2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第06講 函數(shù)與方程教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第06講 函數(shù)與方程教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.結(jié)合二次函數(shù)的圖像,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù),從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系; 2.根據(jù)具體函數(shù)的圖像,能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解,了解這種方法是求方程近似解的常用方法。 二.命題走向 函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識點,特別是“二分法”求方程的近似解也一定會是高考的考點。從近幾年高考的形勢來看,十分注重對三個“二次”(即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同時也研究了它的許多重要的結(jié)論,并付諸應(yīng)用。高考試題中有近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān)。 預(yù)計xx年高考對本講的要求是:以二分法為重點、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關(guān)系為目標(biāo)來考察學(xué)生的能力。 (1)題型可為選擇、填空和解答; (2)高考試題中可能出現(xiàn)復(fù)合了函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)零點的綜合題,同時考察函數(shù)方程的思想。 三.要點精講 1.方程的根與函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點 概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。 函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即:方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。 二次函數(shù)的零點: 1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點; 2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點; 3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點。 零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。既存在,使得,這個也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步驟: 對于在區(qū)間,上連續(xù)不斷,且滿足的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法. 給定精度,用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下: (1)確定區(qū)間,,驗證,給定精度; (2)求區(qū)間,的中點; (3)計算: ①若=,則就是函數(shù)的零點; ②若<,則令=(此時零點); ③若<,則令=(此時零點); (4)判斷是否達到精度; 即若,則得到零點零點值(或);否則重復(fù)步驟2~4。 注:函數(shù)零點的性質(zhì) 從“數(shù)”的角度看:即是使的實數(shù); 從“形”的角度看:即是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo); 若函數(shù)的圖象在處與軸相切,則零點通常稱為不變號零點; 若函數(shù)的圖象在處與軸相交,則零點通常稱為變號零點。 注:用二分法求函數(shù)的變號零點:二分法的條件表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點。 3.二次函數(shù)的基本性質(zhì) (1)二次函數(shù)的三種表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n。 (2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q)。 若-f(1-m) 當(dāng)x∈(1-m, +∞)時,f ’(x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m) 根據(jù)函數(shù)極值判別方法,f(1-m)=1-m為極小值,而且 對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故當(dāng)整數(shù)m≤1時,f(x) ≥1-m≥0 (2)證明:由(I)知,當(dāng)整數(shù)m>1時,f(1-m)=1-m<0, 函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù). 由所給定理知,存在唯一的 而當(dāng)整數(shù)m>1時, 類似地,當(dāng)整數(shù)m>1時,函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號,由所給定理知,存在唯一的 故當(dāng)m>1時,方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根。 點評:本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。 例4.若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,則下列說法正確的是( ) A.若,不存在實數(shù)使得; B.若,存在且只存在一個實數(shù)使得; C.若,有可能存在實數(shù)使得; D.若,有可能不存在實數(shù)使得; 解析:由零點存在性定理可知選項D不正確;對于選項B,可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在三個解”推翻;同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在兩個解”;選項D正確,見實例“在區(qū)間上滿足,但其不存在實數(shù)解”。 點評:該問題詳細(xì)介紹了零點存在性定理的理論基礎(chǔ)。 題型3:二分法的概念 例5.關(guān)于“二分法”求方程的近似解,說法正確的是() A.“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點得到; B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點; C.應(yīng)用“二分法”求方程的近似解,在[a,b]內(nèi)有可能無零點; D.“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解; 解析:如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè),且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根,二分法只可能求出其中的一個,只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解,二分法的實施滿足零點存在性定理,在區(qū)間內(nèi)一定存在零點,甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。 點評:該題深入解析了二分法的思想方法。 例6.方程在[0,1]內(nèi)的近似解,用“二分法”計算到達到精確度要求。那么所取誤差限是( ) A.0.05 B.0.005 C.0.0005 D.0.00005 解析:由四舍五入的原則知道,當(dāng)時,精度達到。此時差限是0.0005,選項為C。 點評:該題考察了差限的定義,以及它對精度的影響。 題型4:應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解 例7.借助計算器,用二分法求出在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解(精確到0.1)。 解析:原方程即。 令, 用計算器做出如下對應(yīng)值表 x -2 -1 0 1 2 f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 -4.6974 觀察上表,可知零點在(1,2)內(nèi) 取區(qū)間中點=1.5,且,從而,可知零點在(1,1.5)內(nèi); 再取區(qū)間中點=1.25,且,從而,可知零點在(1.25,1.5)內(nèi); 同理取區(qū)間中點=1.375,且,從而,可知零點在(1.25,1.375)內(nèi); 由于區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。 點評:該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程,通過本題學(xué)會借助精度終止二分法的過程。 例8.借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解(精確到)。 分析:本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外,你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)? 略解:圖象在閉區(qū)間,上連續(xù)的單調(diào)函數(shù),在,上至多有一個零點。 點評:①第一步確定零點所在的大致區(qū)間,,可利用函數(shù)性質(zhì),也可借助計算機或計算器,但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間,盡量縮短區(qū)間長度,通??纱_定一個長度為1的區(qū)間; ②建議列表樣式如下: 零點所在區(qū)間 中點函數(shù)值 區(qū)間長度 [1,2] >0 1 [1,1.5] <0 0.5 [1.25,1.5] <0 0.25 如此列表的優(yōu)勢:計算步數(shù)明確,區(qū)間長度小于精度時,即為計算的最后一步。 題型5:一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點 例9. 設(shè)二次函數(shù),方程的兩個根滿足. 當(dāng)時,證明。 證明:由題意可知, , ∴ , ∴ 當(dāng)時,。 又, ∴ , 綜上可知,所給問題獲證。 點評:在已知方程兩根的情況下,根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系,可以寫出函數(shù)的表達式,從而得到函數(shù)的表達式。 例10.已知二次函數(shù),設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和. (1)如果,設(shè)函數(shù)的對稱軸為,求證:; (2)如果,,求的取值范圍. 解析:設(shè),則的二根為和。 (1)由及,可得 ,即, 即 兩式相加得,所以,; (2)由, 可得 。 又,所以同號。 ∴ ,等價于 或, 即 或 解之得 或。 點評:條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間,因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化。 題型6:一元二次函數(shù)與一元二次不等式 例11.設(shè),若,,, 試證明:對于任意,有。 解析:∵ , ∴ , ∴ . ∴ 當(dāng)時, 當(dāng)時, 綜上,問題獲證。 點評:本題中,所給條件并不足以確定參數(shù)的值,但應(yīng)該注意到:所要求的結(jié)論不是確定值,而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”,因此,我們可以用來表示。 例12.已知二次函數(shù),當(dāng)時,有,求證:當(dāng)時,有 解析:由題意知:, ∴ , ∴ 。 由時,有,可得 。 ∴ , 。 (1)若,則在上單調(diào),故當(dāng)時, ∴ 此時問題獲證. (2)若,則當(dāng)時, 又, ∴ 此時問題獲證。 綜上可知:當(dāng)時,有。 點評:研究的性質(zhì),最好能夠得出其解析式,從這個意義上說,應(yīng)該盡量用已知條件來表達參數(shù). 確定三個參數(shù),只需三個獨立條件,本題可以考慮,,,這樣做的好處有兩個:一是的表達較為簡潔,二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點和中點,這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數(shù)范圍的目的。 要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍,只需考慮其最大值,也即考慮在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值。 題型7:二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 例13.(1996上海,文、理8)在下列圖象中,二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是( ) 解析一:由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1.拋物線方程是y=a(x+)2-,其頂點坐標(biāo)為(-,-),又由0<<1,可得-<-<0.觀察選擇支,可選A。 解析二:求y=ax2+bx與x軸的交點,令ax2+bx=0,解得x=0或x=-,而-1<-<0.故選A。 點評:本題雖小,但一定要細(xì)致觀察圖象,注意細(xì)微之處,獲得解題靈感。 例14.(xx全國高考題)設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)討論f(x)的奇偶性 (2)求f(x)的最小值. 解:(1)顯然a=0時,f(x)為偶函數(shù), 當(dāng)a≠0時,f(a)=a2+1, f(-a)=a2+2|a|+1 f(a)≠f(-a), f(a)+f(-a)≠0 ∴ 此時f(x)為非奇非偶函數(shù). (2)首先應(yīng)先去掉絕對值,再進行討論. ①當(dāng)x≤a時,. 若,則f(x)在區(qū)間(-∞,a]上單調(diào)遞減, ∴ f(x)的最小值為f(a)=a2+1.(如圖(I)) 若,則f(x)在區(qū)間(-∞,a]上的最小值為(如圖II). ②當(dāng)x≥a時,, 若,則f(x)在[a,+∞]上的最小值為(如圖III)。 若,則f(x)在[a,+∞]上單調(diào)遞增。 則f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a2+1.(如圖IV)。 綜上,當(dāng)時,f(x)最小值為。 當(dāng)時,f(x)最小值為a2+1。 當(dāng)時,f(x)最小值為。 點評:該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考察了分類討論的思想。 題型8:二次函數(shù)的綜合問題 例15.(xx浙江文20)已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱,且。 (Ⅰ)求函數(shù)的解析式; (Ⅱ)解不等式; (Ⅲ)若在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍。 解析:(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點關(guān)于原點的對稱點為,則 ∵點在函數(shù)的圖象上 ∴ (Ⅱ)由 當(dāng)時,,此時不等式無解。 當(dāng)時,,解得。 因此,原不等式的解集為。 (Ⅲ) ① ② ?。? ⅱ) 點評:本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。 例16.已知函數(shù)。 (1)將的圖象向右平移兩個單位,得到函數(shù),求函數(shù)的解析式; (2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,求函數(shù)的解析式; (3)設(shè),已知的最小值是且,求實數(shù)的取值范圍。 解析:(1) (2)設(shè)的圖像上一點,點關(guān)于的對稱點為,由點Q在的圖像上,所以 , 于是 即 (3)。 設(shè),則。 問題轉(zhuǎn)化為:對恒成立. 即 對恒成立. (*) 故必有.(否則,若,則關(guān)于的二次函數(shù)開口向下,當(dāng)充分大時,必有;而當(dāng)時,顯然不能保證(*)成立.),此時,由于二次函數(shù)的對稱軸,所以,問題等價于,即, 解之得:。 此時,,故在取得最小值滿足條件。 點評:緊扣二次函數(shù)的頂點式對稱軸、最值、判別式顯合力。 五.思維總結(jié) 1.函數(shù)零點的求法: ①(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根; ②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。 2.學(xué)習(xí)二次函數(shù),可以從兩個方面入手:一是解析式,二是圖像特征. 從解析式出發(fā),可以進行純粹的代數(shù)推理,這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng);從圖像特征出發(fā),可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合,這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。 由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了,易于變形(一般式、頂點式、零點式等),所以,在解決二次函數(shù)的問題時,常常借助其解析式,通過純代數(shù)推理,進而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。 (1)二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于:通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)。 (2)數(shù)形結(jié)合:二次函數(shù)的圖像為拋物線,具有許多優(yōu)美的性質(zhì),如對稱性、單調(diào)性、凹凸性等。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題,可以化難為易,形象直觀。因為二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào),所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得;函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。
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