ( (種種),),故共有故共有225+120=345(225+120=345(種種) )不

4、同選法不同選法. . 答案答案 D D2.(20092.(2009湖北湖北) )將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè) 不同的班不同的班, ,每個(gè)班至少分到一名學(xué)生每個(gè)班至少分到一名學(xué)生, ,且甲、乙兩名且甲、乙兩名 學(xué)生不能分到同一個(gè)班學(xué)生不能分到同一個(gè)班, ,則不同分法的種數(shù)為則不同分法的種數(shù)為 ( )( ) A.18 B.24 C.30 D.36 A.18 B.24 C.30 D.36 解析解析 用間接法解答用間接法解答: :四名學(xué)生中有兩名學(xué)生在一個(gè)四名學(xué)生中有兩名學(xué)生在一個(gè) 班的種數(shù)是班的種數(shù)是 順序有順序有 種種, ,而甲乙被分在同一個(gè)而甲乙被分在同一個(gè)

5、班的有班的有 種種, ,所以種數(shù)是所以種數(shù)是 16C25C122516CCC,C2433A33A.30AAC333324C C3.(20093.(2009北京北京) )用用0 0到到9 9這這1010個(gè)數(shù)字個(gè)數(shù)字, ,可以組成沒有重可以組成沒有重 復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 ( )( ) A.324 B.328 C.360 D.648 A.324 B.328 C.360 D.648 解析解析 若組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)若組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù), ,可分為兩種可分為兩種 情況情況: :當(dāng)個(gè)位上是當(dāng)個(gè)位上是0 0時(shí)時(shí), ,共有共有9 98=72(8=72(種種) )情況

6、情況; ;當(dāng)當(dāng) 個(gè)位上是不為個(gè)位上是不為0 0的偶數(shù)時(shí)的偶數(shù)時(shí), ,共有共有4 48 88=256(8=256(種種) )情情 況況. .綜上綜上, ,共有共有72+256=328(72+256=328(種種) )情況情況. .B B4.(20094.(2009四川四川) ) 的展開式的常數(shù)項(xiàng)是的展開式的常數(shù)項(xiàng)是_._. ( (用數(shù)字作答用數(shù)字作答) ) 解析解析 設(shè)展開式中第設(shè)展開式中第r r+1+1項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)， 6)212(xx.20)21(2C, 3, 06,)21()2(C33361661rrrrrTrrrxxT-20-20題型一題型一 計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)原理【例【例1 1】(1

7、)5(1)5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組, ,每位每位 同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組, ,則不同的報(bào)名方法共有則不同的報(bào)名方法共有 ( )( ) A.10 A.10種種 B.20B.20種種 C.25C.25種種 D.32D.32種種 解析解析 因?yàn)槊咳司袃煞N選擇方法因?yàn)槊咳司袃煞N選擇方法, ,所以不同的報(bào)名所以不同的報(bào)名 方法有方法有2 25 5=32=32種種. .D D(2)(2009(2)(2009全國全國)甲、乙兩人從甲、乙兩人從4 4門課程中各選修門課程中各選修2 2 門門, ,則甲則甲、乙所選的課程中恰有乙所選的課程中恰有1 1

8、門相同的選法有門相同的選法有( )( ) A.6 A.6種種 B.12B.12種種 C.24C.24種種 D.30D.30種種 解析解析 甲、乙所選的課程中恰有甲、乙所選的課程中恰有1 1門相同的選法為門相同的選法為【探究拓展探究拓展】加法原理和乘法原理的應(yīng)用實(shí)質(zhì)是對(duì)問】加法原理和乘法原理的應(yīng)用實(shí)質(zhì)是對(duì)問 題的分類或分步的討論題的分類或分步的討論, ,正確的分類或分步的關(guān)鍵是正確的分類或分步的關(guān)鍵是 弄清楚分類或分步的區(qū)別弄清楚分類或分步的區(qū)別, ,分類是對(duì)問題的不同情況分類是對(duì)問題的不同情況 分別處理分別處理, ,而分步是對(duì)完成該問題的一種方法分成幾而分步是對(duì)完成該問題的一種方法分成幾 步去

9、做步去做. .分步和分類往往交互使用分步和分類往往交互使用. . )(24CC1224種C C變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 (1) (1)生產(chǎn)過程有生產(chǎn)過程有4 4道工序道工序, ,每道工序需要安每道工序需要安 排一人照看排一人照看, ,現(xiàn)從甲、乙、丙等現(xiàn)從甲、乙、丙等6 6名工人中安排名工人中安排4 4人分人分 別照看一道工序別照看一道工序, ,第一道工序只能從甲、乙兩工人中第一道工序只能從甲、乙兩工人中 安排安排1 1人人, ,第四道工序只能從甲第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排丙兩工人中安排1 1人人, , 則不同的安排方案有則不同的安排方案有 ( )( ) A.24 A.24種種 B.36B

10、.36種種 C.48C.48種種 D.72D.72種種 解析解析 若第一道工序由甲來完成若第一道工序由甲來完成, ,則第四道工序必由則第四道工序必由 丙來完成丙來完成, ,故完成方案共有故完成方案共有 =12=12種種; ;若第一道工序若第一道工序 由乙來完成由乙來完成, ,則第四道工序必由甲、丙二人之一來完則第四道工序必由甲、丙二人之一來完 成成, ,故完成方案共有故完成方案共有 =24=24種種;不同的安排方案不同的安排方案 共有共有 =36=36種種. . 24A2412AA241224AAA B B(2)(2)將將1 1，2 2，3 3填入填入3 33 3的方格中的方格中, ,要求要求

11、 每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字, ,右面是一右面是一 種填法種填法, ,則不同的填寫方法共有則不同的填寫方法共有( )( ) A.6 A.6種種 B.12B.12種種 C.24C.24種種 D.48D.48種種 解析解析 由于由于3 33 3方格中方格中, ,每行、每列均每行、每列均 沒有重復(fù)數(shù)字沒有重復(fù)數(shù)字, ,因此可從中間斜對(duì)角線因此可從中間斜對(duì)角線 填起填起. .如圖中的如圖中的, ,當(dāng)當(dāng)全為全為1 1時(shí)時(shí), ,有有2 2種種 ( (即第一行第即第一行第2 2列為列為2 2或或3,3,當(dāng)?shù)诙刑町?dāng)?shù)诙刑? 2時(shí)時(shí), ,第三列只能第三列只能 填填3,3,當(dāng)?shù)谝恍刑钔旰?/p>

12、當(dāng)?shù)谝恍刑钔旰? ,其他行的數(shù)字便可確定其他行的數(shù)字便可確定),),當(dāng)當(dāng) 全為全為2 2或或3 3時(shí)時(shí), ,分別有分別有2 2種種, ,共有共有6 6種種; ;當(dāng)當(dāng)分別為分別為1,2,31,2,3 時(shí)時(shí), ,也共有也共有6 6種種. .所以不同的填寫方法共所以不同的填寫方法共1212種種. . B B題型二題型二 排列與組合排列與組合【例【例2 2】(1)(2009(1)(2009湖南湖南) )某政府召集某政府召集5 5家企業(yè)的負(fù)責(zé)家企業(yè)的負(fù)責(zé) 人開會(huì)人開會(huì), ,已知甲企業(yè)有已知甲企業(yè)有2 2人到會(huì)人到會(huì), ,其余其余4 4家企業(yè)各有家企業(yè)各有1 1人人 到會(huì)到會(huì), ,會(huì)上有會(huì)上有3 3人發(fā)言

13、人發(fā)言, ,則這則這3 3人來自人來自3 3家不同企業(yè)的可家不同企業(yè)的可 能情況的種數(shù)為能情況的種數(shù)為 ( )( ) A.14 B.16 C.20 D.48 A.14 B.16 C.20 D.48 解析解析 3 3個(gè)來自不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為個(gè)來自不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為 .16CCC342412B B(2)12(2)12名同學(xué)合影名同學(xué)合影, ,站成了前排站成了前排4 4人后排人后排8 8人人, ,現(xiàn)攝影師現(xiàn)攝影師 要從后排要從后排8 8人中抽人中抽2 2人調(diào)整到前排人調(diào)整到前排, ,若其他人的相對(duì)順若其他人的相對(duì)順 序不變序不變, ,則不同調(diào)整方法的種數(shù)是則不同調(diào)整方法的種數(shù)是 (

14、)( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 在后排選出在后排選出2 2個(gè)人有個(gè)人有 種選法種選法, ,分別插入到前分別插入到前 排中去排中去, ,有有 種方法種方法, ,由乘法原理知共有由乘法原理知共有 種調(diào)整方案種調(diào)整方案. . 2328AC6628AC2628AC2528AC28C261615AAA2628AC C C【探究拓展探究拓展】解決排列、組合通常分三步】解決排列、組合通常分三步: :一一, ,分清問分清問 題的性質(zhì)是分類還是分步題的性質(zhì)是分類還是分步, ,分類時(shí)還要做到不重不分類時(shí)還要做到不重不 漏漏; ;二二, ,分步計(jì)算時(shí)要先選后排分步計(jì)算時(shí)要先選后排

15、, ,寫出每一類或每一步寫出每一類或每一步 的方法種數(shù)的方法種數(shù); ;三三, ,各分類種數(shù)相加或分步種數(shù)相乘各分類種數(shù)相加或分步種數(shù)相乘, ,然然 后得出結(jié)果后得出結(jié)果. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 2 (1)(2009 (1)(2009湖北湖北) )從從5 5名志愿者中選派名志愿者中選派4 4人人 在星期五在星期五、星期六星期六、星期日參加公益活動(dòng)星期日參加公益活動(dòng), ,每人一天每人一天, , 要求星期五有一人參加要求星期五有一人參加, ,星期六有兩人參加星期六有兩人參加, ,星期日有星期日有 一人參加一人參加, ,則不同的選派方法共有則不同的選派方法共有 ( )( ) A.120 A.120種

16、種 B.96B.96種種 C.60C.60種種 D.48D.48種種 解析解析 從從5 5人中選人中選4 4人有人有 種方法種方法, ,星期五有一人參星期五有一人參 加有加有 種方法種方法, ,星期六有兩人參加有星期六有兩人參加有 種方法種方法, ,共共 有有 =5=54 43=603=60種選派方法種選派方法. . 45C14C23C231445CCCC C(2)(2)某校安排某校安排5 5個(gè)班到個(gè)班到4 4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐, ,每個(gè)班去每個(gè)班去 一個(gè)工廠一個(gè)工廠, ,每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班, ,則不同的安排則不同的安排 方法共有方法共有_種種.(.

17、(用數(shù)字作答用數(shù)字作答) ) 解析解析 由題意知必有由題意知必有2 2個(gè)班去同一個(gè)工廠個(gè)班去同一個(gè)工廠, ,故將故將5 5個(gè)班個(gè)班 中的中的2 2個(gè)作為一組個(gè)作為一組, ,與其他與其他3 3個(gè)班共為個(gè)班共為4 4組組, ,再將這再將這4 4組組 安排在安排在4 4個(gè)不同的工廠個(gè)不同的工廠, ,所以不同的安排種數(shù)為所以不同的安排種數(shù)為 .240AC4425240240題型三題型三 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理【例【例3 3】(1)(2009(1)(2009江西江西) )若若 能被能被7 7整除整除, ,則則x x, ,n n的值可能為的值可能為 ( )( ) A. A.x x=4,=4,n n=3 B.

18、=3 B.x x=4,=4,n n=4=4 C. C.x x=5,=5,n n=4 D.=4 D.x x=6,=6,n n=5=5 解析解析 由由 分別分別 將選項(xiàng)將選項(xiàng)A A、B B、C C、D D代入檢驗(yàn)知代入檢驗(yàn)知, ,僅有僅有C C適合適合. . nnnnnxxxCCC221, 1)1 (CCC221nnnnnnxxxxC C(2)(2009(2)(2009陜西陜西) )若若(1-2(1-2x x) )2 0092 009= =a a0 0+ +a a1 1x x+a a2 0092 009x x2 009 2 009 ( (x xR),R),則則 的值為的值為 ( )( ) A.2

19、B.0 C.-1 D.-2 A.2 B.0 C.-1 D.-2 解析解析 (1-2(1-2x x) )2 0092 009= =a a0 0+ +a a1 1x x+a a2 0092 009x x2 0092 009, , 其中其中a a0 0=1=1所以所以 00920092221222aaa, 0222)2121 (,210092009222100092aaaax則令. 122200920092221aaaC C(3)(1+2(3)(1+2x x) )3 3(1-(1-x x) )4 4展開式中展開式中x x的系數(shù)為的系數(shù)為_._. 解析解析 (1+2(1+2x x) )3 3(1-(1

20、-x x) )4 4展開式中展開式中x x項(xiàng)為項(xiàng)為 所求系數(shù)為所求系數(shù)為 【探究拓展探究拓展】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式中】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式中 的某種特定項(xiàng)是一類典型的問題的某種特定項(xiàng)是一類典型的問題, ,首先要確定通項(xiàng)公首先要確定通項(xiàng)公 式中式中r r的取值范圍的取值范圍, ,還需注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的還需注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系. . 0404121313140303)(1C)2(1C)(1C)2(1Cxxxx. 2642C) 1(CC1314032 2變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 (1)(2009(1)(2009北京北京) )若若 ( (a a

21、、b b為有理數(shù)為有理數(shù)),),則則a a+ +b b等于等于 ( )( ) A.33 B.29 C.23 D.19 A.33 B.29 C.23 D.19 解析解析 又又a a, ,b b為有理數(shù)為有理數(shù),a a=17,=17,b b=12.=12.a a+ +b b=29.=29. (2) (2) 的展開式中的展開式中, ,常數(shù)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)為15,15,則則n n等于等于( )( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A.3 B.4 C.5 D.6 解析解析 令令2 2n n-3-3r r=0,=0,而而r r=0,1,2,=0,1,2,n n, ,則則 則則r r=2,4,6,8,=2,4,

22、6,8,n n=3,6,9,.=3,6,9,. 此時(shí)只有此時(shí)只有 =15,=15,所以所以n n=6.=6. 2)21 (4ba,221217)21 (4banxx)1(2,C) 1()1(C32)(21rnrnrrrnrnrxxxT,15C) 1(rnr46CB BD D【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】(2009(2009四川四川)2)2位男生和位男生和3 3位女生共位女生共5 5位同學(xué)站成一排位同學(xué)站成一排, , 若男生甲不站兩端若男生甲不站兩端,3,3位女生中有且只有兩位女生相位女生中有且只有兩位女生相 鄰鄰, ,則不同排法的種數(shù)是則不同排法的種數(shù)是 ( )( ) A.60 B.48 C.42

23、D.36 A.60 B.48 C.42 D.36【解題示范解題示范】 解析解析 方法一方法一 從從3 3位女生中任取位女生中任取2 2人人“捆捆”在一起記在一起記 作作A A( (A A共有共有 種不同排法種不同排法),),剩下一名女生記作剩下一名女生記作 B B, ,兩位男生分別記作甲兩位男生分別記作甲、乙乙; ;則男生甲必須在則男生甲必須在A A、B B之之6AC2223間間( (若甲在若甲在A A、B B兩端兩端, ,則為使則為使A A、B B不相鄰不相鄰, ,只有把男生只有把男生乙排在乙排在A A、B B之間之間, ,此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求要求

24、),),此時(shí)共有此時(shí)共有6 62 2= =1212種排法種排法( (A A左左B B右和右和A A右右B B左左).).最最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙, ,所以所以, ,共有共有12124=484=48種不同排法種不同排法. . 方法二方法二 從從3 3位女生中任取位女生中任取2 2人人“捆捆”在一起記作在一起記作A A( (A A共有共有 種不同排法種不同排法),),剩下一名女生記作剩下一名女生記作B B, ,兩兩位男生分別記作甲、乙位男生分別記作甲、乙; ;為使男生甲不在兩端可分三為使男生甲不在兩端可分三類情況類情況: :第一類第一類:

25、 :女生女生A A、B B在兩端在兩端, ,男生甲、乙在中間男生甲、乙在中間, ,共有共有 種排法種排法; ;6AC222324AA62222第二類第二類:“:“捆綁捆綁”A A和男生乙在兩端和男生乙在兩端, ,則中間女生則中間女生B B和男和男生甲只有一種排法生甲只有一種排法, ,此時(shí)共有此時(shí)共有 種排法種排法. .第三類第三類: :女生女生B B和男生乙在兩端和男生乙在兩端, ,同樣中間同樣中間“捆綁捆綁”A A和和男生甲也只有一種排法男生甲也只有一種排法. .此時(shí)共有此時(shí)共有 種排法種排法. .故不同排法為故不同排法為24+12+12=4824+12+12=48種種. .答案答案 B B

26、 5 5分分12A62212A6221.1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用:(1):(1)應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理要求每應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理要求每 一種方法都能把事件獨(dú)立完成一種方法都能把事件獨(dú)立完成, ,即每法皆可完即每法皆可完, ,方法方法 可分類可分類; ;應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理要求每步均是完成事件必應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理要求每步均是完成事件必 須經(jīng)過的若干彼此獨(dú)立的步驟須經(jīng)過的若干彼此獨(dú)立的步驟, ,即每法必分步即每法必分步, ,每步每步 皆未完皆未完; ;( (2 2) )在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理解在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理解 決問題時(shí)決問題時(shí), ,一般先分類再分步一般先分類再分步, ,

27、每一步中可能要用到每一步中可能要用到 分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理;(3);(3)對(duì)于復(fù)雜問題對(duì)于復(fù)雜問題, ,往往同時(shí)運(yùn)用兩往往同時(shí)運(yùn)用兩 個(gè)原理個(gè)原理, ,恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或用列出表格的方法來恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或用列出表格的方法來 幫助分析幫助分析, ,是使問題形象化、具體化、直觀化的有是使問題形象化、具體化、直觀化的有 效手段效手段. . 2.2.關(guān)于排列、組合綜合題解法的若干技巧：關(guān)于排列、組合綜合題解法的若干技巧：(1)(1)解排解排 列列、組合混合題一般是先組合后排列或先利用元素的組合混合題一般是先組合后排列或先利用元素的 性質(zhì)進(jìn)行分類、分步性質(zhì)進(jìn)行分類、分步, ,再利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理作最

28、后處再利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理作最后處 理理;(2);(2)對(duì)于較難解決的問題可用間接法對(duì)于較難解決的問題可用間接法, ,但應(yīng)做到不但應(yīng)做到不 重不漏重不漏;(3);(3)對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題, ,通通 常采用以下途徑思考常采用以下途徑思考: :以元素為主以元素為主, ,即先滿足特殊即先滿足特殊 元素的要求元素的要求, ,再考慮其它元素再考慮其它元素. .以位置為主以位置為主, ,即先滿即先滿 足特殊位置的要求足特殊位置的要求.(4).(4)關(guān)于排列、組合問題的求解關(guān)于排列、組合問題的求解, , 應(yīng)掌握以下基本方法與技巧應(yīng)掌握以下基本方法與技巧: :特殊元素

29、特殊元素( (特殊位置特殊位置) ) 優(yōu)先安排優(yōu)先安排; ;排列排列、組合混合問題先選后排組合混合問題先選后排; ;相鄰問相鄰問 題捆綁處理題捆綁處理; ;不相鄰問題插空處理不相鄰問題插空處理; ;定序問題排除定序問題排除 法處理法處理; ;分排問題直排處理分排問題直排處理; ;“小集團(tuán)小集團(tuán)”排列問排列問 題先整體后局部題先整體后局部; ;合理分類與準(zhǔn)確分步合理分類與準(zhǔn)確分步; ;正難則正難則 反反, ,等價(jià)轉(zhuǎn)化等價(jià)轉(zhuǎn)化. .構(gòu)造模型構(gòu)造模型, ,解決問題解決問題. .3.3.二項(xiàng)式定理及應(yīng)用二項(xiàng)式定理及應(yīng)用:(1):(1)對(duì)于二項(xiàng)式定理中對(duì)于二項(xiàng)式定理中, ,二項(xiàng)展二項(xiàng)展 開式的特征要分清

30、，清楚各項(xiàng)的變化規(guī)律開式的特征要分清，清楚各項(xiàng)的變化規(guī)律;(2);(2)通項(xiàng)通項(xiàng) 是解決二項(xiàng)式定理問題的重要公式是解決二項(xiàng)式定理問題的重要公式, , 高考中很多問題都是用它來解決高考中很多問題都是用它來解決;(3);(3)賦值法是求二賦值法是求二 項(xiàng)式系數(shù)問題的常用方法項(xiàng)式系數(shù)問題的常用方法, ,給給a a, ,b b賦予特殊值往往可賦予特殊值往往可 以快速解決展開式以快速解決展開式( (部分部分) )系數(shù)系數(shù)( (絕對(duì)值絕對(duì)值) )和等問題的和等問題的 常用方法常用方法;(4);(4)對(duì)于二項(xiàng)式相乘的系數(shù)求解問題對(duì)于二項(xiàng)式相乘的系數(shù)求解問題, ,前后前后 搭配是常用的有效手段搭配是常用的有效

31、手段. . rrnrnrbaT C1 一、選擇題一、選擇題1.(20091.(2009廣東廣東)2010)2010年廣州亞運(yùn)會(huì)要從小張、小趙、年廣州亞運(yùn)會(huì)要從小張、小趙、 小李、小羅、小王五名志愿者中選派四個(gè)分別從事小李、小羅、小王五名志愿者中選派四個(gè)分別從事 翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作, ,若其中小張和小若其中小張和小 趙只能從事前兩項(xiàng)工作趙只能從事前兩項(xiàng)工作, ,其余三人均能從事這四項(xiàng)工其余三人均能從事這四項(xiàng)工 作作, ,則不同的選派方案共有則不同的選派方案共有 ( )( ) A.36 A.36種種 B.12B.12種種 C.18C.18種種 D.48D.

32、48種種 解析解析 分兩類分兩類: :若小張和小趙恰有若小張和小趙恰有1 1人入選人入選, ,則有選法則有選法 若小張、小趙都入選若小張、小趙都入選, ,則有選法則有選法 =12,=12,共有選法共有選法3636種種. . ;24ACC3312122322AAA A2.2.由數(shù)字由數(shù)字1 1，2 2，3 3，9 9組成的三位數(shù)中各位數(shù)字按組成的三位數(shù)中各位數(shù)字按 嚴(yán)格遞增嚴(yán)格遞增( (如如“156156”) )或嚴(yán)格遞減或嚴(yán)格遞減( (如如“421421”) )順序排順序排 列的數(shù)的個(gè)數(shù)是列的數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( )( ) A.120 B.168 C.204 D.216 A.120 B.168 C.

33、204 D.216 解析解析 可分兩步完成可分兩步完成, ,首先選出三個(gè)數(shù)字首先選出三個(gè)數(shù)字, ,有有 種選法種選法, ,然后再按從小到大或從大到小排列然后再按從小到大或從大到小排列, ,有有2 2種排種排 法法, ,所以共有所以共有84842=1682=168個(gè)個(gè). . 84C39B B3.3.從從1,3,5,71,3,5,7中任取中任取2 2個(gè)數(shù)字，從個(gè)數(shù)字，從2,4,6,82,4,6,8中任取中任取2 2個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5 5整除的四整除的四 位數(shù)的個(gè)數(shù)為位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ( )( ) A.120 B.300 C.240 D.

34、108 A.120 B.300 C.240 D.108 解析解析 第一步把第一步把5 5放到四位數(shù)的個(gè)位上放到四位數(shù)的個(gè)位上; ;第二步從第二步從1,1, 3,7 3,7中任取中任取1 1個(gè)數(shù)字個(gè)數(shù)字, ,有有 種方法種方法; ;第三步從第三步從2,4,6,82,4,6,8 中任取中任取2 2個(gè)數(shù)字個(gè)數(shù)字, ,有有 種方法種方法; ;第四步把選出的第四步把選出的3 3個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 字分別放在四位數(shù)的千位、百位與十位上字分別放在四位數(shù)的千位、百位與十位上, ,有有 種種 方法方法. .故共有故共有 個(gè)個(gè). . 108ACC33241313C24C33AD D4.(20094.(2009江西江西)(1

35、+)(1+axax+ +byby) )n n展開式中不含展開式中不含x x的項(xiàng)的系數(shù)的項(xiàng)的系數(shù) 絕對(duì)值和為絕對(duì)值和為243,243,不含不含y y的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為32,32, 則則a a, ,b b, ,n n的值可能為的值可能為 ( )( ) A. A.a a=2,=2,b b=-1,=-1,n n=5=5 B. B.a a=-2,=-2,b b=-1,=-1,n n=6=6 C. C.a a=-1,=-1,b b=2,=2,n n=6=6 D. D.a a=1,=1,b b=2,=2,n n=5=5 解析解析 令令x x=0,=0,y y=1=1得得(1+(1+

36、b b) )n n=243,=243, 令令y y=0,=0,x x=1=1得得(1+(1+a a) )n n=32,=32,將選項(xiàng)將選項(xiàng)A A、B B、C C、D D代入檢驗(yàn)代入檢驗(yàn) 知知D D正確正確, ,其余均不正確其余均不正確. . D D5.5.如圖所示如圖所示, ,一環(huán)形花壇分成一環(huán)形花壇分成A A、B B、 C C、D D四塊四塊, ,現(xiàn)有現(xiàn)有4 4種不同的花供選種不同的花供選 種種, ,要求在每塊里種要求在每塊里種1 1種花種花, ,且相鄰且相鄰 的的2 2塊種不同的花，則不同的種法塊種不同的花，則不同的種法 總數(shù)為總數(shù)為 ( )( ) A.96 B.84 A.96 B.84

37、C.60 D.48 C.60 D.48 解析解析 當(dāng)花壇中的花各不相同時(shí)當(dāng)花壇中的花各不相同時(shí), ,共有共有 種不同的種不同的 種法種法; ;若在花壇中種植三種花若在花壇中種植三種花, ,此時(shí)一種方法是此時(shí)一種方法是A A與與C C 種的花相同有種的花相同有 種種, ,B B、D D各不相同有各不相同有 種種, ,另另44A14C23A一種方法是一種方法是B B、D D相同相同, ,A A、C C各不相同各不相同, ,共有共有 種種, ,因此種植三種花時(shí)有因此種植三種花時(shí)有 種種; ;若在花壇中種植兩種若在花壇中種植兩種花花, ,則只能是則只能是A A、C C相同相同, ,B B、D D相同相

38、同, ,共有共有 種種. .所所以共有以共有 =24+48+12=84(=24+48+12=84(種種) )不同種不同種法法. .答案答案 B B 2314AC2314AC21314CC1314231444CCAC2A6.(20096.(2009陜西陜西) )從從0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩這六個(gè)數(shù)字中任取兩 個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù), ,組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè) 數(shù)為數(shù)為 ( )( ) A.300 B.216 C.180 D.162 A.300 B.216 C.180 D.162 解析解析 分兩類情況分兩類情況: :

39、一類不含一類不含0,0,有有 個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)， 一類含一類含0,0,有有 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù). . 所以共有所以共有72+108=18072+108=180（個(gè)）（個(gè)）. .二、填空題二、填空題7.(20097.(2009全國全國)()(x x- -y y) )1010的展開式中的展開式中, ,x x7 7y y3 3的系數(shù)與的系數(shù)與 x x3 3y y7 7的系數(shù)之和等于的系數(shù)之和等于_._. 解析解析 72AC4423108ACCC33132312C C.240C2)C(C310710310-240-2408.(20098.(2009浙江浙江) )甲甲、乙乙、丙丙3 3人站到共有人站到共有7 7級(jí)的臺(tái)階

40、上級(jí)的臺(tái)階上, , 若每級(jí)臺(tái)階最多站若每級(jí)臺(tái)階最多站2 2人人, ,同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站 的位置的位置, ,則不同的站法種數(shù)是則不同的站法種數(shù)是_.(_.(用數(shù)字作答用數(shù)字作答) ) 解析解析 當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1 1人時(shí)有人時(shí)有 種站法種站法, ,當(dāng)兩當(dāng)兩 個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有 種站法種站法, ,因此不因此不 同的站法種數(shù)有同的站法種數(shù)有 =210+126=336=210+126=336 ( (種種).).3733CA161723CCC1617233733CCCCA3363369.9.在在 的展開式中的展開式中, ,x x

41、2 2的系數(shù)是的系數(shù)是_.(_.(用數(shù)字用數(shù)字 作答作答) ) 解析解析 令令 得得r r=1,=1,故故x x2 2的系數(shù)為的系數(shù)為(-2)(-2) =-14. =-14.7)2(xx ,)2(C)2()(C2377771rrrrrrrxxxT, 2237 r-14-1417C10.10.某工程隊(duì)有某工程隊(duì)有6 6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成, ,其中工程其中工程 乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行, ,工程丙必須在工程工程丙必須在工程 乙完成后才能進(jìn)行乙完成后才能進(jìn)行, ,又工程丁必須在工程丙完成后立又工程丁必須在工程丙完成后立 即進(jìn)行即進(jìn)行. .那么

42、安排這那么安排這6 6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是_._. ( (用數(shù)字作答用數(shù)字作答) ) 解析解析 依題意依題意, ,甲、乙、丙、丁四個(gè)工程先后順序已甲、乙、丙、丁四個(gè)工程先后順序已 確定確定, ,而丙、丁必須相鄰而丙、丁必須相鄰, ,只需將剩余兩個(gè)工程進(jìn)行只需將剩余兩個(gè)工程進(jìn)行 排列排列. .若剩余兩個(gè)工程相鄰若剩余兩個(gè)工程相鄰, ,則插在甲、乙、丙、丁則插在甲、乙、丙、丁 形成的形成的4 4個(gè)空檔之一個(gè)空檔之一, ,有有4 4 =8 =8種方法種方法; ;若剩余兩個(gè)若剩余兩個(gè) 工程不相鄰工程不相鄰, ,則插在甲、乙、丙、丁形成的則插在甲、乙、丙、丁形成的4 4個(gè)空檔個(gè)空

43、檔 中的中的2 2個(gè)空檔個(gè)空檔, ,有有 =12=12種方法種方法. .故共有故共有8+12=208+12=20種不種不 同排法同排法. . 22A24A2020三、解答題三、解答題11.11.解方程或不等式：解方程或不等式： 解解 (1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)? 3x x( (x x-1)(-1)(x x-2)=2-2)=2x x( (x x+1)+6+1)+6x x( (x x-1),-1), 3( 3(x x-1)(-1)(x x-2)=2(-2)=2(x x+1)+6(+1)+6(x x-1),-1), 即即3 3x x2 2-17-17x x+10=0,+10=0, 解得解得x x=5=5或

44、或x x= (= (舍去舍去),),x x=5.=5. (2) (2)由題意得由題意得 (10-(10-x x)(9-)(9-x x) )6,6,x x2 2-19-19x x+84+840,0, 7 7x x12,12,又又88x x且且x x-20-20，即即2 2x x8,8,x x=8. =8. .A6A)2(;A6A2A3) 1 (2882213xxxxx,)!10(! 86)!8(! 8xx3212.12.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 a an n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, , 公比公比q q是是 的展開式中的第二項(xiàng)的展開式中的第二項(xiàng)( (按按x x的降冪排列的降冪排列).). (1) (1)用用n

45、 n, ,x x表示通項(xiàng)表示通項(xiàng)a an n與前與前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n； (2)(2)若若 用用n n, ,x x表示表示A An n. . 解解 (1)(1)由題意可知由題意可知,AC123321mmma42)41(xx,CCCA2211nnnnnnSSS,12332mmm.) 1(11) 1(,)41(C, 1, 3123141xxxxnSxaxxxqamnnnn又所以則(2)(2)當(dāng)當(dāng)x x=1=1時(shí)時(shí), , + +得得, ,即即A An n= =n n22n n-1-1; ;)當(dāng)當(dāng)x x11時(shí)時(shí), ,CC2C) 1(C,CC2C,CCC121212211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnAnSSSA又,2CCCC2110nnnnnnnnnnnnnA)CC(C)CC(C11)1 (C)1 (C)1 (C11,CCC221212212211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxSSSA所以綜上可知所以綜上可知:.1)1 (2 1)1 (1211xxxxnnnn.) 1(1)1 (2) 1(21xxxxnAnnnn返回