2019-2020年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線章節(jié)復(fù)習(xí)知識精講 文 人教版第二冊.doc
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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線章節(jié)復(fù)習(xí)知識精講 文 人教版第二冊 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容: 圓錐曲線章節(jié)復(fù)習(xí) 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn): 1. 重點(diǎn): 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì) 2. 難點(diǎn): 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、最值問題、幾何性質(zhì)的應(yīng)用 三. 知識結(jié)構(gòu): 【典型例題】 [例 1] 已知,試討論當(dāng)?shù)闹底兓瘯r,方程表示曲線的形狀。 解: (1)當(dāng)時,方程為,即,表示兩條平行于軸的直線。 (2)當(dāng)時, ,方程可化為 1cossin1 22???yx ,表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。 (3)當(dāng)時,方程為,表示圓心在原點(diǎn),半徑為的圓。 (4)當(dāng)時, ,方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。 (5)當(dāng)時,方程化為,表示兩條平行于軸的直線。 (6)當(dāng)時, , ,方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線。 [例 2] 已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上,一條漸近線方程為,且過點(diǎn)(4, ) 。 (1)求雙曲線方程; (2)若點(diǎn) M(3, )在此雙曲線上,求; (3)求的面積。 解: (1)由題意知,雙曲線的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程 ∵ 雙曲線的一條漸近線方程為 ∴ 設(shè)雙曲線方程為 把點(diǎn)(4, )代入雙曲線方程得, ∴ 所求雙曲線方程為 (2)由(1)知雙曲線方程為 ∴ 雙曲線的焦點(diǎn)為、 ∵ M 點(diǎn)在雙曲線上 ∴ , ∴ 2221 )3(),32(),3( mmF ???????? (3)∵ ∴ ∴ 為直角三角形 ∵ 14)((221 ?? 3124)(32(22?????mMF ∴ 6121 ?????FS [例 3] 已知拋物線的焦點(diǎn)為 A,以 B()為圓心,長為半徑,在軸上方的半圓交拋物線于 不同的兩點(diǎn) M、N,P 是 MN 的中點(diǎn)。 (1)求的值; (2)是否存在這樣的值,使、 、成等差數(shù)列? 解:如下圖,A() ∵ ∴ 圓的方程為 與聯(lián)立得 08)4(22????axax ∴ 2??? 解得 設(shè) 則, ∴ 8221 aaxANM (2)設(shè) P() ,則, ∴ ∴ aaxx 828211 ????? ∴ ),4(2a?? 若、成等差數(shù)列,則 ∴ 168()2 ? 解得,這與矛盾 故不存在,使成等差數(shù)列 [例 4] 已知雙曲線與點(diǎn) P(1,2) ,過 P 點(diǎn)作直線與雙曲線交于 A、B 兩點(diǎn),若 P 為 AB 的中 點(diǎn)。 (1)求直線 AB 的方程; (2)若 Q(1,1) ,證明:不存在以 Q 為中點(diǎn)的弦。 方法一:(1)解:設(shè)過 P(1,2)點(diǎn)的直線為,代入雙曲線方程 得 0)64()()(2 ?????kxkxk 由線段 AB 中點(diǎn)為 P(1,2) ∴ 解得,又時,使 從而直線 AB 方程為 (2)證明:按同樣方法求得,而使,所以直線 CD 不存在 方法二:設(shè) A() 、B() , ①, ② ①-②得: 0))((21)( 212121 ?????yyxx ∴ 寫出直線方程,即,檢驗(yàn)與雙曲線有交點(diǎn) [例 5] 已知雙曲線(, )的左、右兩個焦點(diǎn)分別為 F1、F 2,P 是它左支上一點(diǎn),P 到左準(zhǔn)線 的距離為,雙曲線的一條漸近線為,問是否存在點(diǎn) P,使、 、成等比數(shù)列?若存在,求出 P 的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。 解:假設(shè)存在點(diǎn) P()滿足題中條件 ∵ 雙曲線的一條漸近線為 ∴ , ∴ , 即 由,得 ① ∵ 雙曲線的兩準(zhǔn)線方程為 ∴ axcxPF?????0 201axcxPF?????0202 ∵ 點(diǎn) P 在雙曲線的左支上 ∴ 021),(eea?代入①得 ∴ ,代入,得② ∴ 存在點(diǎn) P 使成等比數(shù)列,點(diǎn) P 的坐標(biāo)是() [例 6] 如圖,直線和相交于點(diǎn) M, ,點(diǎn) N,以 A、B 為端點(diǎn)的曲線段 C 上的任一點(diǎn)到的距離 與到點(diǎn) N 的距離相等。若為銳角三角形, ,=3,且,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段 C 的方程。 解:方法一:以為軸,MN 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)建立如圖的直角坐標(biāo)系。由題意可知,曲線 段 C 所在的拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置是標(biāo)準(zhǔn)的,并且點(diǎn) N 是該拋物線的焦點(diǎn),是準(zhǔn)線。 所以可令拋物線的方程為,過點(diǎn) A 作, ,垂足分別為 Q 和 E,由于是銳角三角形,則點(diǎn) E 必 在線段 MN 上。 所以, ∵ ∴ 22???MQ 12??ENE ∴ 4?NAMp ∴ 拋物線方程為 由上述可知, ,點(diǎn) B 到準(zhǔn)線的距離為 6,則點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 4,又曲線段在軸上方,故 曲線段 C 的方程為 方法二:以為軸,為軸建立如下圖的直角坐標(biāo)系,其中 M 點(diǎn)為原點(diǎn),這時焦點(diǎn) N 在軸 上,頂點(diǎn)應(yīng)是線段 MN 的中點(diǎn)。令曲線段 C 所在的拋物線方程為: 設(shè) ),2(),2(11ypypA?? 則: ?? ???????)3(6)2(972121ypy 由(1)-(2)得 代入(1)得 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 代入(3)得 ∴ 曲線段 C 的方程為 )242)(82???yxy [例 7] 設(shè)分別為橢圓 C:()的左、右兩個焦點(diǎn)。 (1)若橢圓 C 上的點(diǎn) A(1, )到兩點(diǎn)的距離之和等于 4,寫出橢圓 C 的方程和焦點(diǎn)坐 標(biāo); (2)設(shè)點(diǎn) K 是(1)中所得橢圓上的動點(diǎn)。求線段 F1K 的中點(diǎn)的軌跡方程; (3)已知橢圓具有性質(zhì):若 M、N 是橢圓 C 上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn) P 是橢圓上 任意一點(diǎn),當(dāng)直線 PM、PN 的斜率都存在,并記為時,那么與之積是與點(diǎn) P 位置無關(guān)的定值。 試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明。 解:(1)橢圓 C 的焦點(diǎn)在軸上 ∵ 橢圓上的點(diǎn) A 到兩點(diǎn)的距離和是 4,得,即 又 ∵ 點(diǎn) A()在橢圓上 ∴ ,得 ∴ ∴ 橢圓 C 的方程為,焦點(diǎn)為、 (2)設(shè)橢圓 C 上的動點(diǎn)為 K() ,線段 F1K 的中點(diǎn) Q()滿足: ∴ 因此 即為所求的軌跡方程 (3)類似的性質(zhì)為:若 M、N 是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn) P 是雙曲線上任 意一點(diǎn),當(dāng)直線 PM、PN 的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點(diǎn) P 位置無關(guān)的定值。 證明如下:設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為() ,則點(diǎn) N 的坐標(biāo)為() ,其中。又設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為() ,由, =,得 2mxnyxnykPN??????? 將, ,代入得,命題得證。 [例 8] 直線:與雙曲線 C:的右支交于不同的兩點(diǎn) A、B。 (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)是否存在實(shí)數(shù),使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點(diǎn) F?若存在, 求出的值;若不存在,說明理由。 解: (1)將直線的方程代入雙曲線 C 的方程后,整理,得①,依題意,直線與雙曲線 C 的 右支交于不同兩點(diǎn),故 ???????????020)2(8)2(0kkk 解得的取值范圍為 (2)設(shè) A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則由①式得 ??? ?????2212kx ②,假設(shè)存在實(shí)數(shù), 使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點(diǎn) F() ,則由 FA⊥FB 得0)(2121???ycx 即 0)(21??kx 整理得 1)??ccxk ③ 把②式及代入③式化簡得 解得或(舍去) 可得使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點(diǎn)。 【模擬試題】 (答題時間:60 分鐘) 一. 選擇題 1. 橢圓的一條準(zhǔn)線為,則橢圓的離心率等于( ) A. B. C. D. 2. 雙曲線的離心率,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 3. 若橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點(diǎn)、 ,P 是兩條曲線的一個交點(diǎn),則的值是( ) A. B. C. D. 4. 雙曲線的焦點(diǎn)為、 ,弦 AB 過且兩端點(diǎn)在雙曲線的一支上,若,則( ) A. 為定值 B. 為定值 C. 為定值 D. 不為定值 5. 設(shè) P 是橢圓上一點(diǎn), 、是橢圓的兩個焦點(diǎn),則的最小值是( ) A. B. C. D. 6. 若點(diǎn) P 在拋物線上,點(diǎn) Q 在圓上,則的最小值為( ) A. B. C. D. 7. 拋物線上到頂點(diǎn)與焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. 8. 將離心率為的橢圓,繞著它的左焦點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)后,所得新橢圓的一條準(zhǔn)線方 程為,則新橢圓的另一條準(zhǔn)線方程為( ) A. B. C. D. 二. 填空題 1. 已知、是雙曲線的兩個焦點(diǎn),PQ 是經(jīng)過且垂直于軸的雙曲線的弦,如果,則雙曲線 的離心率是 。 2. 已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),P 是橢圓上的動點(diǎn),當(dāng)弦 AP 的長度最大時,則點(diǎn) P 的坐標(biāo) 是 。 3. 正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上,這個正三角形的邊長 是 。 4. 拋物線的弦 AB 垂直于軸,若,則焦點(diǎn)到 AB 的距離為 。 三. 解答題 1. 已知中心在原點(diǎn),一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求橢圓的方程。 2. 設(shè) AB 是拋物線上的動弦,且(為常數(shù)) ,求弦 AB 中點(diǎn) M 到軸的最近距離,并研究的 情況。 3. 求拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值,并求取得最小值時的拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)。 【試題答案】 一. 1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D 7. C 8. D 二. 1. 2. 3. 4. 三. 1. 解:∵ 橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上 ∴ 橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程 ∵ ∴ ∴ 橢圓的方程可寫成 把直線代入橢圓的方程并整理得 ∴ ∵ 弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ∴ , ∴ ∴ 所求橢圓的方程為 2. (1)解法一:設(shè)直線 AB 的方程為,A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, 由 得 ∴ ∴ abkxkAB??????41||| 2212 ,化簡得 點(diǎn) M 到軸的距離為 ])(12[42???a 當(dāng)且僅當(dāng),即時“=”成立 解法二:設(shè) A、M、B 點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為、 、 ,A、M、B 三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別 為、 、 由拋物線的定義,知, ∴ , 又 M 是線段 AB 的中點(diǎn) ∴ )12(4)|(21)||(21)(213 ??????? aFyy ,等號在 AB 過焦點(diǎn) F 時成立 ∴ 當(dāng)定長為的弦過焦點(diǎn) F 時,M 點(diǎn)與軸的距離最近,最近距離為 (2)若,此時只能用解法一,得 ]1)(1[422?kay 令,得 又在上是減函數(shù),在上是增函數(shù) 又,故在上是增函數(shù),故當(dāng)即時, 3. 解法一:設(shè)是拋物線上的點(diǎn),則 ∴ |4634|515|634| 020 ?????yyxd ∴ 當(dāng),時,有最小值 2 此時拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為 解法二:由無實(shí)根,知直線與拋物線沒有公共點(diǎn) 設(shè)與直線平行的直線為 代入得① 設(shè)此直線與拋物線相切,即只有一個公共點(diǎn) ∴ ,解得,代入①,得, ,即點(diǎn)到直線的距離最近,最近距離 235|)46(12|???d- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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