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高中數(shù)學第四講數(shù)學歸納法證明不等式學業(yè)分層測評13 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例新人教A版選修4-5

上傳人：san****019

文檔編號：11974455

上傳時間：2020-05-04

格式：DOC

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學第四講數(shù)學歸納法證明不等式學業(yè)分層測評13 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例新人教A版選修4-5 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當k≤5時，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)＜49成立，則當k≥8時，均有f(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立【解析】　根據(jù)題中條件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因為D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4時，f(k)≥k2，故只有D正確．【答案】　D 2．用數(shù)學歸納法證明“對于任意x＞0和正整數(shù)n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”時，需驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應為(　　) A．n0＝1 B．n0＝2 C．n0＝1,2 D.以上答案均不正確【解析】　需驗證：n0＝1時，x＋≥1＋1成立．【答案】　A 3．利用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為(　　) A．12 B．13 C．14 D.不存在【解析】　令f(n)＝＋＋…＋，易知f(n)是單調(diào)遞增的， ∴f(n)的最小值為f(2)＝＋＝. 依題意>，∴m<14.因此取m＝13. 【答案】　B 5．用數(shù)學歸納法證明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊(　　) A．增加了一項 B．增加了兩項， C．增加了B中兩項但減少了一項 D．以上各種情況均不對【解析】　∵n＝k時，左邊＝＋＋…＋，n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋＋＋， ∴增加了兩項，，少了一項. 【答案】　C 二、填空題 6．用數(shù)學歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時，第一步的驗證為________．【解析】　當n＝1時，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】　21＋1≥12＋1＋2 7．證明＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，當n＝2時，要證明的式子為________．【解析】　當n＝2時，要證明的式子為 2＜1＋＋＋＜3. 【答案】　2＜1＋＋＋＜3 8．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n邊形A1A2…An中，類似成立的不等式為________．【解析】　由題中已知不等式可猜想：＋＋＋…＋ ≥(n≥3且n∈N＋)．【答案】?。?n≥3且n∈N＋) 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． (1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論； (2)證明：S＋S＋…＋S≤－. 【解】　(1)S1＝a1＝，∴＝2. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， ∴－＝2. 故是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列． (2)證明：①當n＝1時，S＝＝－，不等式成立． ②假設n＝k(k≥1，且k∈N＋)時，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，則當n＝k＋1時，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－＝－<－＝－. 即當n＝k＋1時，不等式成立．由①②可知對任意n∈N＋不等式成立． 10．已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，證明：an≥2n－1(n∈N*)．【證明】　由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝x2－1. 因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)， (1)當n＝1時，a1≥1＝21－1，不等式成立． (2)假設當n＝k時，不等式成立，即ak≥2k－1，當n＝k＋1時， ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1. 又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1時，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．根據(jù)(1)和(2)知，對任意n∈N＋，an≥2n－1成立． [能力提升] 1．對于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是(　　) A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n C．0.9n≤1－0.1n D.0.1n≤1－0.9n 【解析】　排除法，取n＝2，只有C不成立．【答案】　C 2．利用數(shù)學歸納法證明“＜”時，n的最小取值n0應為________. 【導學號：32750071】【解析】　n0＝1時不成立，n0＝2時，＜，再用數(shù)學歸納法證明，故n0＝2. 【答案】　2 3．設a，b均為正實數(shù)(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，則M，N的大小關(guān)系為____________________. 【解析】　當n＝1時，M＝a＋b＝N，當n＝2時，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M，當n＝3時，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M，歸納得M≥N. 【答案】　M≥N 4．已知f(x)＝，對于n∈N＋，試比較f()與的大小并說明理由．【解】　據(jù)題意f(x)＝＝＝1－， ∴f()＝1－. 又＝1－，∴要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可，當n＝1時，21＝2＞12＝1，當n＝2時，22＝4＝22，當n＝3時，23＝8＜32＝9，當n＝4時，24＝16＝42，當n＝5時，25＝32＞52＝25，當n＝6時，26＝64＞62＝36. 故猜測當n≥5(n∈N＋)時，2n＞n2，下面用數(shù)學歸納法加以證明． (1)當n＝5時，不等式顯然成立． (2)假設n＝k(k≥5且k∈N＋)時，不等式成立，即2k＞k2. 則當n＝k＋1時， 2k＋1＝22k＞2k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1 ＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2，即n＝k＋1時，不等式也成立．由(1)(2)可知，對一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立．綜上所述，當n＝1或n≥5時，f()＞，當n＝2或n＝4時，f()＝，當n＝3時，f()＜.

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