七年級數(shù)學下學期期末試卷（含解析） 北師大版2 (2)

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2015-2016學年山西省晉中市靈石縣七年級（下）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列計算正確的是（　?。? A．a(chǎn)3+a2=a5 B．a(chǎn)3?a2=a6 C．（a2）3=a6 D． 2．某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結果的實驗最有可能的是（　?。? 實驗次數(shù) 100 200 300 500 800 1000 2000 頻率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃 B．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀” C．拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5 D．拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率 3．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 4．如圖，直線a∥b，點B在直線b上，且AB⊥BC，∠1=55，則∠2的度數(shù)為（　?。? A．35 B．45 C．55 D．125 5．下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（　?。? A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 6．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ACB=90，點D，E在AB上，將△ACD，△BCE分別沿CD，CE翻折，點A，B分別落在點A′，B′的位置，再將△A′CD，△B′CE分別沿A′C，B′C翻折，點D與點E恰好重合于點O，則∠A′CB′的度數(shù)是（　　） A．60 B．45 C．30 D．15 7．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（　?。? A．∠B=∠D=90 B．∠BCA=∠DCA C．∠BAC=∠DAC D．CB=CD 8．小華同學接到通知，她的作文通過了《我的中國夢》征文選拔，需盡快上交該作文的電子文稿，接到通知后，小華立即在電腦上打字錄入這篇文稿，錄入一段時間后因事暫停，過了一小會兒，小華繼續(xù)錄入并加快了錄入速度，直至錄入完成，設從錄入文稿開始所經(jīng)過的時間為x，錄入字數(shù)為y，下面能反映y與x之間的關系的大致圖象是（　　） A． B． C． D． 9．要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C，D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上（如圖所示），可以說明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長，判定△EDC≌△ABC最恰當?shù)睦碛墒牵ā　。? A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．邊邊角 10．如圖，∠AOB內(nèi)一點P，P1，P2分別是P關于OA、OB的對稱點，P1P2交OA于點M，交OB于點N．若△PMN的周長是5cm，則P1P2的長為（　?。? A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 　 二、填空題(每題3分，共24分) 11．下列事件：①兩直線平行，同位角相等；②擲一枚硬幣，國徽的一面朝上，其中，隨機事件是　　　?。ㄌ钚蛱枺? 12．角是軸對稱圖形，　　　　是它的對稱軸． 13．等腰三角形一個角等于100，則它的一個底角是　　　?。? 14．工人師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中所示的那樣上兩條斜拉的木條（即圖中的AB，CD兩根木條），這樣做的依據(jù)是　　　?。? 15．如圖，黃芳不小心把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片，現(xiàn)要帶其中一塊去配出與原來完全一樣的玻璃，正確的辦法是帶來第　　　　塊去配，其依據(jù)是根據(jù)定理　　　?。梢杂米帜负唽懀? 16．如圖，∵∠1=∠2，∴　　　　∥　　　　，理由是　　　?。? 17．已知4x2+mx+9是完全平方式，則m=　　　?。? 18．閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題： 尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線． 已知：線段AB． 求作：線段AB的垂直平分線． 小蕓的作法如下：如圖， （1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點； （2）作直線CD，所以直線CD就是所求作的垂直平分線． 老師說：“小蕓的作法正確．” 請回答：小蕓的作圖依據(jù)是到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上和　　　?。? 　 三、解答題（共56分） 19．計算： （1）（﹣a2）3﹣6a2?a4 （2）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y） 20．如圖1為L形的一種三格骨牌，它是由三個全等的正方形連接而成． 請以L形的三格骨牌為基本圖形，在圖2和圖3中各設計1個軸對稱圖形．要求如下： 1、每個圖形由3個L形三格骨牌組成，骨牌的頂點都在小正方形的頂點上． 2、設計的圖形用斜線涂出，若形狀相同，則視為一種． 21．如圖是一個轉(zhuǎn)盤，（轉(zhuǎn)盤被等分成四個扇形），上面標有紅黃藍三種顏色，小明和小強做游戲，規(guī)定：轉(zhuǎn)到紅色，小明贏，轉(zhuǎn)到黃色，小強贏（若轉(zhuǎn)到分界線，再重轉(zhuǎn)一次）． （1）小穎認為轉(zhuǎn)盤上共有三種不同的顏色，所以，指針停在紅色、黃色或藍色區(qū)域的概率都是，他們的游戲?qū)π∶骱托姸际枪降?，你認為呢？請說明理由． （2）若你認為游戲不公平，請你設計一種方案，使他們的游戲公平． 22．如圖，已知A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE． （1）寫出圖中全等的三角形； （2）選擇其中一對，說明理由． 23．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，∠B=20，∠C=60． （1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度數(shù)． （2）若圖形發(fā)生了變化，已知的兩個角度數(shù)改為：當∠B=30，∠C=60則∠EAD=　　　?。划敗螧=50，∠C=60時，則∠EAD=　　　??； 當∠B=60，∠C=60時，則∠EAD=　　　??；當∠B=70，∠C=60時，則∠EAD=　　　?。? （3）若∠B和∠C的度數(shù)改為用字母α和β來表示，你能找到∠EAD與α和β之間的關系嗎？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結論． 24．數(shù)學活動：圖形的變化 問題情境：如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90，E是AC邊上的一個動點（點E與A，C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角三角形△ECD，∠ECD=90．連接BE，AD，BE延長線交AD于點P．猜想線段BE，AD之間的數(shù)量關系和位置關系． （1）獨立思考：請直接寫出線段BE，AD之間的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由； （2）合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖（1）中的等腰直角△ECD旋轉(zhuǎn)至如圖（2）的位置，BE交AC于點M，交AD于點P．（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由． 　  2015-2016學年山西省晉中市靈石縣七年級（下）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列計算正確的是（　?。? A．a(chǎn)3+a2=a5 B．a(chǎn)3?a2=a6 C．（a2）3=a6 D． 【考點】冪的乘方與積的乘方；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)，冪的乘方的性質(zhì)，積的乘方的性質(zhì)，合并同類項的法則，對各選項分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是同類項，不能合并，選項錯誤； B、a2?a3=a5，選項錯誤； C、正確； D、（）2=，選項錯誤． 故選C． 　 2．某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結果的實驗最有可能的是（　?。? 實驗次數(shù) 100 200 300 500 800 1000 2000 頻率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃 B．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀” C．拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5 D．拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率 【考點】利用頻率估計概率． 【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到實驗的概率在0.33左右，再分別計算出四個選項中的概率，然后進行判斷． 【解答】解：A、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為，不符合題意； B、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”的概率是，符合題意； C、拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5的概率為，不符合題意； D、拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率為，不符合題意， 故選B． 　 3．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意； B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意； C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意； D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意． 故選：A． 　 4．如圖，直線a∥b，點B在直線b上，且AB⊥BC，∠1=55，則∠2的度數(shù)為（　?。? A．35 B．45 C．55 D．125 【考點】平行線的性質(zhì)；余角和補角． 【分析】根據(jù)兩條直線平行，同位角相等，得∠1的同位角是55．再根據(jù)平角的定義即可求得∠2． 【解答】解：∵a∥b， ∴BC與b所夾銳角等于∠1=55， 又AB⊥BC， ∴∠2=180﹣90﹣55=35． 故選A． 　 5．下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（　?。? A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 【考點】三角形三邊關系． 【分析】根據(jù)三角形的三邊關系：三角形兩邊之和大于第三邊，計算兩個較小的邊的和，看看是否大于第三邊即可． 【解答】解：A、1+2＜6，不能組成三角形，故此選項錯誤； B、2+2=4，不能組成三角形，故此選項錯誤； C、1+2=3，不能組成三角形，故此選項錯誤； D、2+3＞4，能組成三角形，故此選項正確； 故選：D． 　 6．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ACB=90，點D，E在AB上，將△ACD，△BCE分別沿CD，CE翻折，點A，B分別落在點A′，B′的位置，再將△A′CD，△B′CE分別沿A′C，B′C翻折，點D與點E恰好重合于點O，則∠A′CB′的度數(shù)是（　?。? A．60 B．45 C．30 D．15 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】由翻折的性質(zhì)得：∠ACD=∠DCA′=∠A′CO，∠BCE=∠ECB′=∠B′CO，故∠A′CB′=∠ACB，代入數(shù)值即可． 【解答】解：由翻折的性質(zhì)得：∠ACD=∠DCA′=∠A′CO，∠BCE=∠ECB′=∠B′CO， ∴∠A′CB′=∠ACB=90=30， 故選C． 　 7．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（　?。? A．∠B=∠D=90 B．∠BCA=∠DCA C．∠BAC=∠DAC D．CB=CD 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)圖形得出AC=AC，根據(jù)全等三角形的判定定理逐個推出即可． 【解答】解：A、∵∠B=∠D=90， ∴在Rt△ABC和Rt△ADC中 ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），故本選項錯誤； B、根據(jù)AB=AD，AC=AC，∠BCA=∠DCA不能推出△ABC≌△ADC，故本選項正確； C、∵在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≌△ADC（SAS），故本選項錯誤； D、∵在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≌△ADC（SSS），故本選項錯誤； 故選B． 　 8．小華同學接到通知，她的作文通過了《我的中國夢》征文選拔，需盡快上交該作文的電子文稿，接到通知后，小華立即在電腦上打字錄入這篇文稿，錄入一段時間后因事暫停，過了一小會兒，小華繼續(xù)錄入并加快了錄入速度，直至錄入完成，設從錄入文稿開始所經(jīng)過的時間為x，錄入字數(shù)為y，下面能反映y與x之間的關系的大致圖象是（　　） A． B． C． D． 【考點】函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)在電腦上打字錄入這篇文稿，錄入字數(shù)增加，因事暫停，字數(shù)不變，繼續(xù)錄入并加快了錄入速度，字數(shù)增加，變化快，可得答案． 【解答】解：A．暫停后繼續(xù)錄入并加快了錄入速度，字數(shù)增加，故A不符合題意； B．字數(shù)先增加再不變最后增加，故B不符合題意錯誤； C．開始字數(shù)增加的慢，暫停后再錄入字數(shù)增加的快，故C符合題意； D．中間應有一段字數(shù)不變，不符合題意，故D錯誤； 故選：C． 　 9．要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C，D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上（如圖所示），可以說明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長，判定△EDC≌△ABC最恰當?shù)睦碛墒牵ā　。? A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．邊邊角 【考點】全等三角形的應用． 【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根據(jù)角邊角即可判定△EDC≌△ABC． 【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BD ∴∠ABC=∠BDE 又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE ∴△EDC≌△ABC（ASA） 故選B． 　 10．如圖，∠AOB內(nèi)一點P，P1，P2分別是P關于OA、OB的對稱點，P1P2交OA于點M，交OB于點N．若△PMN的周長是5cm，則P1P2的長為（　?。? A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周長=P1P2． 【解答】解：∵P點關于OA、OB的對稱點P1、P2， ∴PM=P1M，PN=P2N， ∴△PMN的周長=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2， ∵△PMN的周長是5cm， ∴P1P2=5cm． 故選：C． 　 二、填空題(每題3分，共24分) 11．下列事件：①兩直線平行，同位角相等；②擲一枚硬幣，國徽的一面朝上，其中，隨機事件是②．（填序號） 【考點】隨機事件． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可． 【解答】解：①兩直線平行，同位角相等是必然事件； ②擲一枚硬幣，國徽的一面朝上是隨機事件， 故答案為：②． 　 12．角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)角的對稱性解答． 【解答】解：角的對稱軸是“角平分線所在的直線”． 故答案為：角平分線所在的直線． 　 13．等腰三角形一個角等于100，則它的一個底角是40． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】由條件可知該角只能為頂角，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可求得底角． 【解答】解：∵該角為100， ∴這個角只能是等腰三角形的頂角， ∴該等腰三角形的頂角為100， ∴底角為=40， 故答案為：40． 　 14．工人師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中所示的那樣上兩條斜拉的木條（即圖中的AB，CD兩根木條），這樣做的依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性． 【考點】三角形的穩(wěn)定性． 【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行解答即可． 【解答】解：這樣做的依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性， 故答案為：三角形的穩(wěn)定性． 　 15．如圖，黃芳不小心把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片，現(xiàn)要帶其中一塊去配出與原來完全一樣的玻璃，正確的辦法是帶來第③塊去配，其依據(jù)是根據(jù)定理ASA（可以用字母簡寫） 【考點】全等三角形的應用． 【分析】顯然第③中有完整的三個條件，用ASA易證現(xiàn)要的三角形與原三角形全等． 【解答】解：因為第③塊中有完整的兩個角以及他們的夾邊，利用ASA易證三角形全等，故應帶第③塊． 故答案為：③； ASA． 　 16．如圖，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，理由是內(nèi)錯角相等，兩直線平行． 【考點】平行線的判定． 【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可求解． 【解答】解：如圖，∵∠1=∠2， ∴AD∥BC，理由是內(nèi)錯角相等，兩直線平行． 故答案為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行． 　 17．已知4x2+mx+9是完全平方式，則m=12． 【考點】完全平方式． 【分析】這里首末兩項是2x和3這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去x和3積的2倍． 【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴4x2+mx+9=（2x3）2=4x212x+9， ∴m=12， m=12． 故答案為：12． 　 18．閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題： 尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線． 已知：線段AB． 求作：線段AB的垂直平分線． 小蕓的作法如下：如圖， （1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點； （2）作直線CD，所以直線CD就是所求作的垂直平分線． 老師說：“小蕓的作法正確．” 請回答：小蕓的作圖依據(jù)是到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上和兩點確定一條直線． 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及直線的性質(zhì)進而分析得出答案． 【解答】解：分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點的依據(jù)是：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上； 連接CD的依據(jù)是：兩點確定一條直線． 故答案為：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線． 　 三、解答題（共56分） 19．計算： （1）（﹣a2）3﹣6a2?a4 （2）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y） 【考點】整式的混合運算． 【分析】（1）根據(jù)冪的乘方與合并同類項的方法可以解答本題； （2）根據(jù)完全平方公式和平方差公式可以解答本題． 【解答】解：（1）（﹣a2）3﹣6a2?a4 =﹣a6﹣6a6 =﹣7a6； （2）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y） =4x2﹣12xy+9y2﹣9x2+y2 =﹣5x2﹣12xy+10y2． 　 20．如圖1為L形的一種三格骨牌，它是由三個全等的正方形連接而成． 請以L形的三格骨牌為基本圖形，在圖2和圖3中各設計1個軸對稱圖形．要求如下： 1、每個圖形由3個L形三格骨牌組成，骨牌的頂點都在小正方形的頂點上． 2、設計的圖形用斜線涂出，若形狀相同，則視為一種． 【考點】利用軸對稱設計圖案． 【分析】可以利用軸對稱設計一個圖案，再利用平移設計一個圖案即可． 【解答】解：如圖所示： ． 　 21．如圖是一個轉(zhuǎn)盤，（轉(zhuǎn)盤被等分成四個扇形），上面標有紅黃藍三種顏色，小明和小強做游戲，規(guī)定：轉(zhuǎn)到紅色，小明贏，轉(zhuǎn)到黃色，小強贏（若轉(zhuǎn)到分界線，再重轉(zhuǎn)一次）． （1）小穎認為轉(zhuǎn)盤上共有三種不同的顏色，所以，指針停在紅色、黃色或藍色區(qū)域的概率都是，他們的游戲?qū)π∶骱托姸际枪降?，你認為呢？請說明理由． （2）若你認為游戲不公平，請你設計一種方案，使他們的游戲公平． 【考點】游戲公平性；幾何概率． 【分析】（1）分別計算出小明贏和小強贏的概率，然后通過比較兩概率的大小可判斷游戲是否公平； （2）由于指針停在黃色或藍色區(qū)域的概率相等，則可設計為：轉(zhuǎn)到紅色，小明贏，轉(zhuǎn)到黃色，小強贏． 【解答】解：（1）游戲不公平．理由如下： 共有4種等可能的結果數(shù)，其中指針停在紅色的結果數(shù)為，指針停在黃色的結果數(shù)為1，指針停藍色區(qū)域的結果數(shù)為2， 所以小明贏的概率==，小強贏的概率=， 所以小明贏的概率大，游戲不公平； （2）可設計為：轉(zhuǎn)到藍色，小明贏，轉(zhuǎn)到黃色，小強贏（若轉(zhuǎn)到分界線，再重轉(zhuǎn)一次）． 　 22．如圖，已知A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE． （1）寫出圖中全等的三角形； （2）選擇其中一對，說明理由． 【考點】全等三角形的判定． 【分析】（1）根據(jù)全等三角形的定義即可判斷； （2）利用AAS即可證得△ABE≌△CDF． 【解答】解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB； （2）∵AB∥CD， ∴∠1=∠2． ∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF． 　 23．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，∠B=20，∠C=60． （1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度數(shù)． （2）若圖形發(fā)生了變化，已知的兩個角度數(shù)改為：當∠B=30，∠C=60則∠EAD=15；當∠B=50，∠C=60時，則∠EAD=5； 當∠B=60，∠C=60時，則∠EAD=0；當∠B=70，∠C=60時，則∠EAD=5． （3）若∠B和∠C的度數(shù)改為用字母α和β來表示，你能找到∠EAD與α和β之間的關系嗎？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結論． 【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)∠B=20，∠C=60，利用三角形的內(nèi)角和是180得出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AE是角平分線，AD是高，分別得出∠EAC和∠DAC的度數(shù)，進而求出∠AEC和∠EAD； （2）根據(jù)∠B與∠C，利用三角形的內(nèi)角和是180得出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AE是角平分線，AD是高，分別得出∠EAC和∠DAC的度數(shù)，那么①②③中∠EAD=∠EAC﹣∠DAC，④中∠EAD=∠DAC﹣∠EAC； （3）它的證明過程同（2），只不過把∠B和∠C的度數(shù)用字母代替，從而用字母表示出各個角的度數(shù)． 【解答】解：（1）（1）∵∠B=20，∠C=60， ∴∠BAC=180﹣20﹣60=100， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=50， ∵AD是高， ∴∠ADC=90， ∴∠CAD=30， ∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=50﹣30=20， ∴∠AEC=180﹣∠EAC﹣∠C=180﹣50﹣60=70； （2）①∵∠B=30，∠C=60， ∴∠BAC=180﹣30﹣60=90， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=45， ∵AD是高， ∴∠ADC=90， ∴∠DAC=30， ∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=45﹣30=15； ②∵∠B=50，∠C=60， ∴∠BAC=180﹣50﹣60=70， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=35， ∵AD是高， ∴∠ADC=90， ∴∠DAC=30， ∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=35﹣30=5； ③∵∠B=60，∠C=60， ∴∠BAC=180﹣60﹣60=60， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=30， ∵AD是高， ∴∠ADC=90， ∴∠DAC=30， ∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=30﹣30=0； ④∵∠B=70，∠C=60， ∴∠BAC=180﹣70﹣60=50， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=25， ∵AD是高， ∴∠ADC=90， ∴∠DAC=30， ∴∠EAD=∠DAC﹣∠EAC=30﹣25=5； 故答案為：15，5，0，5； （3）當α＜β時， ∵∠B=α，∠C=β， ∴∠BAC=180﹣α﹣β， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=（90﹣）， ∵AD是高， ∴∠ADC=90， ∴∠DAC=90﹣β， ∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=[（90﹣）﹣（90﹣β）]=（β﹣α）； 當α＞β時， ∵∠B=α，∠C=β， ∴∠BAC=180﹣α﹣β， ∵AE是角平分線， ∴∠EAC=（90﹣）， ∵AD是高， ∴∠ADC=90， ∴∠DAC=90﹣β， ∴∠EAD=∠DAC﹣∠EAC=[（90﹣β）﹣（90﹣）]=（α﹣β）． 答：當α＜β時，∠EAD=（β﹣α），當α＞β時，∠EAD=（α﹣β）． 　 24．數(shù)學活動：圖形的變化 問題情境：如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90，E是AC邊上的一個動點（點E與A，C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角三角形△ECD，∠ECD=90．連接BE，AD，BE延長線交AD于點P．猜想線段BE，AD之間的數(shù)量關系和位置關系． （1）獨立思考：請直接寫出線段BE，AD之間的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由； （2）合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖（1）中的等腰直角△ECD旋轉(zhuǎn)至如圖（2）的位置，BE交AC于點M，交AD于點P．（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】（1）先證明△ACD≌△BCE，得BE=AD，∠CBE=∠CAD，再由對頂角相等可知∠APE=∠ACB=90，所以BE與AD既垂直，又相等； （2）結論仍然成立，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△BCE，得BE=AD，∠CBE=∠CAD，再由三角形內(nèi)角和得∠APM=90，則BE⊥AD． 【解答】解：（1）BE=AD，BE⊥AD，理由是： ∵△ABC、△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ACD=90， ∴△ACD≌△BCE， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， ∵∠BEC=∠AEP， ∴∠APE=∠ACB=90， ∴BE⊥AD； （2）（1）中的結論仍然成立，BE=AD，BE⊥AD， ∵∠ACB=∠ECD， ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE， 即∠BCE=∠ACD， ∵AC=BC，EC=CD， ∴△ACD≌△BCE， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， ∵∠AME=∠BMC， ∴∠APM=∠ACB=90， ∴BE⊥AD．