甘肅省2019年中考數學總復習 第四單元 圖形初步與三角形單元檢測（四）圖形初步與三角形練習

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1、 單元檢測(四)　圖形初步與三角形 (考試用時:90分鐘　滿分:120分) 一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 　　　　 　　　　　 　　　　　 1.如圖,三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上.若∠1=35°,則∠2的度數是 (　　) A.35° B.45° C.55° D.65° 答案C 解析∵∠1+∠3=90°,∠1=35°, ∴∠3=55°, ∴∠2=∠3=55°. 2.已知下列命題:①若>1,則a>b;②若a+b=0,則|a|=|b|;③等邊三角形的三個內角都相等;④底角相等的兩個等腰三角形全等.其中原命題與逆命題均為真命題的個數是(

2、　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 答案A 解析∵當b<0時,如果>1,那么a

3、5°米 C.100tan 35°米 D.100tan 55°米 答案C 解析∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35°, ∴小河寬PA=PCtan∠PCA=100tan 35°米. 4.在平面直角坐標系xOy中,將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置,直角頂點C的坐標為(1,0),頂點A的坐標為(0,2),頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上,現將直角三角板沿x軸正方向平移,當頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動,則此時點C的對應點C'的坐標為(　　) A.,0 B.(2,0) C.,0 D.(3,0) 答案C 解析過點B作BD⊥x軸于點D, ∵∠ACO+∠BCD=90°,

4、∠OAC+ACO=90°, ∴∠OAC=∠BCD, 在△ACO與△BCD中, ∴△ACO≌△CBD(AAS),∴OC=BD,OA=CD, ∵A(0,2),C(1,0)∴OD=3,BD=1,∴B(3,1), ∴設反比例函數的解析式為y=, 將B(3,1)代入y=,得k=3,∴y=,∴把y=2代入y=,得x=, 當頂點A恰好落在該雙曲線上時,此時點A移動了個單位長度, ∴C也移動了個單位長度,此時點C的對應點C'的坐標為,0. 5. 如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=(　　) A.2 B

5、.3 C.4 D.2 答案C 解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE為AB邊上的中線,∴CE=AE=5, 又∵AD=2,∴DE=AE-AD=5-2=3, ∵CD為AB邊上的高,∴∠CDE=90°, ∴△CDE為直角三角形 ∴CD==4. 6. (2018湖南婁底)如圖,由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169,小正方形的面積為49,則sin α-cos α=(　　) A. B.- C. D.- 答案D 解析∵小正方形面積為49,大正方形面積為169, ∴小正方形的邊長是7,大正方形的邊長是13,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7

6、+AC)2=132, 整理得AC2+7AC-60=0,解得AC=5,AC=-12(舍去), ∴BC==12, ∴sin α=,cos α=, ∴sin α-cos α==-. 7. (2018陜西)在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足為D,∠ABC的平分線交AD于點E,則AE的長為(　　) A. B.2 C. D.3 答案C 解析∵AD⊥BC,∴△ADC是直角三角形, ∵∠C=45°,∴∠DAC=45°,∴AD=DC, ∵AC=8,∴AD=4,在Rt△ABD中,∠B=60°,∴BD=, ∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30°,

7、∴DE=BD·tan 30°=, ∴AE=AD-DE=4. 8.(2018湖北黃岡)如圖,在△ABC中,DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點D和E,∠B=60°,∠C=25°,則∠BAD為(　　) A.50° B.70° C.75° D.80° 答案B 解析由三角形的內角和定理,得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-25°=95°. 又由垂直平分線的性質,知∠C=∠DAC=25°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠C=∠BAD+25°=95° ∴∠BAD=95°-25°=70°. 9.如圖,△ABC的面積是12,點D,E,F,G分別是B

8、C,AD,BE,CE的中點,則△AFG的面積是(　　) A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 答案A 解析∵點D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點,∴AD是△ABC的中線,BE是△ABD的中線,CF是△ACD的中線,AF是△ABE的中線,AG是△ACE的中線, ∴△AEF的面積=×△ABE的面積=×△ABD的面積=×△ABC的面積=, 同理可得△AEG的面積=, △BCE的面積=×△ABC的面積=6, 又∵FG是△BCE的中位線,∴△EFG的面積=×△BCE的面積=, ∴△AFG的面積是×3==4.5. 10. (2018江蘇南通)如圖,等邊△ABC的邊長

9、為3 cm,動點P從點A出發(fā),以每秒1 cm的速度,沿A→B→C的方向運動,到達點C時停止,設運動時間為x(s),y=PC2,則y關于x的函數的圖象大致為 (　　) 答案C 解析∵正△ABC的邊長為3 cm, ∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=3 cm. ①當0≤x≤3時,即點P在線段AB上時,AP=x cm(0≤x≤3); 解法一:根據余弦定理知cos A=,即, 解得y=x2-3x+9(0≤x≤3);該函數圖象是開口向上的拋物線; 解法二:過C作CD⊥AB,則AD=1.5 cm,CD= cm, 點P在AB上時,AP=x cm,PD=|1.5-x| cm,∴y=PC2=2

10、+(1.5-x)2=x2-3x+9(0≤x≤3), 該函數圖象是開口向上的拋物線; ②當3

11、∠1=110°,∠2=100°,則∠3=　　　　　.? 答案150° 解析如圖, ∵m∥n,∠1=110°,∴∠4=70°, ∵∠2=100°,∴∠5=80°, ∴∠6=180°-∠4-∠5=30°, ∴∠3=180°-∠6=150°. 13.三角形三邊長分別為3,4,5,那么最長邊上的中線長等于　　　　　.? 答案2.5 解析∵32+42=25=52,∴該三角形是直角三角形,∴×5=2.5. 14.(2018湖南湘潭)《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一,在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?”翻譯成

12、數學問題是:如圖所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的長,如果設AC=x,則可列方程為　　　　　.? 答案x2+32=(10-x)2 解析設AC=x,∵AC+AB=10,∴AB=10-x. ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2. 15.一個三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊長是方程x2-10x+21=0的根,則三角形的周長為　　　　　.? 答案16 解析x2-10x+21=0,因式分解得(x-3)(x-7)=0,解得x1=3,x2=7, ∵三角形的第三邊是x2-10x+21=0的根,

13、∴三角形的第三邊為3或7, 當三角形第三邊為3時,3+3=6,不能構成三角形,舍去; 當三角形第三邊為7時,三角形三邊分別為3,6,7,能構成三角形, 則第三邊的長為7. ∴三角形的周長為:3+6+7=16. 16. (2018湖南婁底)如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D點,DE⊥AB于點E,BF⊥AC于點F,DE=3 cm,則BF=　　　　　cm.? 答案6 解析在Rt△ADB與Rt△ADC中, ,∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL). ∴S△ABC=2S△ABD=2×AB·DE=AB·DE=3AB, ∵S△ABC=AC·BF,∴AC·BF=3AB, ∵

14、AC=AB,∴BF=3,∴BF=6. 17.(2018四川達州)如圖,△ABC的周長為19,點D,E在邊BC上,∠ABC的平分線垂直于AE,垂足為N,∠ACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為　　　　　.? 答案 解析∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE, 在△BNA和△BNE中, ∴△BNA≌△BNE(ASA),∴BA=BE, ∴△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,∴點N是AE中點,點M是AD中點(三線合一),∴MN是△ADE的中位線, ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=B

15、E+CD-BC=5, ∴MN=DE=. 18.(2018廣東)如圖,已知等邊△OA1B1,頂點A1在雙曲線y=(x>0)上,點B1的坐標為(2,0).過B1作B1A2∥OA1交雙曲線于點A2,過A2作A2B2∥A1B1交x軸于點B2,得到第二個等邊△B1A2B2;過B2作B2A3∥B1A2交雙曲線于點A3,過A3作A3B3∥A2B2交x軸于點B3,得到第三個等邊△B2A3B3;以此類推,…,則點B6的坐標為　　　　　.? 答案(2,0) 解析如圖,作A2C⊥x軸于點C,設B1C=a,則A2C=a, OC=OB1+B1C=2+a,A2(2+a,a). ∵點A2在雙曲線y=(x

16、>0)上, ∴(2+a)·a=, 解得a=-1,或a=--1(舍去), ∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2, ∴點B2的坐標為(2,0); 作A3D⊥x軸于點D,設B2D=b,則A3D=b, OD=OB2+B2D=2+b,A2(2+b,b). ∵點A3在雙曲線y=(x>0)上, ∴(2+b)·b=, 解得b=-,或b=-(舍去), ∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2, ∴點B3的坐標為(2,0); 同理可得點B4的坐標為(2,0)即(4,0);…, ∴點Bn的坐標為(2,0), ∴點B6的坐標為(2,0). 三、解答題(本大題共6小題,共58分)

17、 19.(8分)(2018貴州銅仁)已知:如圖,點A,D,C,B在同一條直線上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求證:AE∥BF. 證明∵AD=BC,∴AC=BD, 在△ACE和△BDF中, ∴△ACE≌△BDF(SSS), ∴∠A=∠B,∴AE∥BF. 20.(8分)(2018浙江杭州)閱讀下列題目的解題過程: 已知a,b,c為△ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷△ABC的形狀. 解 ∵a2c2-b2c2=a4-b4(A) ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B) ∴c2=a2+b2(C) ∴△ABC是直角三角形 問:(1

18、)上述解題過程,從哪一步開始出現錯誤?請寫出該步的代號:　　　　　;? (2)錯誤的原因為:　　　　　　　　　　;? (3)本題正確的結論為:　　　　　　　　　　.? 解(1)由題目中的解答步驟可得, 錯誤步驟的代號為:C; (2)錯誤的原因為:沒有考慮a=b的情況, (3)本題正確的結論為:△ABC是等腰三角形或直角三角形. 21.(10分)如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分別是BG,AC的中點. (1)求證:DE=DF,DE⊥DF; (2)連接EF,若AC=10,求EF的長. (1)證明∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,

19、 在△BDG和△ADC中, ∴△BDG≌△ADC(SAS), ∴BG=AC,∠BGD=∠C, ∵∠ADB=∠ADC=90°,E,F分別是BG,AC的中點,∴DE=BG=EG,DF=AC=AF,∴DE=DF,∠EDG=∠EGD,∠FDA=∠FAD,∴∠EDG+∠FDA=90°,∴DE⊥DF; (2)解∵AC=10,∴DE=DF=5,由勾股定理得,EF==5. 22.(10分)(2018湖南張家界)2017年9月8日—10日,第六屆翼裝飛行世界錦標賽在我市天門山風景區(qū)隆重舉行,來自全球11個國家的16名選手參加了激烈的角逐.如圖,某選手從離水平地面1 000米高的A點出發(fā)(AB=1 00

20、0米),沿俯角為30°的方向直線飛行1 400米到達D點,然后打開降落傘沿俯角為60°的方向降落到地面上的C點,求該選手飛行的水平距離BC. 解過點D作DE⊥AB于E,DF⊥BC于點F, 由題意知∠ADE=30°,∠CDF=30°,在Rt△DAE中. AE=AD=×1 400=700, cos∠ADE=, DE=1 400×=700 EB=AB-AE=1 000-700=300 DF=BE=300 tan∠CDF= FC=300×=100 ∴BC=BF+FC=DE+FC=700+100=800(米). 23.(10分)在△ABC中,∠A=30°,點P從點A出發(fā)以2

21、 cm/s的速度沿折線A-C-B運動,點Q從點A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運動,P,Q兩點同時出發(fā),當某一點運動到點B時,兩點同時停止運動.設運動時間為x(s),△APQ的面積為y(cm2),y關于x的函數圖象由C1,C2兩段組成,如圖2所示. (1)求a的值; (2)求圖2中圖象C2段的函數表達式; (3)當點P運動到線段BC上某一段時△APQ的面積,大于當點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積,求x的取值范圍. 解(1)如圖,作PD⊥AB于D, ∵∠A=30°,∴PD=AP=x, 由題圖2可知,當x=1時,y=, ∴×a×1=,∴a=1. (2)如圖,作PD

22、⊥AB于D, 由圖象可知,PB=5×2-2x=10-2x,PD=PB·sin B=(10-2x)·sin B, ∴y=×AQ×PD=x×(10-2x)·sin B, ∵當x=4時,y=,∴×4×(10-2×4)·sin B=,解得sin B=, ∴y=x×(10-2x)×=-x2+x; (3)x2=-x2+x, 解得x1=0,x2=2, 由圖象可知,當x=2時,y=x2有最大值,最大值是×22=2, -x2+x=2, 解得,x1=3,x2=2, ∴當2

23、分)(2018貴州安順)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=-1,且拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,其中A(1,0),C(0,3). (1)若直線y=mx+n經過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式; (2)在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標; (3)設點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點,求使△PBC為直角三角形的點的坐標. 解(1)依題意得解之得 ∴拋物線的解析式:y=-x2-2x+3. ∵對稱軸為x=-1,且拋物線經過A(1,0), ∴把B(-3,0),C(0,3)分

24、別代入直線y=mx+n,得,解之得, ∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3. (2)直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小,把x=-1代入直線y=x+3得y=2, ∴M(-1,2).即當點M到點的距離與到點的距離之和最小時M的坐標為(-1,2). (注:本題只求M坐標沒說要證明為何此時MA+MC的值最小,所以答案沒證明MA+MC的值最小的原因). (3)設P(-1,t),又B(-3,0),C(0,3), ∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10, ①若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10解之得t=-2, ②若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2解之得t=4, ③若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18解之得 t1=,t2=. 綜上所述的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或-1,或-1,. 15