九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版9

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2015-2016學(xué)年湖北省武漢市江岸區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．若關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，則a的取值范圍是（　?。? A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)≠0 2．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的根的情況是（　　） A．無實根 B．有兩相等實根 C．有兩不等實根 D．無法判斷 3．下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　） A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．正五邊形 D．正方形 4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0兩根分別是x1和x2，則x1x2的值等于（　?。? A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 5．如圖，△ABC≌△AED，點D落在BC上，且∠B=60，則∠EDC的度數(shù)等于（　?。? A．45 B．30 C．60 D．75 6．如圖，在⊙O中，半徑OC⊥弦AB于P，且P為OC的中點，則∠BAC的度數(shù)是（　?。? A．45 B．60 C．25 D．30 7．如圖，圖案均是用長度相等的小木棒，按一定規(guī)律拼撘而成，第一個圖案需4根小木棒，則第6個圖案小木棒根數(shù)是（　?。? A．42 B．48 C．54 D．56 8．某樹主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目小分支，主干、支干、和小分支總數(shù)共57．若設(shè)主干長出x個支干，則可列方程是（　?。? A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=57 9．將拋物線y=2x2﹣1，先向上平移2個單位，再向右平移1個單位后其頂點坐標(biāo)是（　?。? A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（1，1） 10．如圖，∠MON=20，A、B分別為射線OM、ON上兩定點，且OA=2，OB=4，點P、Q分別為射線OM、ON兩動點，當(dāng)P、Q運動時，線段AQ+PQ+PB的最小值是（　　） A．3 B．3 C．2 D．2 　 二、填空題 11．方程3x2﹣2x﹣1=0的二次項系數(shù)是　　，一次項系數(shù)是　　，常數(shù)項是　　． 12．點A（﹣1，2）關(guān)于原點對稱點B的坐標(biāo)是　?。? 13．小明設(shè)計了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意實數(shù)對（a，b）進入其中，會得到一個新的實數(shù)a2﹣2b+3．若將實數(shù)（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，則x=　?。? 14．如圖，⊙O的直徑AB為13cm，弦AC為5cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長是　　cm． 15．拋物線y=ax2+b+c的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是　?。? 16．如圖，等邊△ABC和等邊△ADE中，AB=2，AD=2，連CE，BE，當(dāng)∠AEC=150時，則BE=　?。? 　 三、解答題 17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法） 18．已知拋物線的頂點為（1，﹣4），且過點（﹣2，5）． （1）求拋物線解析式； （2）求函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍． 19．如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求證：AD=CD． 20．如圖，在邊長為1的小正方形組成的方格紙上將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90． （1）畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB′C′； （2）以點C為坐標(biāo)原點，線段BC、AC所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，請直接寫出點B′的坐標(biāo)　　； （3）寫出△ABC在旋轉(zhuǎn)過程中覆蓋的面積　?。? 21．如圖，要設(shè)計一副寬20cm、長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：3，如果要使彩條所占面積是圖案面積的，應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度？ 22． 2015年十一黃金周商場大促銷，某店主計劃從廠家采購高級羽絨服和時尚皮衣兩種產(chǎn)品共20件，高級羽絨服的采購單價y1（元/件）與采購數(shù)量x1（件）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數(shù)）；時尚皮衣的采購單價y2（元/件）與采購數(shù)量x2（件）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數(shù)）． （1）經(jīng)店主與廠家協(xié)商，采購高級羽絨服的數(shù)量不少于時尚皮衣數(shù)量，且高級羽絨服采購單價不低于1240元，問該店主共有幾種進貨方案？ （2）該店主分別以1760元/件和1700元/件的銷售出高級羽絨服和時尚皮衣，且全部售完，則在（1）問的條件下，采購高級羽絨服多少件時總利潤最大？并求最大利潤． 23．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，BM⊥CM于M，且CM＞BM （1）如圖1，過點A作AF⊥CM于F，直線寫出線段BM、AF、MF的數(shù)量關(guān)系是　　 （2）如圖2，D為BM延長線上一點，連AD以AD為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△ADE，再過點E作EN⊥BM于N，求證：CM+EN=MN； （3）將（2）中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意角α后，連BD取BD中點P，連CP、EP，作出圖形，試判斷CP、EP的數(shù)量和位置關(guān)系并證明． 24．如圖，二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m為常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣3），點D在二次函數(shù)圖象上，且CD∥AB，連AD；過點A作射線AE交二次函數(shù)于點E，使AB平分∠DAE （1）當(dāng)a=1時，求點D的坐標(biāo)； （2）證明：無論a、m取何值，點E在同一直線上運動； （3）設(shè)該二次函數(shù)圖象頂點為F，試探究：在x軸上是否存在點P，使以PF、AD、AE為邊構(gòu)成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請用含m的代數(shù)式表示點P的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 　  2015-2016學(xué)年湖北省武漢市江岸區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．若關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，則a的取值范圍是（　?。? A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)≠0 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可． 【解答】解：由題意得：a﹣1≠0， 解得：a≠1． 故選：A． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點． 　 2．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的根的情況是（　　） A．無實根 B．有兩相等實根 C．有兩不等實根 D．無法判斷 【考點】根的判別式． 【分析】先求出△的值，再判斷出其符號即可． 【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣41（﹣3）=16＞0， ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根． 故選：C． 【點評】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 3．下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　） A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．正五邊形 D．正方形 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤； B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤； C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤； D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確． 故選D． 【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合． 　 4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0兩根分別是x1和x2，則x1x2的值等于（　　） A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，直接得出兩根的積． 【解答】解：∵方程2x2﹣4x﹣3=0兩根分別是x1和x2， ∴x1x2=﹣． 故選：B． 【點評】此題考查根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，則x1+x2=﹣，x1x2=． 　 5．如圖，△ABC≌△AED，點D落在BC上，且∠B=60，則∠EDC的度數(shù)等于（　?。? A．45 B．30 C．60 D．75 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角和對應(yīng)邊相等解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B=∠ADE=60，AB=AD， ∴∠ADB=∠B=60， ∴∠EDC=180﹣∠ADE﹣∠ADB=60． 故選C． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，鄰補角的定義的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，在⊙O中，半徑OC⊥弦AB于P，且P為OC的中點，則∠BAC的度數(shù)是（　?。? A．45 B．60 C．25 D．30 【考點】垂徑定理；含30度角的直角三角形． 【分析】連接OB，根據(jù)OC⊥AB，P為OC的中點可得出OP=OB，故∠OBP=30，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BOP的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：連接OB， ∵OC⊥AB，P為OC的中點， ∴OP=OB， ∴∠OBP=30， ∴∠BOP=90﹣30=60， ∴∠BAC=∠BOP=30． 故選D． 【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用直角三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵． 　 7．如圖，圖案均是用長度相等的小木棒，按一定規(guī)律拼撘而成，第一個圖案需4根小木棒，則第6個圖案小木棒根數(shù)是（　?。? A．42 B．48 C．54 D．56 【考點】規(guī)律型：圖形的變化類． 【分析】由題意可知：第1個圖案需要小木棒1（1+3）=4根，第二個圖案需要2（2+3）=10根，第三個圖案需要3（3+3）=18根，第四個圖案需要4（4+3）=28根，…，繼而即可找出規(guī)律，進一步求出第6個圖案需要小木棒的根數(shù)． 【解答】解：拼搭第1個圖案需4=1（1+3）根小木棒， 拼搭第2個圖案需10=2（2+3）根小木棒， 拼搭第3個圖案需18=3（3+3）根小木棒， 拼搭第4個圖案需28=4（4+3）根小木棒， … 拼搭第n個圖案需小木棒n（n+3）=n2+3n根． 當(dāng)n=6時，n2+3n=62+36=54． 故選：C． 【點評】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題． 　 8．某樹主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目小分支，主干、支干、和小分支總數(shù)共57．若設(shè)主干長出x個支干，則可列方程是（　?。? A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=57 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】關(guān)鍵描述語是“主干、支干、小分支的總數(shù)是73”，等量關(guān)系為：主干1+支干數(shù)目+小分支數(shù)目=57，把相關(guān)數(shù)值代入即可． 【解答】解：∵主干為1，每個支干長出x個小分支，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支， ∴小分支的個數(shù)為xx=x2， ∴可列方程為1+x+x2=57． 故選B． 【點評】考查列一元二次方程，得到主干、支干、小分支的總數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵． 　 9．將拋物線y=2x2﹣1，先向上平移2個單位，再向右平移1個單位后其頂點坐標(biāo)是（　?。? A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（1，1） 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】直接根據(jù)平移規(guī)律作答即可． 【解答】解：將拋物線y=2x2﹣1向上平移2個單位再向右平移1個單位后所得拋物線解析式為y=2（x﹣1）2+1， 所以平移后的拋物線的頂點為（1，1）． 故選D． 【點評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式． 　 10．如圖，∠MON=20，A、B分別為射線OM、ON上兩定點，且OA=2，OB=4，點P、Q分別為射線OM、ON兩動點，當(dāng)P、Q運動時，線段AQ+PQ+PB的最小值是（　?。? A．3 B．3 C．2 D．2 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】首先作A關(guān)于ON的對稱點A′，點B關(guān)于OM的對稱點B′，連接A′B′，交于OM，ON分別為P，Q，連接OA′，OB′，可求得AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60，然后由特殊角的三角函數(shù)值，判定∠OA′B′=90，再利用勾股定理求得答案． 【解答】解：作A關(guān)于ON的對稱點A′，點B關(guān)于OM的對稱點B′，連接A′B′，交于OM，ON分別為P，Q，連接OA′，OB′， 則PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20， ∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60， ∵cos60=， =， ∴∠OA′B′=90， ∴A′B′==2， ∴線段AQ+PQ+PB的最小值是：2． 故選D． 【點評】此題考查了最短路徑問題以及勾股定理．注意準確找到P，Q的位置是解此題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 11．方程3x2﹣2x﹣1=0的二次項系數(shù)是　3　，一次項系數(shù)是　﹣2　，常數(shù)項是　﹣1?。? 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項進行分析即可． 【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1=0的二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是﹣2，常數(shù)項是﹣1， 故答案為：3；﹣2；﹣1． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握要確定一次項系數(shù)和常數(shù)項，首先要把方程化成一般形式． 　 12．點A（﹣1，2）關(guān)于原點對稱點B的坐標(biāo)是　（1，﹣2）?。? 【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點：它們的坐標(biāo)符號相反可直接得到答案． 【解答】解：點A（﹣1，2）關(guān)于原點對稱點B的坐標(biāo)是（1，﹣2）， 故答案為：（1，﹣2）． 【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反． 　 13．小明設(shè)計了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意實數(shù)對（a，b）進入其中，會得到一個新的實數(shù)a2﹣2b+3．若將實數(shù)（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，則x=　﹣2?。? 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】新定義． 【分析】根據(jù)新定義得到x2﹣2?（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理為一般式，然后利用配方法解方程即可． 【解答】解：根據(jù)題意得x2﹣2?（﹣2x）+3=﹣1， 整理得x2+4x+4=0， （x+2）2=0， 所以x1=x2=﹣2． 故答案為﹣2． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法． 　 14．如圖，⊙O的直徑AB為13cm，弦AC為5cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長是　　cm． 【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】首先作DF⊥CA，交CA的延長線于點F，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，得出CF的長，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD的長． 【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD ∴DF=DG，， ∴DA=DB． ∵∠AFD=∠BGD=90， 在Rt△ADF和Rt△BDG， ， ∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL）， ∴AF=BG． 同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL）， ∴CF=CG． ∵AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∵AC=5cm，AB=13cm， ∴BC==12（cm）， ∴5+AF=12﹣AF， ∴AF=， ∴CF=， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=45， ∵△CDF是等腰直角三角形， ∴CD=（cm）． 故答案為：． 【點評】本題綜合考查了圓周角的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的對等關(guān)系，全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識點的運用．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵． 　 15．拋物線y=ax2+b+c的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是　x＜﹣1或x＞3　． 【考點】二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】先求出拋物線與x軸另一交點的坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖象即可而出結(jié)論． 【解答】解：∵拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)是（﹣1，0），對稱軸是直線x=1， ∴拋物線與x軸另一交點的坐標(biāo)是（3，0）， ∴當(dāng)y＜0時，x＜﹣1或x＞3． 故答案為：x＜﹣1或x＞3． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式，能根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合求出x的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵． 　 16．如圖，等邊△ABC和等邊△ADE中，AB=2，AD=2，連CE，BE，當(dāng)∠AEC=150時，則BE=　4?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】如作CM⊥AE于M，設(shè)CM=a，在RT△ACM利用勾股定理求出a，再求出CE，由△CAE≌△BAD，得到EC=BD，在RT△EBD中利用勾股定理即可求出BE． 【解答】解：如作CM⊥AE于M，設(shè)CM=a， ∵△ABC、△ADE都是等邊三角形， ∴AC=AB=2，AE=AD=DE=2，∠CAB=∠EAD=∠EDA=60， ∴∠CAE=∠BAD， 在△CAE和△BAD中， ， ∴△CAE≌△BAD， ∴EC=BD，∴∠AEC=∠ADB=150， ∴∠EDB=90， ∵∠AEC=150， ∴∠CEM=180﹣∠AEC=30， ∴EM=a， 在RT△ACM中，∵AC2=CM2+AM2， ∴28=a2+（2+a）2 a=1（或﹣4舍棄）， ∴EC=BD=2CM=2， 在RT△EBD中，∵DE=2，BD=2， ∴EB===4． 故答案為4． 【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形中30度角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用150構(gòu)造30的直角三角形，求出相應(yīng)的線段，屬于中考常考題型． 　 三、解答題 17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法） 【考點】解一元二次方程-公式法． 【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式x=計算即可． 【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3， ∴△=b2﹣4ac=12﹣41（﹣3）=13＞0， x==， ∴x1=，x2=． 【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，掌握求根公式x=是本題的關(guān)鍵． 　 18．已知拋物線的頂點為（1，﹣4），且過點（﹣2，5）． （1）求拋物線解析式； （2）求函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍． 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】計算題． 【分析】（1）由于已知拋物線頂點坐標(biāo)，則可設(shè)頂點式y(tǒng)=a（x﹣1）2﹣4，然后把（﹣2，5）代入求出a的值即可； （2）先求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，然后寫出拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可． 【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣4， 把（﹣2，5）代入得a?（﹣2﹣1）2﹣4=5，解得a=1， 所以拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3； （2）當(dāng)y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則拋物線與x軸的兩交點坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0）， 而拋物線的開口向上， 所以當(dāng)x＜﹣1或x＞3時，y＞0． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解． 　 19．如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求證：AD=CD． 【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】由CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，根據(jù)垂徑定理可得AD=2AF，CD=2CE，∠OEC=∠OFA=90，然后由AAS判定△COE≌△AOF，繼而證得CE=AF，則可證得結(jié)論． 【解答】證明：∵CD⊥AB，CO⊥AB， ∴∠OEC=∠OFA=90，AD=2AF，CD=2CE， 在△OCE和△OAF中， ， ∴△OCE≌△OAF（AAS）， ∴CE=AF， ∴AD=CD． 【點評】此題考查了圓周角定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△OCE≌△OAF是解此題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，在邊長為1的小正方形組成的方格紙上將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90． （1）畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB′C′； （2）以點C為坐標(biāo)原點，線段BC、AC所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，請直接寫出點B′的坐標(biāo)?。?，1）??； （3）寫出△ABC在旋轉(zhuǎn)過程中覆蓋的面積　π+1　． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點B和C的對應(yīng)點B′、C′，即可得到△AB′C′； （2）建立直角坐標(biāo)系，然后寫出點B′的坐標(biāo)； （3）根據(jù)扇形面積公式，計算S扇形BAB′+S△B′AC′，即可得到△ABC在旋轉(zhuǎn)過程中覆蓋的面積． 【解答】解：（1）如圖，△AB′C′為所作； （2）如圖，點B′的坐標(biāo)為（1，1）； （3）△ABC在旋轉(zhuǎn)過程中覆蓋的面積=S扇形BAB′+S△B′AC′=+12=π+1． 故答案為（1，1），π+1． 【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形． 　 21．如圖，要設(shè)計一副寬20cm、長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：3，如果要使彩條所占面積是圖案面積的，應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度？ 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】設(shè)橫彩條的寬度是2xcm，豎彩條的寬度是3xcm，根據(jù)設(shè)計的圖案寬20cm、長30cm，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：3，彩條所占面積是圖案面積的，列出方程求解即可． 【解答】解：設(shè)橫彩條的寬度是2xcm，豎彩條的寬度是3xcm，則 （30﹣6x）（20﹣4x）=（1﹣）2030， 解得x1=1或x2=9． ∵49=36＞20， ∴x=9 舍去， ∴橫彩條的寬度是2cm，豎彩條的寬度是3cm． 【點評】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)題、圖，正確的列出方程，此時注意，把不合題意的解舍去． 　 22．2015年十一黃金周商場大促銷，某店主計劃從廠家采購高級羽絨服和時尚皮衣兩種產(chǎn)品共20件，高級羽絨服的采購單價y1（元/件）與采購數(shù)量x1（件）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數(shù)）；時尚皮衣的采購單價y2（元/件）與采購數(shù)量x2（件）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數(shù)）． （1）經(jīng)店主與廠家協(xié)商，采購高級羽絨服的數(shù)量不少于時尚皮衣數(shù)量，且高級羽絨服采購單價不低于1240元，問該店主共有幾種進貨方案？ （2）該店主分別以1760元/件和1700元/件的銷售出高級羽絨服和時尚皮衣，且全部售完，則在（1）問的條件下，采購高級羽絨服多少件時總利潤最大？并求最大利潤． 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）首先根據(jù)題意求出x的取值范圍，結(jié)合x為整數(shù)，即可判斷出商家的幾種進貨方案； （2）令總利潤為W，根據(jù)利潤=售價﹣成本列出W與x的函數(shù)關(guān)系式W=30（x﹣9）2+9570，求出二次函數(shù)的最值即可． 【解答】解：（1）設(shè)購買羽絨服x件，則購買皮衣（20﹣x）件，則： ， ∴10≤x≤13且為整數(shù)， ∴該店主有4種進貨方案： 羽絨服10件，皮衣10件； 羽絨服11件，皮衣9件； 羽絨服12件，皮衣8件； 羽絨服13件，皮衣7件； （2）設(shè)購買羽絨服x件，利潤為W元，則 W=（1760+20x﹣1500）x+（1700+10（20﹣x）﹣1300）（20﹣x） =30（x﹣9）2+9570（10≤x≤13且為整數(shù)） ∵a=30＞0， ∴當(dāng)10≤x≤13且為整數(shù)是，W隨x的增大而增大， ∴當(dāng)x=13時，最大利潤為10050元． 答：當(dāng)采購羽絨服13件時，有最大利潤為10050元． 【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是明確銷售單價與銷售件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，會表達單件的利潤及總利潤，此題難度一般． 　 23．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，BM⊥CM于M，且CM＞BM （1）如圖1，過點A作AF⊥CM于F，直線寫出線段BM、AF、MF的數(shù)量關(guān)系是　AF=BM+MF　 （2）如圖2，D為BM延長線上一點，連AD以AD為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△ADE，再過點E作EN⊥BM于N，求證：CM+EN=MN； （3）將（2）中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意角α后，連BD取BD中點P，連CP、EP，作出圖形，試判斷CP、EP的數(shù)量和位置關(guān)系并證明． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推知△ACF≌△CBM，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等、圖形中線段間的和差關(guān)系以及等量代換，即可解答； （2）如圖2，過點A作AG⊥CM于G，反向延長GA交EN于H，由四邊形GMNH為矩形，得到AH⊥EN，根據(jù)三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到相等的線段，即可解答． （3）取AB的中點M、AD的中點N，連接PM、CM、NE、PN，則可構(gòu)造△PNE≌CMP，結(jié)論不言而喻． 【解答】解：（1）AF=BM+MF， ∵∠ACB=90， ∴∠ACF+∠BCM=90． 又∵AF⊥CM， ∴∠ACF+∠CAF=90， ∴∠CAF=∠BCM． 在△ACF和△CBM中， ， ∴△ACF≌△CBM， ∴BM=CF，AF=CM， ∴CF+MF=BM+MF=MC=AF，即AF=BM+MF． 故答案為：AF=BM+MF． （2）如圖2，過點A作AG⊥CM于G，反向延長GA交EN于H， ∴四邊形GMNH為矩形 ∴AH⊥EN 根據(jù)三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN， ∴CM=AG，EN=AH， ∴MN=GH=GA+AH=CM+EN． （3）如圖3， 取AB的中點M、AD的中點N，連接PM、CM、NE、PN， ∵△BCA與△AED均為等腰直角三角形， ∴CM=BM=AM，CM⊥BA， EN=AN=DN，NE⊥AD， ∵P為BD中點， ∴PN=AM=BM=CM，PN∥BA， PM=AN=DN=NE，PM∥AD， ∴AMPN是平行四邊形， ∴∠BMP=∠PND， ∴∠PMC=∠ENP， ∴△PNE≌CMP（SAS）， ∴CP=PE， ∵CM⊥AB，PN∥AB， ∴CM⊥PN， ∴CP⊥PE， 綜上所述，CP=PE且CP⊥PE． 【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，線段和差關(guān)系的證明方法、中點的用法、中位線性質(zhì)等知識點，難度中等．對于證明線段和差關(guān)系的結(jié)論，截長或補短構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．第（3）問是中點的經(jīng)典用法，取中點，借助中位線轉(zhuǎn)移線段長度和角度，從而構(gòu)造全等三角形，這一類題要引起重視． 　 24．如圖，二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m為常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣3），點D在二次函數(shù)圖象上，且CD∥AB，連AD；過點A作射線AE交二次函數(shù)于點E，使AB平分∠DAE （1）當(dāng)a=1時，求點D的坐標(biāo)； （2）證明：無論a、m取何值，點E在同一直線上運動； （3）設(shè)該二次函數(shù)圖象頂點為F，試探究：在x軸上是否存在點P，使以PF、AD、AE為邊構(gòu)成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請用含m的代數(shù)式表示點P的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題意將a=1，C（0，﹣3）代入y=a（x2﹣2mx﹣3m2），進而求出m的值，即可得出答案； （2）首先根據(jù)題意表示出A，B，C，D，進而聯(lián)立，求出E點坐標(biāo)即可得出答案； （3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3），再利用PF，AD，AE的關(guān)系得出答案． 【解答】解：（1）當(dāng)a=1時，y=a（x2﹣2mx﹣3m2）=x2﹣2mx﹣3m2， ∵與y軸交于點C（0，﹣3）， ∴﹣3m2=﹣3， 解得：m=1， ∵m＞0， ∴m=1， ∴拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2+4， 故拋物線頂點坐標(biāo)為：D（2，﹣3）； （2）作D關(guān)于AB對稱的點D′必在AE上， 當(dāng)y=0，則0=a（x2﹣2mx﹣3m2）， 解得：x1=﹣m，x2=3m， 當(dāng)x=0，y=﹣3am2， 可得：A（﹣m，0）、B（3m，0），C（0，﹣3am2），D（2m，﹣3am2） ∴D′（2m，3am2）， ∵拋物線過點C， ∴﹣3am2=﹣3， 則am2=1， ∴直線AD′的解析式為：y=x+1， 聯(lián)立，整理得x2﹣3mx﹣4m2=0 解得x1=4m，x2=﹣m（舍去） ∴E（4m，5） ∴E在y=5上運動； （3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3） 設(shè)P（b，0） ∴PF2=（m﹣b）2+16，AD2=9m2+9，AE2=25m2+25 ∴（m﹣b）2+16+9m2+9=25m2+25， 解得：b1=﹣3m，b2=5m ∴P（﹣3m，0）或（5m，0）． 【點評】本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理及函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)等知識，正確解方程得出解集進而得出E點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．