2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第12講 反比例函數(shù)(含解析)
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1、第12講 反比例函數(shù) 反比例函數(shù)解析式的確定 (1)確定方法:待定系數(shù)法; (2)一般步驟: ①設(shè)所求的反比例函數(shù)解析式為y=(k≠0); ②根據(jù)已知條件,得到反比例函數(shù)圖象上一點P(a,b); ③將點P(a,b)代入反比例函數(shù)的解析式得到關(guān)于系數(shù)k的方程; ④解方程得待定系數(shù)k的值; ⑤把k的值代入y=即可得反比例函數(shù)解析式 考點1: 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【例題1】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點A(1,0),B(3,1),C(3,3).反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點D,點P是一次函數(shù)y=kx+3-3k(k≠0)的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點.
2、 (1)求反比例函數(shù)的解析式; (2)通過計算,說明一次函數(shù)y=kx+3-3k(k≠0)的圖象一定經(jīng)過點C; (3)對于一次函數(shù)y=kx+3-3k(k≠0),當(dāng)y隨x的增大而增大時,確定點P橫坐標(biāo)的取值范圍.(不必寫出過程) 【解析】:(1)∵B(3,1),C(3,3),四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD=BC=2,BC⊥x軸. ∴AD⊥x軸. 又∵A(1,0),∴D(1,2). ∵D在反比例函數(shù)y=的圖象上, ∴m=1×2=2.∴反比例函數(shù)的解析式為y=. (2)當(dāng)x=3時,y=kx+3-3k=3, ∴一次函數(shù)y=kx+3-3k(k≠0)的圖象一定過點C.
3、(3)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a,則<a<3. 歸納:反比例函數(shù)中,y隨x的大小變化的情況,應(yīng)分x>0與x<0兩種情況討論,而不能籠統(tǒng)地說成“k<0時,y隨x的增大而增大”.雙曲線上的點在每個象限內(nèi),y隨x的變化是一致的.運用反比例函數(shù)的性質(zhì)時,要注意在每一個象限內(nèi)的要求. 考點2: 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合 【例題2】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB,BC分別相交于M,N 兩點. (1)若點M是AB邊的中點,求反比例函數(shù)y=的解析式和點N的坐標(biāo); (2)若AM=2,求直線MN的解析式及△OMN的面積. 【點撥】(1)由已知可知
4、點M的坐標(biāo),求出k的值,從而求出點N的坐標(biāo);(2)確定點M ,點N的坐標(biāo),三角形面積就可求出. 【解答】解:(1)∵點M是AB邊的中點,∴M(6,3). ∵反比例函數(shù)y=經(jīng)過點M,∴3=.∴k=18. ∴反比例函數(shù)的解析式為y=. 當(dāng)y=6時,x=3,∴N(3,6). (2)由題意,知M(6,2),N(2,6). 設(shè)直線MN的解析式為y=ax+b,則 解得 ∴直線MN的解析式為y=-x+8. ∴S△OMN=S正方形OABC-S△OAM-S△OCN-S△BMN=36-6-6-8=16. 【變式】 在例2中,若△OMN的面積為10,求點M,N的坐標(biāo). 解:∵OA=OC=6
5、,設(shè)M(6,y),則N(y,6). ∴BM=BN=6-y. ∵S△OMN=10, ∴36-×6×y×2-(6-y)2=10,即y2=16. 又∵y>0,∴y=4,∴M(6,4).∴N(4,6). 歸納:1.確定反比例函數(shù)解析式只要一個合適的條件(如圖象上一個點的坐標(biāo))即可.另外將已知點的坐標(biāo)或部分坐標(biāo)代入解析式中,從而確定字母的值是我們經(jīng)常用的方法. 2.雙曲線y=中,根據(jù)k的幾何意義求圖形面積常用圖形有: S陰影=|k| S陰影= S陰影=|k| 3.第一象限內(nèi)的雙曲線本身是軸對稱圖形,正方形也是軸對稱圖形,所以在本題中,圖形是關(guān)于直線y=x的軸對稱圖形,對解
6、答第(2)問提供解題思路. 考點3:反比例函數(shù)的實際應(yīng)用 【例題3】 (2018·樂山)某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時,用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜.如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后,大棚內(nèi)的溫度y(℃)與時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系,其中線段AB,BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段,雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段. 請根據(jù)圖中信息解答下列問題: (1)求這天的溫度y與時間x(0≤x≤24)的函數(shù)關(guān)系式; (2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度; (3)若大棚內(nèi)的溫度低于10 ℃時,蔬菜會受到傷害.問這天內(nèi),恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時,才能使蔬菜避免受到傷害? 【點撥】 (
7、1)用待定系數(shù)法分段求函數(shù)解析式;(2)觀察圖象可得;(3)代入臨界值y=10即可. 【解答】 解:(1)設(shè)線段AB解析式為y=k1x+b(k≠0), ∵線段AB過點(0,10),(2,14),代入,得 解得 ∴AB解析式為y=2x+10(0≤x<5). ∵B在線段AB上,當(dāng)x=5時,y=20. ∴B坐標(biāo)為(5,20). ∴線段BC的解析式為y=20(5≤x<10). 設(shè)雙曲線CD的解析式為y=(k2≠0). ∵C(10,20),∴k2=200. ∴雙曲線CD解析式為y=(10≤x≤24). ∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y= (2)由(1)可知,恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒定溫度
8、為20 ℃. (3)把y=10代入y=中,解得x=20. ∴20-10=10. 答:恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時,蔬菜才能避免受到傷害. 歸納:反比例函數(shù)實際應(yīng)用題是近年中考常見的題型,解題時首先要仔細(xì)審讀題目(或圖象)中給予的信息,挖掘題目(或圖象)中隱含的條件,提取有用信息,綜合運用所學(xué)知識解決問題. 一、選擇題: 1. (2018?柳州)已知反比例函數(shù)的解析式為y=,則a的取值范圍是( ) A.a(chǎn)≠2 B.a(chǎn)≠﹣2 C.a(chǎn)≠±2 D.a(chǎn)=±2 【答案】C 解析:可得:|a|﹣2≠0, 解得:a≠±2, 故選:C. 2. (2019安徽)(4分)已知點A(1,﹣3
9、)關(guān)于x軸的對稱點A'在反比例函數(shù)y=的圖象上,則實數(shù)k的值為( ?。? A.3 B. C.﹣3 D.﹣ 【答案】A 【解答】解:點A(1,﹣3)關(guān)于x軸的對稱點A'的坐標(biāo)為(1,3), 把A′(1,3)代入y=得k=1×3=3. 故選:A. 3. (2018?德州)給出下列函數(shù):①y=﹣3x+2;②y=;③y=2x2;④y=3x,上述函數(shù)中符合條作“當(dāng)x>1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而增大“的是( ?。? A.①③ B.③④ C.②④ D.②③ 【答案】B 【解析】:①y=﹣3x+2,當(dāng)x>1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項錯誤; ②y=,當(dāng)x>1時,函數(shù)值y隨自變
10、量x增大而減小,故此選項錯誤; ③y=2x2,當(dāng)x>1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項正確; ④y=3x,當(dāng)x>1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項正確; 故選:B. 4. (2018?聊城)春季是傳染病多發(fā)的季節(jié),積極預(yù)防傳染病是學(xué)校高度重視的一項工作,為此,某校對學(xué)生宿舍采取噴灑藥物進(jìn)行消毒.在對某宿舍進(jìn)行消毒的過程中,先經(jīng)過5min的集中藥物噴灑,再封閉宿舍10min,然后打開門窗進(jìn)行通風(fēng),室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y(mg/m3)與藥物在空氣中的持續(xù)時間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系,在打開門窗通風(fēng)前分別滿足兩個一次函數(shù),在通風(fēng)后又成反比例,如圖所示.下面四個選項中
11、錯誤的是( ?。? A.經(jīng)過5min集中噴灑藥物,室內(nèi)空氣中的含藥量最高達(dá)到10mg/m3 B.室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達(dá)到了11min C.當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時間不低于35分鐘,才能有效殺滅某種傳染病毒.此次消毒完全有效 D.當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于2mg/m3時,對人體才是安全的,所以從室內(nèi)空氣中的含藥量達(dá)到2mg/m3開始,需經(jīng)過59min后,學(xué)生才能進(jìn)入室內(nèi) 【答案】C 【解答】解:A、正確.不符合題意. B、由題意x=4時,y=8,∴室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達(dá)到了11min,正確,不符合題意; C
12、、y=5時,x=2.5或24,24﹣2.5=21.5<35,故本選項錯誤,符合題意; D、正確.不符合題意, 故選:C. 5. (2018?遵義)如圖,直角三角形的直角頂點在坐標(biāo)原點,∠OAB=30°,若點A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式為( ?。? A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y= 【答案】C 解析:點B作BC⊥x軸于點C,過點A作AD⊥x軸于點D, ∵∠BOA=90°, ∴∠BOC+∠AOD=90°, ∵∠AOD+∠OAD=90°, ∴∠BOC=∠OAD, 又∵∠BCO=∠ADO=90°, ∴△BCO∽△ODA, ∴
13、=tan30°=, ∴=, ∵×AD×DO=xy=3, ∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1, ∴S△AOD=2, ∵經(jīng)過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限, 故反比例函數(shù)解析式為:y=﹣. 故選:C. 二、填空題: 6. (2018·四川宜賓·3分)已知:點P(m,n)在直線y=﹣x+2上,也在雙曲線y=﹣上,則m2+n2的值為 6 【答案】6 【解答】解:∵點P(m,n)在直線y=﹣x+2上, ∴n+m=2, ∵點P(m,n)在雙曲線y=﹣上, ∴mn=﹣1, ∴m2+n2=(n+m)2﹣2mn=4+2=6. 故答案為:6. 7. (2019?浙江
14、紹興?5分)如圖,矩形ABCD的頂點A,C都在曲線y=(常數(shù)是>0,x>0)上,若頂點D的坐標(biāo)為(5,3),則直線BD的函數(shù)表達(dá)式是 y=x?。? 【答案】y=x. 【解答】解:∵D(5,3), ∴A(,3),C(5,), ∴B(,), 設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n, 把D(5,3),B(,)代入得,解得, ∴直線BD的解析式為y=x. 故答案為y=x. 8. (2018?安順)如圖,已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點,與y=的圖象相交于A(﹣2,m)、B(1,n)兩點,連接OA、OB,給出下列結(jié)論:①k1k2<0;②m+n=0;③S△AOP=S△BOQ
15、;④不等式k1x+b的解集是x<﹣2或0<x<1,其中正確的結(jié)論的序號是 【答案】②③④. 【解答】解:由圖象知,k1<0,k2<0, ∴k1k2>0,故①錯誤; 把A(﹣2,m)、B(1,n)代入y=中得﹣2m=n, ∴m+n=0,故②正確; 把A(﹣2,m)、B(1,n)代入y=k1x+b得, ∴, ∵﹣2m=n, ∴y=﹣mx﹣m, ∵已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點, ∴P(﹣1,0),Q(0,﹣m), ∴OP=1,OQ=m, ∴S△AOP=m,S△BOQ=m, ∴S△AOP=S△BOQ;故③正確; 由圖象知不等式k1x+b的
16、解集是x<﹣2或0<x<1,故④正確; 故答案為:②③④. 9. (2019?貴州畢節(jié)?5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,一次函數(shù)y=﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A.B兩點.正方形ABCD的頂點C.D在第一象限,頂點D在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上.若正方形ABCD向左平移n個單位后,頂點C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上,則n的值是 ?。? 【答案】3 【解答】解:過點D作DE⊥x軸,過點C作CF⊥y軸, ∵AB⊥AD, ∴∠BAO=∠DAE, ∵AB=AD,∠BOA=∠DEA, ∴△ABO≌△DAE(AAS), ∴AE=BO,DE=OA, 易求A(1,0),B(0,
17、4), ∴D(5,1), ∵頂點D在反比例函數(shù)y=上, ∴k=5, ∴y=, 易證△CBF≌△BAO(AAS), ∴CF=4,BF=1, ∴C(4,5), ∵C向左移動n個單位后為(4﹣n,5), ∴5(4﹣n)=5, ∴n=3, 故答案為3; 三、解答題: 10. 甲、乙兩家商場進(jìn)行促銷活動,甲商場采用“滿200減100”的促銷方式,即購買商品的總金額滿200元但不足400元,少付100元;滿400元但不足600元,少付200元……乙商場按顧客購買商品的總金額打6折促銷. (1)若顧客在甲商場購買了510元的商品,付款時應(yīng)付多少錢? (2)若顧客在甲商場購買
18、商品的總金額為x(400≤x<600)元,優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p(p=),寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說明p隨x的變化情況; (3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品,在甲、乙兩商場的標(biāo)價都是x(200≤x<400)元,你認(rèn)為選擇哪家商場購買商品花錢較少?請說明理由. 【解析】:(1)510-200=310(元) (2)p=(400≤x<600);p隨x的增大而減小 (3)購x元(200≤x<400)在甲商場的優(yōu)惠額是100元,乙商場的優(yōu)惠額是x-0.6x=0.4x.當(dāng)0.4x<100,即200≤x<250時,選甲商場優(yōu)惠; 當(dāng)0.4x=100,即x=250時,選甲、乙商場
19、一樣優(yōu)惠; 當(dāng)0.4x>100,即250<x<400時,選乙商場優(yōu)惠 11. (2018?菏澤)如圖,已知點D在反比例函數(shù)y=的圖象上,過點D作DB⊥y軸,垂足為B(0,3),直線y=kx+b經(jīng)過點A(5,0),與y軸交于點C,且BD=OC,OC:OA=2:5. (1)求反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式; (2)直接寫出關(guān)于x的不等式>kx+b的解集. 【分析】(1)由OC、OA、BD之間的關(guān)系結(jié)合點A、B的坐標(biāo)可得出點C、D的坐標(biāo),由點D的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出a值,進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的表達(dá)式,再由點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法,即可求出一次函數(shù)
20、的表達(dá)式; (2)將一次函數(shù)表達(dá)式代入反比例函數(shù)表達(dá)式中,利用根的判別式△<0可得出兩函數(shù)圖象無交點,再觀察圖形,利用兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可找出不等式>kx+b的解集. 解:(1)∵BD=OC,OC:OA=2:5,點A(5,0),點B(0,3), ∴OA=5,OC=BD=2,OB=3, 又∵點C在y軸負(fù)半軸,點D在第二象限, ∴點C的坐標(biāo)為(0,﹣2),點D的坐標(biāo)為(﹣2,3). ∵點D(﹣2,3)在反比例函數(shù)y=的圖象上, ∴a=﹣2×3=﹣6, ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣. 將A(5,0)、B(0,﹣2)代入y=kx+b, ,解得:, ∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=
21、x﹣2. (2)將y=x﹣2代入y=﹣,整理得: x2﹣2x+6=0, ∵△=(﹣2)2﹣4××6=﹣<0, ∴一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象無交點. 觀察圖形,可知:當(dāng)x<0時,反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方, ∴不等式>kx+b的解集為x<0. 12. .(2018·泰安)如圖,矩形ABCD的兩邊AD,AB的長分別為3,8,E是DC的中點,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點E,與AB交于點F. (1)若點B坐標(biāo)為(-6,0),求m的值及圖象經(jīng)過A,E兩點的一次函數(shù)的解析式; (2)若AF-AE=2,求反比例函數(shù)的解析式. 【解析】:(1)點B坐標(biāo)為(-6,0),AD=3,
22、AB=8,E為CD的中點, ∴點A(-6,8),E(-3,4). ∵函數(shù)圖象經(jīng)過點E, ∴m=-3×4=-12. 設(shè)AE的解析式為y=kx+b,將點A,E坐標(biāo)代入,得 解得 ∴一次函數(shù)的解析式為y=-x. (2)AD=3,DE=4, ∴AE==5. ∵AF-AE=2,∴AF=7,BF=1. 設(shè)點E坐標(biāo)為(a,4),則點F坐標(biāo)為(a-3,1), ∵E,F(xiàn)兩點在函數(shù)y=圖象上, ∴4a=a-3,解得a=-1. ∴E(-1,4). ∴m=-1×4=-4. ∴反比例函數(shù)的解析式為y=-. 13. (2018·山東青島·8分)已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過三個點A(﹣4,﹣3)
23、,B(2m,y1),C(6m,y2),其中m>0. (1)當(dāng)y1﹣y2=4時,求m的值; (2)如圖,過點B、C分別作x軸、y軸的垂線,兩垂線相交于點D,點P在x軸上,若三角形PBD的面積是8,請寫出點P坐標(biāo)(不需要寫解答過程). 【分析】(1)先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(﹣4,﹣3),利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式為y=,再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出y1==,y2==,然后根據(jù)y1﹣y2=4列出方程﹣=4,解方程即可求出m的值; (2)設(shè)BD與x軸交于點E.根據(jù)三角形PBD的面積是8列出方程??PE=8,求出PE=4m,再由E(2m,0),點P在x軸上,即可求出
24、點P的坐標(biāo). 【解答】解:(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=, ∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(﹣4,﹣3), ∴k=﹣4×(﹣3)=12, ∴反比例函數(shù)的解析式為y=, ∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B(2m,y1),C(6m,y2), ∴y1==,y2== , ∵y1﹣y2=4, ∴﹣=4, ∴m=1; (2)設(shè)BD與x軸交于點E. ∵點B(2m,),C(6m,),過點B、C分別作x軸、y軸的垂線,兩垂線相交于點D, ∴D(2m,),BD=﹣=. ∵三角形PBD的面積是8, ∴BD?PE=8, ∴??PE=8, ∴PE=4m, ∵E(2m,0),點P在x軸上, ∴點
25、P坐標(biāo)為(﹣2m,0)或(6m,0). 14.( 2018·保定二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,△ABO的邊AB垂直于x軸,垂足為點B,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過AO的中點C,且與AB相交于點D,OB=4,AD=3. (1)求反比例函數(shù)y=的解析式; (2)求cos∠OAB的值; (3)求經(jīng)過C,D兩點的一次函數(shù)解析式. 【解析】:(1)設(shè)點D的坐標(biāo)為(4,m)(m>0),則點A的坐標(biāo)為(4,3+m). ∵點C為線段AO的中點, ∴點C的坐標(biāo)為(2,). ∵點C,D均在反比例函數(shù)y=的圖象上, ∴解得 ∴反比例函數(shù)的解析式為y=. (2)∵m=1,∴點A的坐標(biāo)為(4,4), ∴OB=4,AB=4. ∴Rt△AOB是等腰直角三角形. ∴cos∠OAB=cos45°=. (3)∵m=1, ∴點C的坐標(biāo)為(2,2),點D的坐標(biāo)為(4,1). 設(shè)經(jīng)過點C,D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b,則有 解得 ∴經(jīng)過C,D兩點的一次函數(shù)解析式為y=-x+3. 16
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