高考數學二輪復習 專題4.3 立體幾何中的向量方法課件 理.ppt
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第3講立體幾何中的向量方法 高考定位高考對本講知識的考查以解答題的形式為主 主要從以下兩個方面命題 1 以多面體 特別是棱柱 棱錐或其組合體 為載體 考查空間中平行與垂直的證明 常出現在解答題的第 1 問中 考查空間想象能力 推理論證能力及計算能力 屬低中檔問題 2 以多面體 特別是棱柱 棱錐或其組合體 為載體 考查空間角 主要是線面角和二面角 的計算 是高考的必考內容 屬中檔題 1 直線與平面 平面與平面的平行與垂直的向量方法設直線l的方向向量為a a1 b1 c1 平面 的法向量分別為 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 則 1 線面平行l(wèi) a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 線面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 3 二面角如圖所示 二面角 l 平面 的法向量為n1 平面 的法向量為n2 n1 n2 則二面有 l 的大小為 或 3 用向量法證明平行 垂直問題的步驟 1 建立空間圖形與空間向量的關系 可以建立空間直角坐標系 也可以不建系 用空間向量表示問題中涉及的點 直線 平面 2 通過向量運算研究平行 垂直問題 3 根據運算結果解釋相關問題 熱點一向量法證明平行與垂直 例1 如圖 在直三棱柱ADE BCF中 面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直 M為AB的中點 O為DF的中點 求證 1 OM 平面BCF 2 平面MDF 平面EFCD 證明由題意 AB AD AE兩兩垂直 以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系 規(guī)律方法證明平行 垂直關系時 若用傳統(tǒng)的幾何法 難以找出問題與條件的關系時 可采用向量法 但向量法要求計算必須準確無誤 利用向量法的關鍵是正確求平面的法向量 訓練1 如圖 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC為等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分別為B1A C1C BC的中點 求證 1 DE 平面ABC 2 B1F 平面AEF 熱點二利用向量求空間角 例2 2015 浙江卷 如圖 在三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC 2 A1A 4 A1在底面ABC的射影為BC的中點 D是B1C1的中點 1 證明 A1D 平面A1BC 2 求二面角A1 BD B1的平面角的余弦值 1 證明設E為BC的中點 由題意得A1E 平面ABC 所以A1E AE 因為AB AC 所以AE BC 故AE 平面A1BC 由D E分別為B1C1 BC的中點 得DE B1B且DE B1B 從而DE A1A且DE A1A 所以A1AED為平行四邊形 故A1D AE 又因為AE 平面A1BC 所以A1D 平面A1BC 規(guī)律方法二面角平面角的余弦與二面角兩平面法向量夾角的余弦絕對值相等 其正負可以通過觀察二面角是銳角還是鈍角進行確定 異面直線所成角的余弦等于兩條異面直線方向向量夾角余弦的絕對值 線面所成角的正弦等于平面的法向量與直線方向向量夾角余弦的絕對值 熱點三利用空間向量解決探索性問題 例3 2014 湖北卷 如圖 在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中 E F M N分別是棱AB AD A1B1 A1D1的中點 點P Q分別在棱DD1 BB1上移動 且DP BQ 0 2 1 當 1時 證明 直線BC1 平面EFPQ 2 是否存在 使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角 若存在 求出 的值 若不存在 說明理由 規(guī)律方法空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題 它無需進行復雜的作圖 論證 推理 只需通過坐標運算進行判斷 解題時 把要成立的結論當作條件 據此列方程或方程組 把 是否存在 問題轉化為 點的坐標是否有解 是否有規(guī)定范圍內的解 等 所以為使問題的解決更簡單 有效 應善于運用這一方法解題 訓練3 如圖 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AA1 AD 1 E為CD的中點 1 求證 B1E AD1 2 在棱AA1上是否存在一點P 使得DP 平面B1AE 若存在 求AP的長 若不存在 說明理由 3 若二面角A B1E A1的大小為30 求AB的長 1 空間向量在處理空間問題時具有很大的優(yōu)越性 能把 非運算 問題 運算 化 即通過直線的方向向量和平面的法向量 把立體幾何中的平行 垂直關系 各類角 距離以向量的方式表達出來 把立體幾何問題轉化為空間向量的運算問題 應用的核心是充分認識形體特征 進而建立空間直角坐標系 通過向量的運算解答問題 達到幾何問題代數化的目的 同時注意運算的準確性 2 提醒三點 1 直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對值是線面角的正弦值 而不是余弦值 2 求二面角除利用法向量外 還可以按照二面角的平面角的定義和空間任意兩個向量都是共面向量的知識 我們只要是在二面角的兩個半平面內分別作和二面角的棱垂直的向量 并且兩個向量的方向均指向棱或者都從棱指向外 那么這兩個向量所成的角的大小就是二面角的大小 如圖所示
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