2019-2020年高中數(shù)學2.6《函數(shù)模型及其應用》教案四蘇教版必修1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學2.6《函數(shù)模型及其應用》教案四蘇教版必修1 教學目標: 使學生從所熟悉的生活、生產和其他學科的實際問題出發(fā),進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理,得出數(shù)學概念和規(guī)律,通過構造出一個對應的數(shù)學模型而使問題清晰化、具體化,找到有效的解題途徑——構建數(shù)學模型,使實際生活問題抽象為數(shù)學問題.逐步把數(shù)學知識用到生產、生活的實際中,形成應用數(shù)學的意識,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力. 教學重點: 一是實際問題數(shù)學化,二是對得到的函數(shù)模型進行解答,得出數(shù)學問題的解. 教學難點: 實際問題數(shù)學化. 教學過程: [例1]一家報刊推銷員從報社買進報紙的價格是每份0.20元,賣出的價格是每份0.30元,賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社.在一個月(以30天計算)有20天每天可賣出400份,其余10天只能賣250份,但每天從報社買進報紙的份數(shù)都相同,問應該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大?并計算每月最多能賺多少錢? 解析:本題所給條件較多,數(shù)量關系比較復雜,可以列表分析: 設每天從報社買進x份(250≤x≤400). 數(shù)量(份) 價格(元) 金額(元) 買進 30 0.20 6x 賣出 20x+10250 0.30 6x+750 退回 10(x-250) 0.08 0.8x-200 則每月獲利潤y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x=0.8x+550(250≤x≤400). y在x[250,400]上是一次函數(shù). ∴x=400元時,y取得最大值870元. 答:每天從報社買進400份時,每月獲的利潤最大,最大利潤為870元. 點評:自變量x的取值范圍[250,400]是由問題的實際意義決定的,建立函數(shù)關系式時應注意挖掘. [例2]某人從A地到B地乘坐出租車,有兩種方案,第一種方案:租用起步價10元,每km價為1.2元的汽車;第二種方案:租用起步價為8元,每km價為1.4元的汽車,按出租車管理條例,在起步價內,不同型號行駛的里程是相等的.則此人從A地到掃地選擇哪一種方案比較合適. 答案:當A、B距離在起步價以內時,選擇第二種方案; 當A、B距離在(a,a+10)時,選擇第二種方案; 當A、B距離恰好為a+10時,選擇兩種方案均可以; 當A、B距離大于a+10時,選擇第一種方案. (其中a為起步價內汽車行駛的里程) 點評:信息量大是數(shù)學應用題的一大特點,當所給條件錯綜復雜,一時難以理清關系時,可采用列表分析的方法,有些典型應用題也可以畫出相應的圖形,建立坐標系等. ?。劾?]按復利計算利率的儲蓄,銀行整存一年,年息8%,零存每月利息2%,現(xiàn)把2萬元存入銀行3年半,求取出后本利的和 解析:3年半本利和的計算問題,應轉為3年按年息8%計算,而半年按6個月(月息2%)計算,又由于是復利問題,故取出2(1+8%)3(1+2%)6萬元. [例4]某學生離家去學校,為了鍛煉身體,一開始跑步前進,跑累了再走余下的路,下圖中,縱軸表示離學校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時間,則下列四個圖形中較符合該生走法的是( ?。? 解析:由于d0表示學生的家與學校的距離,因而首先排除A、C選項,又因為圖中線段的斜率的絕對值表示前進速度的大小,因而排除B,故只能選擇D. ?。劾?]容器中有濃度為m%的溶液a升,現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿,再倒出b升后用水加滿,求這樣進行了10次后溶液的濃度 ?。?-)10m% 總結解應用題的策略: 一般思路可表示如下: 因此,解決應用題的一般程序是: ?、賹忣}:弄清題意,分清條件和結論,理順數(shù)量關系; ?、诮#簩⑽淖终Z言轉化為數(shù)學語言,利用數(shù)學知識,建立相應的數(shù)學模型; ?、劢饽#呵蠼鈹?shù)學模型,得出數(shù)學結論; ?、苓€原:將用數(shù)學知識和方法得出的結論,還原為實際問題的意義. ?。劾?]某地方政府為保護地方電子工業(yè)發(fā)展,決定對某一進口電子產品征收附加稅.已知這種電子產品國內市場零售價為每件250元,每年可銷售40萬件,若政府增加附加稅率為每百元收t元時,則每年銷售量將減少 t萬件. ?。?)將稅金收入表示為征收附加稅率的函數(shù); ?。?)若在該項經營中每年征收附加稅金不低于600萬元,那么附加稅率應控制在什么范圍? 解析:(1)設每年銷售是x萬件,則每年銷售收入為250x萬元,征收附加稅金為y=250xt%. 依題意,x=40-t. 所求的函數(shù)關系式為y=250(40-t)t%. ?。?)依題意,250(40-t)t%≥600,即t2-25t+150≤0, ∴10≤t≤15. 即稅率應控制在10%~15%之間為宜. 注意點: 1.在引入自變量建立目標函數(shù)解決函數(shù)應用題時,一是要注意自變量的取值范圍,二是要檢驗所得結果,必要時運用估算和近似計算,以使結果符合實際問題的要求. 2.在實際問題向數(shù)學問題的轉化過程中,要充分使用數(shù)學語言,如引入字母,列表,畫圖,建立坐標系等,以使實際問題數(shù)學符號化. 3.對于建立的各種數(shù)學模型,要能夠模型識別,充分利用數(shù)學方法加以解決,并能積累一定數(shù)量的典型的函數(shù)模型,這是順利解決實際問題的重要資本. 本節(jié)內容主要是運用所學的函數(shù)知識去解決實際問題,要求學生掌握函數(shù)應用的基本方法和步驟.函數(shù)的應用問題是高考中的熱點內容,必須下功夫練好基本功.本節(jié)涉及的函數(shù)模型有:一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及較簡單的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù).其中,最重要的是二次函數(shù)模型. ?。劾?]將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售,每天可賣出100個.若每個銷售漲價一元,則日銷售量減少10個.為獲得最大利潤,則此商品當日銷售價應定為每個多少元? 解析:設每個漲價x元,則實際銷售價為(10+x)元,銷售的個數(shù)為(100-10x),則利潤為y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x≤10). 因此x=4,即售價定為每個14元時,利潤最大. ?。劾?]為保護環(huán)境,實現(xiàn)城市綠化,某房地產公司要在拆遷地矩形ABCD(如下圖所示)上規(guī)劃出一塊矩形地面建造住宅區(qū)小公園POCR(公園的兩邊分別落在BC和CD上),但不能超過文物保護三角形AEF的紅線EF.問如何設計才能使公園占地面積最大?并求出最大面積.已知AB=CD=200m,BC=AD=160m,AE=60m,AF=40m. 解析:設PO=x, 則S=-(x-190)2+1902,0<x<200, 即x=190時,最大面積為24067m2. 總結: 解決函數(shù)應用題的流程圖是: 解決函數(shù)應用題的基本步驟是: 第一步:認真讀題,縝密審題,確切理解題意,明確問題實際背景,然后進行科學的抽象、概括,將實際問題轉化成實際問題,即實際問題數(shù)學化. 第二步:運用所學的數(shù)學知識和數(shù)學方法解答函數(shù)問題,得出函數(shù)問題的解. 第三步:將所得函數(shù)問題的解代入實際問題進行驗證,看是否符合實際,并對實際問題作答. 課后練習 1.某城市出租汽車統(tǒng)一價格,凡上車起步價為6元,行程不超過2km者均按此價收費,行程超過2km,按1.8元/km收費,另外,遇到塞車或等候時,汽車雖沒有行駛,仍按6分鐘折算1km計算,陳先生坐了一趟這種出租車,車費17元,車上儀表顯示等候時間為11分30秒,那么陳先生此趟行程介于( ?。? A.5~7km B.9~11km C.7~9km D.3~5km 答案:A 2.某純凈水制造廠在凈化水的過程中,每增加一次過濾可減少水中雜質20%,要使水中雜質減少到原來的5%以下,則至少需要過濾的次數(shù)為( ?。▍⒖紨?shù)據lg2=0.3010,lg3=0.4771) A.5 B.10 C.14 D.15 答案:C 3.有一批材料可以建成200m的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地,中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如下圖所示),則圍成的矩形最大面積為________m2(圍墻厚度不計). 解析:設矩形寬為xm,則矩形長為(200-4x)m, 則矩形面積為 S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0<x<50), ∴x=25時,S有最大值2500m2. 4.一家人(父親、母親、孩子)去某地旅游,有兩個旅行社同時發(fā)出邀請,且有各自的優(yōu)惠政策.甲旅行社承諾,如果父親買一張全票,則其家庭成員均可享受半價,乙旅行社承諾,家庭旅行算團體票,按原價的計算,這兩家旅行社的原價是一樣的,若家庭中孩子數(shù)不同,試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實施后的孩子個數(shù)為變量的收費表達式,比較選擇哪家更優(yōu)惠? 解答:設兩家旅行社的原價為a(a>0),家庭孩子個數(shù)為x(xN*),甲、乙兩家旅行收費分別為f(x)和g(x), 則f(x)=a+(x+1)=x+a(xN*), g(x)=(x+2)=x+(xN*), g(x)≥f(x),得 x+≤x+,∴x≥1. 因此,當家庭只有1個孩子時,兩家隨便選擇,當孩子數(shù)多于1個時,應選擇甲旅行社. 5.某商場在促銷期間規(guī)定:商場內所有商品按標價的80%出售,同時當顧客在該商場內消費滿一定金額后,按以下方案獲得相應金額的獎券: 消費金額的范圍 [200,400) [400,500) [500,700) [700,900) … 獲得獎券的金額 30 60 100 130 … 根據上述促銷方法,顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠,例如:購買標價400元的商品,則消費金額為320元,獲得的優(yōu)惠額為4000.2+30=110元,設購買商品的優(yōu)惠率=. 試問:(1)若購買一件標價為1000元的商品,顧客得到的優(yōu)惠率是多少? ?。?)對于標價在[500,800]內的商品,顧客購買標價為多少元的商品,可獲得不小于的優(yōu)惠率? 答案:(1)優(yōu)惠率為33%; ?。?)標價在[625,750]內的商品,購買時可獲得不小于的優(yōu)惠率. 6.經市場調查,某商品在近100天內,其銷售量和價格均為時間t的函數(shù),且銷售量近似地滿足關系g(t)=-t+,(tN,0<t≤100),在前40天里價格為f(t)=t+22(tN,0<t≤40),在后60天里價格為f(t)=-t+52(tN,40<t≤100),求這種商品的日銷售額的最大值. 解析:由題意知,當0<t≤40,h(t)=-(t-10.5)2+; 當40<t≤100,h(t)=(t-106.5)2-;∴t=10或11時,這種商品的日銷售額的最大值為808.5. 第30、31課時 函數(shù)模型及其應用 [例1]一家報刊推銷員從報社買進報紙的價格是每份0.20元,賣出的價格是每份0.30元,賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社.在一個月(以30天計算)有20天每天可賣出400份,其余10天只能賣250份,但每天從報社買進報紙的份數(shù)都相同,問應該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大?并計算每月最多能賺多少錢? [例2]某人從A地到B地乘坐出租車,有兩種方案,第一種方案:租用起步價10元,每km價為1.2元的汽車;第二種方案:租用起步價為8元,每km價為1.4元的汽車,按出租車管理條例,在起步價內,不同型號行駛的里程是相等的.則此人從A地到掃地選擇哪一種方案比較合適. ?。劾?]按復利計算利率的儲蓄,銀行整存一年,年息8%,零存每月利息2%,現(xiàn)把2萬元存入銀行3年半,求取出后本利的和 [例4]某學生離家去學校,為了鍛煉身體,一開始跑步前進,跑累了再走余下的路,下圖中,縱軸表示離學校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時間,則下列四個圖形中較符合該生走法的是( ) ?。劾?]容器中有濃度為m%的溶液a升,現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿,再倒出b升后用水加滿,求這樣進行了10次后溶液的濃度 ?。劾?]某地方政府為保護地方電子工業(yè)發(fā)展,決定對某一進口電子產品征收附加稅.已知這種電子產品國內市場零售價為每件250元,每年可銷售40萬件,若政府增加附加稅率為每百元收t元時,則每年銷售量將減少 t萬件. ?。?)將稅金收入表示為征收附加稅率的函數(shù); (2)若在該項經營中每年征收附加稅金不低于600萬元,那么附加稅率應控制在什么范圍? ?。劾?]將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售,每天可賣出100個.若每個銷售漲價一元,則日銷售量減少10個.為獲得最大利潤,則此商品當日銷售價應定為每個多少元? ?。劾?]為保護環(huán)境,實現(xiàn)城市綠化,某房地產公司要在拆遷地矩形ABCD(如下圖所示)上規(guī)劃出一塊矩形地面建造住宅區(qū)小公園POCR(公園的兩邊分別落在BC和CD上),但不能超過文物保護三角形AEF的紅線EF.問如何設計才能使公園占地面積最大?并求出最大面積.已知AB=CD=200m,BC=AD=160m,AE=60m,AF=40m. 課后練習 1.某城市出租汽車統(tǒng)一價格,凡上車起步價為6元,行程不超過2km者均按此價收費,行程超過2km,按1.8元/km收費,另外,遇到塞車或等候時,汽車雖沒有行駛,仍按6分鐘折算1km計算,陳先生坐了一趟這種出租車,車費17元,車上儀表顯示等候時間為11分30秒,那么陳先生此趟行程介于( ?。? A.5~7km B.9~11km C.7~9km D.3~5km 2.某純凈水制造廠在凈化水的過程中,每增加一次過濾可減少水中雜質20%,要使水中雜質減少到原來的5%以下,則至少需要過濾的次數(shù)為( )(參考數(shù)據lg2=0.3010,lg3=0.4771) A.5 B.10 C.14 D.15 3.有一批材料可以建成200m的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地,中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如下圖所示),則圍成的矩形最大面積為________m2(圍墻厚度不計). 4.一家人(父親、母親、孩子)去某地旅游,有兩個旅行社同時發(fā)出邀請,且有各自的優(yōu)惠政策.甲旅行社承諾,如果父親買一張全票,則其家庭成員均可享受半價,乙旅行社承諾,家庭旅行算團體票,按原價的計算,這兩家旅行社的原價是一樣的,若家庭中孩子數(shù)不同,試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實施后的孩子個數(shù)為變量的收費表達式,比較選擇哪家更優(yōu)惠? 5.某商場在促銷期間規(guī)定:商場內所有商品按標價的80%出售,同時當顧客在該商場內消費滿一定金額后,按以下方案獲得相應金額的獎券: 消費金額的范圍 [200,400) [400,500) [500,700) [700,900) … 獲得獎券的金額 30 60 100 130 … 根據上述促銷方法,顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠,例如:購買標價400元的商品,則消費金額為320元,獲得的優(yōu)惠額為4000.2+30=110元,設購買商品的優(yōu)惠率=. 試問:(1)若購買一件標價為1000元的商品,顧客得到的優(yōu)惠率是多少? (2)對于標價在[500,800]內的商品,顧客購買標價為多少元的商品,可獲得不小于的優(yōu)惠率? 6.經市場調查,某商品在近100天內,其銷售量和價格均為時間t的函數(shù),且銷售量近似地滿足關系g(t)=-t+,(tN,0<t≤100),在前40天里價格為f(t)=t+22(tN,0<t≤40),在后60天里價格為f(t)=-t+52(tN,40<t≤100),求這種商品的日銷售額的最大值.- 配套講稿:
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