高中數(shù)學(xué)立體幾何中的向量方法(Ⅱ)-求空間角與距離.doc
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8.7 立體幾何中的向量方法(Ⅱ)----求空間角與距離 一、填空題 1.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)M在AC1上且=,N為B1B的中點(diǎn),則||為________. 解析 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0), C1(0,a,a),N. 設(shè)M(x,y,z), ∵點(diǎn)M在AC1上且=, ∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z) ∴x=a,y=,z=. 得M, ∴||= =a. 答案 a 2.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則sin〈,〉的值為________. 解析 設(shè)正方體的棱長為2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為 z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可知=(2,-2,1),=(2,2,-1), cos〈,〉=-,所以sin〈,〉=. 答案 3.兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平面的一個(gè)法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是________. 解析 兩平面的一個(gè)單位法向量n0=,故兩平面間的距離 d=|n0|=. 答案 4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________. 解析 建立坐標(biāo)系如圖, 則A(1,0,0),E(0,2,1), B(1,2,0),C1(0,2,2). =(-1,0,2),=(-1,2,1), cos〈,〉==. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案 5.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn),則直線NO、AM的位置關(guān)系是________. 解析 建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,t,2),=(-1,1-t,-2),=(-2,0,1),=0,則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直. 答案 異面垂直 6.已知直二面角αlβ,點(diǎn)A∈α,AC⊥l,C為垂足,點(diǎn)B∈β,BD⊥l,D為垂足,若AB=2,AC=BD=1,則CD=________. 解析 如圖,建立直角坐標(biāo)系Dxyz,由已知條件B(0,0,1),A(1,t,0)(t>0),由AB=2解得t=. 答案 7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中點(diǎn),G是DD1中點(diǎn),F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FB=BC,則GB與EF所成的角為________. 解析 如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz, 設(shè)DA=1,由已知條件 G,B,E,F(xiàn),=, = cos〈,〉==0,則⊥. 答案 90 8.正四棱錐S ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角的大小為________. 解析 如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a, 則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P. 則=(2a,0,0),=,=(a,a,0). 設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1), 則cos〈,n〉===. ∴〈,n〉=60, ∴直線BC與平面PAC的夾角為90-60=30. 答案 30 9.已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________. 解析 如圖,建立直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA=1由已知條件A(1,0,0),E,F(xiàn) =,= 設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z), 面AEF與面ABC所成的二面角為θ 由 令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3) 平面ABC的法向量為m=(0,0,-1) cos θ=cos〈n,m〉=,tan θ=. 答案 10.如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為正三角形,底面ABCD為正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足MP=MC,則點(diǎn)M 在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為________. 解析 以D為原點(diǎn),DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖: 設(shè)M(x,y,0),設(shè)正方形邊長為a,則P,C(0,a,0), 則MC=, MP=. 由MP=MC得x=2y,所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y=x的一部分. 答案?、? 11.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)P在線段BD1上,當(dāng)∠APC最大時(shí),三棱錐PABC的體積為________. 解析 以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA為x軸,BC為y軸,BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示). 設(shè)B=λ,可得:P(λ,λ,λ). 再由cos ∠APC=可求得 當(dāng)λ=時(shí),∠APC最大. 故VPABC=11=. 答案 12.P是二面角αABβ棱上的一點(diǎn),分別在α、β平面上引射線PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45,∠MPN=60,那么二面角αABβ的大小為________. 解析 不妨設(shè)PM=a,PN=b,如圖, 作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F, ∵∠EPM=∠FPN=45, ∴PE=a,PF=b, ∴=(-)(-) =--+ =abcos 60-abcos 45-abcos 45+ab =--+=0, ∴⊥,∴二面角αABβ的大小為90. 答案 90 13.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a與b的夾角的余弦值為,則 λ=________. 解析 由已知得==, ∴8 =3(6-λ),解得λ=-2或λ=. 答案?。?或 二、解答題 14. 如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.四邊形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45. (1)求證:平面PAB⊥平面PAD; (2)設(shè)AB=AP.若直線PB與平面PCD所成的角為30,求線段AB的長. 解析:(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD, AB?平面ABCD, 所以PA⊥AB. 又AB⊥AD,PA∩AD=A, 所以AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz(如圖). 在平面ABCD內(nèi),作CE∥AB交AD于點(diǎn)E,則CE⊥AD. 在Rt△CDE中,DE=CDcos45=1,CE=CDsin45=1. 設(shè)AB=AP=t,則B(t,0,0),P(0,0,t). 由AB+AD=4得AD=4-t, 所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0), =(0,4-t,-t). 設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z), 由n⊥,n⊥,得 取x=t,得平面PCD的一個(gè)法向量n=(t,t,4-t). 又=(t,0,-t),故由直線PB與平面PCD所成的角為30得 cos60=||,即=, 解得t=或t=4(舍去,因?yàn)锳D=4-t>0), 所以AB=. 15.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90,∠BAC=30,BC=1,A1A=,M是CC1的中點(diǎn). (1)求證:A1B⊥AM; (2)求二面角B AMC的平面角的大?。? 解析 (1)證明 以點(diǎn)C為原點(diǎn),CB、CA、CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,如圖所示, 則B(1,0,0),A(0,,0),A1(0,,),M. 所以=(1,-,-),=. 因?yàn)椋?0+(-)(-)+(-)=0,所以A1B⊥AM. (2)因?yàn)锳BC A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,又BC?平面ABC,所以CC1⊥BC. 因?yàn)椤螦CB=90,即BC⊥AC,所以BC⊥平面ACC1,即BC⊥平面AMC. 所以是平面AMC的一個(gè)法向量,=(1,0,0). 設(shè)n=(x,y,z)是平面BAM的一個(gè)法向量, =(-1,,0),=. 由得令x=,得y=,z=2. 所以n=(,,2) 因?yàn)閨|=1,|n|=2,所以cos〈,n〉==,因此二面角B AMC的大小為45. 16.如圖,正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1,E,F(xiàn)分別在棱AA1和CC1上(含線段端點(diǎn)). (1)如果AE=C1F,試證明B,E,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面; (2)在(1)的條件下,是否存在一點(diǎn)E,使得直線A1B和平面BFE所成角等于?如果存在,確定點(diǎn)E的位置;如果不存在,試說明理由. 解析 (1)證明 以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 設(shè)AE=GF=t. 則B(1,0,0),D1(0,1,1),E(0,0,t),F(xiàn)(1,1,1-t),其中0≤t≤1. 則==(-1,0,t),所以BE∥FD1. 所以B,E,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面. (2) =(-1,0,1),=(-1,0,t),=(0,1,1-t), 可求平面BFE的法向量n=(t,t-1,1), 若直線A1B與平面BFE所成的角等于,則有sin=, 即=,解得t=0,所以點(diǎn)E存在,且坐標(biāo)為E(0,0,0),即E在頂點(diǎn)A處. 17.如圖所示,在四棱錐ABCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC. (1)證明:AD⊥CE; (2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形,求二面角CADE的大?。? 解析 (1)證明 取BC中點(diǎn)O, 連接AO,則AO⊥BC 由已知條件AO⊥平面BCDE, 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 則A(0,0,t),D(1,,0) C(1,0,0),E(-1,,0), =(1,,-t) =(-2,,0) 則=0,因此AD⊥CE. (2)作CF⊥AD垂足為F,連接EF, 則AD⊥平面CEF從而EF⊥AD 則∠CFE為二面角CADE的平面角. 在Rt△ACD中,CF==, 在等腰△ADE中,EF=, cos∠CFE==-. ∴二面角C-AD-E的余弦值為-. 18.在正方體ABCD A1B1C1D1中,O是AC的中點(diǎn),E是線段D1O上一點(diǎn),且 D1E=λEO. (1)若λ=1,求異面直線DE與CD1所成角的余弦值; (2)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值. 解析 (1)不妨設(shè)正方體的棱長為1,以,,為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz. 則A(1,0,0),O,C(0,1,0),D1(0,0,1), (1)由題意知E. 于是=,=(0,-1,1). 由cos〈,〉==. 所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面CD1O的法向量為m=(x1,y1,z1), 由m=0,m=0, 得 取x1=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1). 由D1E=λEO, 則E, =. 又設(shè)平面CDE的法向量為n=(x2,y2,z2), 由n=0,n=0, 得 取x2=2,得z2=-λ,即n=(2,0,-λ). 因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD1O, 所以mn=0,得λ=2.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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