2020年中考數(shù)學基礎題型提分講練 專題25 推理能力提升(含解析)

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1、專題25 推理能力提升專題卷 (時間:90分鐘 滿分120分) 一、選擇題(每小題3分,共36分) 1.(2019·山西太原五中初三月考)如圖,在△ABC中,點D在AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于E,則下列結(jié)論不正確的是( ) A.BC=3DE B. C.△ADE~△ABC D.S△ADE=S△ABC 【答案】D 【解析】 解:∵BD=2AD,∴AB=3AD,∵DE∥BC,∴=,∴BC=3DE,A結(jié)論正確; ∵DE∥BC,∴,B結(jié)論正確; ∵DE∥BC,∴△ADE~△ABC,C結(jié)論正確; ∵DE∥BC,AB=3AD,∴S△ADE=S△ABC,D結(jié)論錯誤,

2、 故選D. 【點睛】 本題考查平行線分線段成比例及相似三角形的判定和性質(zhì),掌握相關性質(zhì)定理是本題的解題關鍵. 2.(2019·上海中考模擬)下列圖形中一定是相似形的是( ) A.兩個菱形 B.兩個等邊三角形 C.兩個矩形 D.兩個直角三角形 【答案】B 【解析】 解:∵等邊三角形的對應角相等,對應邊的比相等, ∴兩個等邊三角形一定是相似形, 又∵直角三角形,菱形的對應角不一定相等,矩形的邊不一定對應成比例, ∴兩個直角三角形、兩個菱形、兩個矩形都不一定是相似形, 故選:B. 【點睛】 本題考查了相似多邊形的識別.判定兩個圖形相似的依據(jù)是:對應邊成比例,對應

3、角相等,兩個條件必須同時具備. 3.(2019·陜西中考模擬)如圖,在中,點D,E分別為AB,AC邊上的點,且,CD、BE相較于點O,連接AO并延長交DE于點G,交BC邊于點F,則下列結(jié)論中一定正確的是   A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解:A.∵, ∴ ,故不正確; B. ∵, ∴ ,故不正確; C. ∵, ∴∽,∽, , . ,故正確; D. ∵, ∴ ,故不正確; 故選C. 【點睛】 本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關鍵. 4.(2019·哈爾濱市第六十九中學校初三月考)如圖,菱

4、形ABCD的對角線AC=6,BD=8,AE⊥BC于點E,則AE的長是(  ) A.5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵四邊形ABCD是菱形,AC=6cm,BD=8cm, ∴AO=CO=3cm,BO=DO=4cm,∠BOC=90°, ∴BC= =5(cm), ∴AE×BC=BO×AC 故5AE=24, 解得:AE= . 故選:C. 【點睛】 此題考查菱形的性質(zhì),解題關鍵在于結(jié)合勾股定理得出BC的長 5.(2019·福建初一期中)將一副直角三角板如圖放置,使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合,則∠1的度數(shù)為(  ) A.7

5、5° B.60° C.45° D.30° 【答案】A 【解析】 解:由題意可得:∠2=60°,∠5=45°, ∵∠2=60°, ∴∠3=180°-90°-60°=30°, ∴∠4=30°, ∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°. 故選A. 【點睛】 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),解決本題的關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. 6.(2019·寧波華茂國際學校初三期末)如圖,在四邊形ABCD中,,,,AC與BD交于點E,,則的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵,, ∴,,

6、∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 在中,; 故選:C. 【點睛】 本題考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形的應用等知識;熟練掌握解直角三角形,證明三角形相似是解題的關鍵. 7.(2019·浙江初三)如圖,矩形ABCD中,對角線AC=2,E為BC邊上一點,BC=3BE,將矩形ABCD沿AE所在的直線折疊,點B恰好落在對角線AC上的點B′處,P,Q分別是AB,AC上的動點,則PE+PQ的最小值為( ?。? A. B.2 C.1 D.3 【答案】B 【解析】 ∵BC=3BE, ∴EC=2BE, ∵折疊, ∴B

7、E=B'E,∠ABC=∠AB'E=90°,, ∵sin∠ACB=, ∴∠ACB=30°, 在Rt△ABC中,AC=2,∠ACB=30°, ∴AB=,BC=AB=3,∠BAC=60°, ∴∠BAE=∠EAC=30°, 如圖 作點E關于AB的對稱點E',連接AE',PE', ∵PE+PQ=PE'+PQ, ∴當Q,P,E'三點共線,且E'Q⊥AC時, PE+PQ的值最小, ∵BC=3,BC=3BE, ∴BE=1, ∵E',E兩點關于AB對稱, ∴BE'=BE=1,∠EAB=∠E'AB=30°,且∠BAC=60°, ∴∠E'AC=90°, 即PE+PQ的最小值為A

8、E'的值, ∵∠BAE'=30°,BE'=1,AB⊥CB, ∴AE'=2, ∴PE+PQ的最小值為2. 故選:B. 【點睛】 此題考查折疊的性質(zhì),利用三角函數(shù)值求角度,直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,垂線段最短的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì). 8.(2019·山東初二期中)把一副三角板如圖甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A-45°,∠D=30°,斜邊AB=6,DC=7,把三角板DCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1(如圖乙),此時AB與CD1交于點O,則線段AD1的長度為( ) A. B.5 C.4 D. 【答案】B 【解析】 由題意易知:

9、∠CAB=45°,∠ACD=30°, 若旋轉(zhuǎn)角度為15°,則∠ACO=30°+15°=45°. ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°. 在等腰Rt△ABC中,AB=6,則AC=BC=. 同理可求得:AO=OC=3. 在Rt△AOD1中,OA=3,OD1=CD1-OC=4, 由勾股定理得:AD1=5.故選B. 9.(2020·山東初二期末)如圖,在中,點為的中點,平分,且于點,延長交于點.若,,則的長為( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】 解:∵平分,且 ∴, 在△ADB和△ADN中, ∴△ADB≌△ADN(ASA)

10、 ∴BD=DN,AN=AB=4, ∵點為的中點, ∴NC=2DM=2, ∴AC=AN+NC=6, 故選B. 【點睛】 本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì),三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半. 10.(2019·重慶西南大學附中初三月考)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠ADC=120°,連接BD,把△ABD沿BD翻折,得到△A′BD,連接A′C,若AB=3,∠ABD=60°,則點D到直線A′C的距離為( ?。? A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 過點D作DE⊥A′C于E,過A'作A'F⊥CD于F,如圖所示:

11、 ∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC,∠ADC+∠BCD=180°,∠BCD=180°﹣120°=60°, ∵∠ABD=60°, ∴∠ADB=30°, ∴BD=2AB=6,AD=AB=3,∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=120°﹣30°=90°,∠DBC=30°, ∴CD=tan∠DBC?BD=tan30°×6=×6=2, 由折疊的性質(zhì)得:∠A'DB=∠ADB=30°,A'D=AD=3, ∴∠A'DC=120°﹣30°﹣30°=60°, ∵A'F⊥CD, ∴∠DA'F=30°, ∴DF=A'D=,A'F=DF=, ∴CF=CD﹣DF=2﹣=, ∴A'C==, ∵△

12、A'CD的面積=A'C×DE=CD×A'F, ∴, 即D到直線A′C的距離為; 故選:C. 【點睛】 此題考查折疊的性質(zhì),三角函數(shù),勾股定理,直角三角形的30角所對的直角邊等于斜邊的一半. 11.(2019·南通市八一中學初二月考)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=1,E為BC的中點,則對角線BD上的動點P到E、C兩點的距離之和的最小值為(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解:∵四邊形ABCD為菱形, ∴A、C關于BD對稱, ∴連AE交BD于P, 則PE+PC=PE+AP=AE, 根據(jù)兩點之間線段最短,AE的長即為PE+

13、PC的最小值. ∵∠ABC=60°,AB=BC ∴△ABC為等邊三角形, 又∵BE=CE , ∴AE⊥BC, ∴AE==. 故選:C. 【點睛】 本題主要考查最短距離問題,掌握勾股定理,等邊三角形的性質(zhì)及菱形的對稱性是解題的關鍵. 12.(2019·重慶初三期末)如圖,將小正方形AEFG繞大正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(其中0°≤α≤90°),連接BG、DE相交于點O,再連接AO、BE、DG.王凱同學在探究該圖形的變化時,提出了四個結(jié)論: ①BG=DE;②BG⊥DE;③∠DOA=∠GOA;④S△ADG=S△ABE,其中結(jié)論正確的個數(shù)有(  ) A

14、.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【答案】D 【解析】 ∵∠DAB=∠EAG=90°, ∴∠DAE=∠BAG, 又∵AD=AB,AG=AE, ∴△DAE≌△BAG(SAS), ∴BG=DE,∠ADE=∠ABG, 故①符合題意, 如圖1,設點DE與AB交于點P, ∵∠ADE=∠ABG,∠DPA=∠BPO, ∴∠DAP=∠BOP=90°, ∴BG⊥DE, 故②符合題意, 如圖1,過點A作AM⊥DE,AN⊥BG, ∵△DAE≌△BAG, ∴S△DAE=S△BAG, ∴DE×AM=×BG×AN, 又∵DE=BG, ∴AM=AN,且AM⊥DE,AN⊥BG,

15、∴AO平分∠DOG, ∴∠AOD=∠AOG, 故③符合題意, 如圖2,過點G作GH⊥AD交DA的延長線于點H,過點E作EQ⊥AD交DA的延長線于點Q, ∴∠EAQ+∠AEQ=90°,∠EAQ+∠GAQ=90°, ∴∠AEQ=∠GAQ, 又∵AE=AG,∠EQA=∠AHG=90°, ∴△AEQ≌△GAH(AAS) ∴AQ=GH, ∴AD×GH=AB×AQ, ∴S△ADG=S△ABE, 故④符合題意, 故選:D. 【點睛】 本題主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合,添加輔助線,構(gòu)造全等三角形,是解題的關鍵. 二、填空題(每小題3分,共18分)

16、13.(2019·河南初三期中)如圖,已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一點E,沿AE將△ABE向上折疊,使B點落在AD上的F點.若四邊形EFDC與矩形ABCD相似,則AD=________ 【答案】 【解析】 ∵沿AE將△ABE向上折疊,使B點落在AD上的F點, ∴四邊形ABEF是正方形, ∵AB=1, 設AD=x,則FD=x?1,F(xiàn)E=1, ∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似, ∴, , 解得x1=,x2= (負值舍去), 經(jīng)檢驗x1=是原方程的解. 【點睛】 本題考查了折疊的性質(zhì)及相似多邊形的性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵. 14.(2019·銀

17、川外國語實驗學校初三期中)如圖,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延長線于點F,若AD=1,BD=2,BC=4,則EF=________. 【答案】 【解析】 ∵DE∥BC, ∴∠F=∠FBC, ∵BF平分∠ABC, ∴∠DBF=∠FBC, ∴∠F=∠DBF, ∴DB=DF, ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ ,即 , 解得:DE= , ∵DF=DB=2, ∴EF=DF-DE=2- = , 故答案為. 【點睛】 此題考查相似三角形的判定和性質(zhì),關鍵是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC. 15.(2019·河北初三期末)如圖,

18、在邊長為9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,則AE的長為   ?。? 【答案】7 【解析】 ∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,AB=BC. ∴CD=BC-BD=9-3=6,;∠BAD+∠ADB=120°. ∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°.∴∠DAB=∠EDC. 又∵∠B=∠C=60°,∴△ABD∽△DCE. ∴,即. ∴. 16.(2019·陜西初三期末)如圖,已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上,頂點G、F分別在邊AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面積是6,那么這個正方形的邊長是_____. 【答案】

19、 【解析】 作AH⊥BC于H,交GF于M,如圖, ∵△ABC的面積是6, ∴BC?AH=6, ∴AH==3, 設正方形DEFG的邊長為x,則GF=x,MH=x,AM=3﹣x, ∵GF∥BC, ∴△AGF∽△ABC, ∴,即,解得x=, 即正方形DEFG的邊長為, 故答案為. 【點睛】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),正確添加輔助線求出BC邊上的高是解題的關鍵. 17.(2019·湖北中考真題)如圖,兩個大小不同的三角板放在同一平面內(nèi),直角頂點重合于點,點在上,,與交于點,連接,若,,則_____. 【答案】. 【解析】 解:如圖,過點作于點,過點作于點

20、, ∵,, ∴, ∵在中,, ∴, 在與中, ∵, ∴, ∴, ∵, ∵, ∴, ∴∽, ∴,∴, ∴,, ∴, 在中, , 在中,, ∴,, 在中, , 在中, , ∵, ∴∽, ∴, 故答案為:. 【點睛】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形等,解題關鍵是能夠通過作適當?shù)妮o助線構(gòu)造相似三角形,求出對應線段的比. 18.(2019·山東初三)如圖,點 C 為 Rt△ACB 與 Rt△DCE 的公共點,∠ACB=∠DCE=90°,連 接 AD、BE,過點 C 作 CF⊥AD 于點 F,延長 FC 交 BE 于

21、點 G,若 AC=BC=25,CE=15, DC=20,則的值為___________. 【答案】 【解析】 如圖,過 E作 EH⊥GF于 H,過 B 作 BP⊥GF于P,則∠EHG=∠BPG=90°, 又∵∠EGH=∠BGP, ∴△EHG∽△BPG, ∴=, ∵CF⊥AD, ∴∠DFC=∠AFC=90°, ∴∠DFC=∠CHF,∠AFC=∠CPB, 又∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠CDF=∠ECH,∠FAC=∠PCB, ∴△DCF∽△CEH,△ACF∽△CBP, ∴, ∴EH=CF,BP=CF, ∴=, ∴=, 故答案為. 【點睛】 本題

22、考查了相似三角形的判定與性質(zhì),正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形,利用相似三角形的對應邊成比例進行推導是解題的關鍵. 三、解答題(每小題6分,共12分) 19.(2019·四川中考真題)如圖,線段、相交于點, ,.求證:. 【答案】詳見解析 【解析】 證明:在△AEB和△DEC中, ∴△AEB≌△DEC 故. 【點睛】 本題考查了全等三角形中角邊角的判定,軸對稱型全等三角形的模型,掌握即可解題. 20.(2019·江蘇初二期末)如圖,在?ABCD 中,對角線 AC,BD 相交于點 O,過點 O 的一條直線分別交 AD,BC 于點 E,F(xiàn).求證:AE=CF. 【

23、答案】證明見解析. 【解析】 ∵?ABCD 的對角線 AC,BD 交于點 O, ∴AO=CO,AD∥BC, ∴∠EAC=∠FCO, 在△AOE 和△COF 中, ∴△AOE≌△COF(ASA), ∴AE=CF. 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵. 四、解答題(每小題8分,共16分) 21.(2019·黑龍江初三)如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對角線BD中點O的直線分別交AB,CD邊于點E,F(xiàn). (1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形; (2)當四邊形BEDF是菱形時,求EF的長.

24、 【答案】(1)證明見解析;(2). 【解析】 (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,O是BD的中點, ∴∠A=90°,AD=BC=4,AB∥DC,OB=OD, ∴∠OBE=∠ODF, 在△BOE和△DOF中, ∴△BOE≌△DOF(ASA), ∴EO=FO, ∴四邊形BEDF是平行四邊形; (2)當四邊形BEDF是菱形時,BD⊥EF, 設BE=x,則?DE=x,AE=6-x, 在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2, ∴x2=42+(6-x)2, 解得:x= , ∵BD= =2, ∴OB=BD=, ∵BD⊥EF, ∴EO==, ∴EF=2EO=

25、. 點睛:本題主要考查了矩形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理,證明三角形全等是解決問的關鍵 22.(2019·全國初三課時練習)如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點,且∠AFE=∠B (1)求證:△ADF∽△DEC; (2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的長. 【答案】(1)見解析(2)6 【解析】 解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB∥CD,AD∥BC ∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC ∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠

26、B, ∴∠AFD=∠C 在△ADF與△DEC中,∵∠AFD=∠C,∠ADF=∠DEC, ∴△ADF∽△DEC (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴CD=AB=8. 由(1)知△ADF∽△DEC, ∴, ∴ 在Rt△ADE中,由勾股定理得: 五、解答題(每小題9分,共18分) 23.(2019·山東初三期中)如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC. (1)求證:△ADE∽△ABC; (2)若AD=3,AB=5,求的值. 【答案】(1)證明見解析;(2). 【解析】 (1)∵AG⊥

27、BC,AF⊥DE, ∴∠AFE=∠AGC=90°, ∵∠EAF=∠GAC, ∴∠AED=∠ACB, ∵∠EAD=∠BAC, ∴△ADE∽△ABC, (2)由(1)可知:△ADE∽△ABC, ∴ 由(1)可知:∠AFE=∠AGC=90°, ∴∠EAF=∠GAC, ∴△EAF∽△CAG, ∴, ∴= 考點:相似三角形的判定 24.(2019·湖州市第五中學初三)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.點D在直線CB上,以CA,CD為邊作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點分別為F,G, (1)如圖,點D在線段CB上,四邊形ACDE是正方形. ①若點G

28、為DE的中點,求FG的長. ②若DG=GF,求BC的長. (2)已知BC=9,是否存在點D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求該三角形的腰長;若不存在,試說明理由. 【答案】(1)①,②12;(2)等腰的腰長為4或20或或.理由見解析. 【解析】 (1)①在正方形中,, 在中,, , , , , , ②如圖1中, 正方形中,,, , , ,設, , , , , 在中,, , 解得, , 在中,. (2)在中,, 如圖2中, 當點在線段上時,此時只有, , , 設,則,, ,則, , , , , 整理

29、得:, 解得或5(舍棄) 腰長. 如圖3中, 當點在線段的延長線上,且直線,的交點中上方時,此時只有,設,則,, , , , , , 解得或(舍棄), 腰長. 如圖4中, 當點在線段的延長線上,且直線,的交點中下方時,此時只有,過點作. 設,則,,, , , , , , , , 解得或(舍棄) 腰長, 如圖5中, 當點在線段的延長線上時,此時只有,作于. 設,則,,, , , , , , , , 解得或(舍棄), 腰長, 綜上所述,等腰的腰長為4或20或或. 【點睛】 本題考查四邊形綜合題、正方

30、形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題,屬于中考壓軸題. 六、解答題(每小題10分,共20分) 25.(2019·河北初三期末)△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,以D為頂點作∠MDN=∠B. (1)如圖(1)當射線DN經(jīng)過點A時,DM交AC邊于點E,不添加輔助線,寫出圖中所有與△ADE相似的三角形. (2)如圖(2),將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),DM,DN分別交線段AC,AB于E,F(xiàn)點(點E與點A不重合),不添加輔助線,寫出圖中所有的相似三角形,并證明你的結(jié)論. (3)在圖

31、(2)中,若AB=AC=10,BC=12,當△DEF的面積等于△ABC的面積的時,求線段EF的長. 【答案】(1)△ABD,△ACD,△DCE(2)△BDF∽△CED∽△DEF,證明見解析;(3)5. 【解析】 解:(1)圖(1)中與△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE. (2)△BDF∽△CED∽△DEF,證明如下: ∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°,∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°, 又∵∠EDF=∠B, ∴∠BFD=∠CDE. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∴△BDF∽△CED. ∴. ∵BD=CD, ∴,即. 又∵∠C=∠EDF, ∴△

32、CED∽△DEF. ∴△BDF∽△CED∽△DEF. (3)連接AD,過D點作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分別為G,H. ∵AB=AC,D是BC的中點, ∴AD⊥BC,BD=BC=6. 在Rt△ABD中,AD2=AB2﹣BD2,即AD2=102﹣62, ∴AD=8. ∴S△ABC=?BC?AD=×12×8=48, S△DEF=S△ABC=×48=12. 又∵?AD?BD=?AB?DH, ∴. ∵△BDF∽△DEF, ∴∠DFB=∠EFD. ∵DH⊥BF,DG⊥EF, ∴∠DHF=∠DGF. 又∵DF=DF, ∴△DHF≌△DGF(AAS). ∴DH

33、=DG=. ∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12, ∴EF=5. 【點睛】 本題考查了和相似有關的綜合性題目,用到的知識點有三角形相似的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用,靈活運用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵,解答時,要仔細觀察圖形、選擇合適的判定方法,注意數(shù)形結(jié)合思想的運用. 26.(2019·江蘇初三期中)如圖,在△AOB中,∠AOB為直角,OA=6,OB=8,半徑為2的動圓圓心Q從點O出發(fā),沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動,同時動點P從點A出發(fā),沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動,設運動時間為t秒(0<t≤5)以P為圓心,

34、PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D,連結(jié)CD、QC. (1)當t為何值時,點Q與點D重合? (2)當⊙Q經(jīng)過點A時,求⊙P被OB截得的弦長. (3)若⊙P與線段QC只有一個公共點,求t的取值范圍. 【答案】(1);(2);(3)0<t≤或<t≤5. 【解析】 (1)∵OA=6,OB=8, ∴由勾股定理可求得:AB=10, 由題意知:OQ=AP=t, ∴AC=2t, ∵AC是⊙P的直徑, ∴∠CDA=90°, ∴CD∥OB, ∴△ACD∽△ABO, ∴, ∴AD=, 當Q與D重合時, AD+OQ=OA, ∴+t=6, ∴t=; (2

35、)當⊙Q經(jīng)過A點時,如圖 OQ=OA﹣QA=4, ∴t==4s, ∴PA=4, ∴BP=AB﹣PA=6, 過點P作PE⊥OB于點E,⊙P與OB相交于點F、G, 連接PF, ∴PE∥OA, ∴△PEB∽△AOB, ∴, ∴PE=3.6, ∴由勾股定理可求得:EF=, 由垂徑定理可求知:FG=2EF=; (3)當QC與⊙P相切時,如圖 此時∠QCA=90°, ∵OQ=AP=t, ∴AQ=6﹣t,AC=2t, ∵∠A=∠A, ∠QCA=∠ABO, ∴△AQC∽△ABO, ∴, ∴, ∴t=, ∴當0<t≤時,⊙P與QC只有一個交點, 當QC⊥OA時, 此時Q與D重合, 由(1)可知:t=, ∴當<t≤5時,⊙P與QC只有一個交點, 綜上所述,當,⊙P與QC只有一個交點,t的取值范圍為:0<t≤或<t≤5.

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