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2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題一 選擇、填空題對點練教案 理 新人教A版
1.集合的基本概念
(1)集合中元素的特性:確定性、互異性、無序性.
(2)集合的表示方法:列舉法、描述法、圖示法.
(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念.
2.集合的基本運算
(1)交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)補集:?UA={x|x∈U,且x?A}.
3.運算性質(zhì)及重要結(jié)論
(1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A.
(2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.
(3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.
(4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A.
4.全稱命題與特稱命題
(1)全稱命題p:?x∈M,p(x),它的否定綈p:?x0∈M,綈p(x0).
(2)特稱命題p:?x0∈M,p(x0),它的否定綈p:?x∈M,綈p(x).
5.四種命題
用p,q表示一個命題的條件和結(jié)論,綈p和綈q分別表示條件和結(jié)論的否定,那么原命題:若p則q;逆命題:若q則p;否命題:若綈p則綈q;逆否命題:若綈q則綈p.
[覽規(guī)律技巧]
1.研究集合問題,一定要抓住元素,看元素應滿足的屬性,對于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性.
2.解決集合的運算時,一般先運算括號內(nèi)的部分.當集合是用列舉法表示的數(shù)集時,可以通過列舉集合的元素進行運算;當集合是用不等式形式表示時,可運用數(shù)軸求解.
3.判斷命題真假的方法
(1)等價轉(zhuǎn)化法:當一個命題的真假不好判斷時,可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假.
(2)特值法:當判定一個全稱命題為假或一個特稱(存在性)命題為真時,可代入特值進行驗證.
注意:判斷有關不等式的充分條件和必要條件問題時,記住“小范圍”?“大范圍”.
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1.設全集為R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1
0
C.對任意的x∈R,x3+x+1>0
D.對任意的x∈R,x3+x+1≤0
解析:選C “存在x0∈R,x+x0+1≤0”的否定是“對任意的x∈R,x3+x+1>0”.
6.設集合A={x|x=,k∈N},B={x|x≤5,x∈Q},則A∩B=( )
A.{1,2,5} B.{1,2,4,5}
C.{1,4,5} D.{1,2,4}
解析:選B 當k=0時,x=1;當k=1時,x=2;當k=5時,x=4;當k=8時,x=5.所以A∩B={1,2,4,5}.
7.已知集合M=,N={y|y=3x2+1,x∈R},則M∩N=( )
A.? B.{x|x≥1}
C.{x|x>1} D.{x|x≥1或x<0}
解析:選C 由≥0得∴x>1或x≤0,∴M={x|x>1或x≤0},又∵N={y|y≥1},∴M∩N={x|x>1}.
8.命題“若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的否命題是( )
A.若a,b都是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù)
B.若a,b不都是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù)
C.若a,b都不是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù)
D.若a,b不都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)
解析:選B 因為“都是”的否定是“不都是”,所以“若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的否命題是“若a,b不都是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù)”.
9.已知命題p:函數(shù)y=e|x-1|的圖象關于直線x=1對稱,命題q:函數(shù)y=cos的圖象關于點對稱,則下列命題中的真命題為( )
A.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∨(綈q)
解析:選A 易知函數(shù)y=e|x-1|的圖象關于直線x=1對稱是真命題;將x=代入y=cos中,得y=0,故函數(shù)y=cos的圖象關于點對稱是真命題.p和q都為真,所以p∧q為真命題.
10.已知命題p:當a>1時,函數(shù)y=log(x2+2x+a)的定義域為R;命題q:“a=3”是“直線ax+2y=0與直線2x-3y=3垂直”的充要條件,則以下結(jié)論正確的是( )
A.p或q為真命題
B.p且q為假命題
C.p且綈q為真命題
D.綈p或q為假命題
解析:選A 當a>1時,一元二次方程x2+2x+a=0的判別式Δ=4-4a<0,則x2+2x+a>0對任意x∈R恒成立,故函數(shù)y=log(x2+2x+a)的定義域為R.故命題p是真命題;直線ax+2y=0與直線2x-3y=3垂直等價于a2+2(-3)=0,解得a=3,故“a=3”是“直線ax+2y=0與直線2x-3y=3垂直”的充要條件,故命題q是真命題.所以p或q為真命題,p且q為真命題,p且綈q為假命題,綈p或q為真命題.
11.設集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一個整數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.(1,+∞)
解析:選B A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因為函數(shù)y=f(x)=x2-2ax-1的圖象的對稱軸為x=a>0,f(0)=-1<0,根據(jù)對稱性可知要使A∩B中恰含有一個整數(shù),則這個整數(shù)為2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<.
12.下列命題中正確的是( )
A.命題“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x0∈R,x-x0≥0”
B.命題“若xy=0,則x=0”的否命題為“若xy=0,則x≠0”
C.?m∈R,使f(x)=(m-1)xm2-4m+3是冪函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減
D.命題“若cos x=cos y,則x=y(tǒng)”的逆否命題為真命題
解析:選C A中命題的否定是“?x0∈R,x-x0>0”,所以A錯誤;B中“若xy=0,則x=0”的否命題為“若xy≠0,則x≠0”,所以B錯誤;C中m=2時成立;D中“若cos x=cos y,則x=y(tǒng)+2kπ或x=-y+2kπ,k∈Z”,所以D錯誤.
二、填空題
13.已知集合A={x|y=},B={y|y=3x+1},則A∩B=________.
解析:A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(1,+∞),所以A∩B=[3,+∞).
答案:[3,+∞)
14.已知命題p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命題q:?x0∈R,x+2ax0+2-a=0,若命題“p且q”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:由x2-a≥0,得a≤x2,x∈[1,2],所以a≤1.要使q成立,則有Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2.因為命題“p且q”是真命題,則p,q同時為真,即即a≤-2或a=1.
答案:(-∞,-2]∪{1}
15.當兩個集合中一個集合為另一集合的子集時稱這兩個集合構(gòu)成“全食”,當兩個集合有公共元素,但互不為對方子集時稱這兩個集合構(gòu)成“偏食”.對于集合A=,B={x|ax2=1,a≥0},若A與B構(gòu)成“全食”或構(gòu)成“偏食”,則a的取值集合為________.
解析:因為B={x|ax2=1,a≥0},所以若a=0,則B為空集,滿足B?A,此時A與B構(gòu)成“全食”.若a>0,則B={x|ax2=1,a≥0}=,由題意知=1或=,解得a=1或a=4.此時A與B構(gòu)成“偏食”.故a的取值集合為{0,1,4}.
答案:{0,1,4}
16.若f(x)是R上的增函數(shù),且f(-1)=-4,f(2)=2,設P={x|f(x+t)+1<3},Q={x|f(x)<-4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件,則實數(shù)t的取值范圍是________.
解析:P={x|f(x+t)+1<3}={x|f(x+t)<2}={x|f(x+t)3.
答案:(3,+∞)
函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應用
[記概念公式]
1.指數(shù)與對數(shù)式的運算公式
aman=am+n;(am)n=amn;loga(MN)=logaM+logaN;loga=logaM-logaN;logaMn=nlogaM;alogaN=N;logaN=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0).
2.函數(shù)的零點與方程根的關系
3.零點存在性定理
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.
[覽規(guī)律技巧]
1.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論
(1)當f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時,函數(shù)f(x)+g(x)為增(減)函數(shù).
(2)奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關于原點對稱,f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關于y軸對稱.
(4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù),積、商是偶函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù).
2.函數(shù)的周期性
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-a),則f(x)為周期函數(shù),2a是它的一個周期.
(2)設f(x)是R上的偶函數(shù),且圖象關于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),2a是它的一個周期.
(3)設f(x)是R上的奇函數(shù),且圖象關于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),4a是它的一個周期.
3.函數(shù)圖象的對稱性
(1)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),則f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
(2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.
(3)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=對稱.
4.利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小
(1)底數(shù)相同,指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較;底數(shù)相同,真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較.
(2)底數(shù)不同、指數(shù)也不同,或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù),可以引入中間量或結(jié)合圖象進行比較.
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)=則f[f(2)]=( )
A. B. C.2 D.4
解析:選A 因為f(2)=-,所以f[f(2)]=f(-)=4=.
2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( )
A.y= B.y=cos x
C.y=3x D.y=ln|x|
解析:選D 利用排除法求解.函數(shù)y=,y=3x都是非奇非偶函數(shù),排除A和C;函數(shù)y=cos x,x∈(0,+∞)不單調(diào),排除B;函數(shù)y=ln|x|是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故選D.
3.設a,b∈R,若函數(shù)f(x)=(x∈R)是奇函數(shù),則a+b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:選B 因為函數(shù)f(x)=(x∈R)是奇函數(shù),所以f(0)==0,得a=-1,又因為f(1)+f(-1)=0,所以+=0,解得b=1,經(jīng)檢驗,符合題意.故a+b=0.
4.已知定義域為R的函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱.當x>0時,f(x)=ln x,則f(-e)=( )
A.-e B.e
C.1 D.-1
解析:選D 由于函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱,故f(x)為奇函數(shù),故f(-e)=-f(e)=
-ln e=-1.
5.已知函數(shù)f(x)=4-x2,y=g(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,g(x)=log2x,則函數(shù)f(x)g(x)的大致圖象為( )
解析:選D 因為函數(shù)f(x)=4-x2為偶函數(shù),y=g(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以函數(shù)f(x)g(x)為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,所以排除A,B.當x>2時,g(x)=log2x>0,f(x)=4-x2<0,所以此時f(x)g(x)<0,排除C.
6.已知函數(shù)f(x)=ln x,則函數(shù)g(x)=f(x)-f′(x)的零點所在的區(qū)間是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:選B 因為f′(x)=,所以g(x)=f(x)-f′(x)=ln x-.因為g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2->0,所以函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2).
7.函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-1的零點有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
8.若當x∈R時,函數(shù)f(x)=a|x|始終滿足0<|f(x)|≤1,則函數(shù)y=loga的圖象大致為( )
解析:選B 因為當x∈R時,函數(shù)f(x)=a|x|始終滿足00時,函數(shù)y=loga=-logax,顯然此時函數(shù)單調(diào)遞增.
9.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2),則f(2 014)=( )
A.0 B.3 C.4 D.6
解析:選A 依題意得f(-2+4)=f(-2)+f(2)=f(2),即2f(2)=f(2),f(2)=0,f(x+4)=f(x),故f(x)是以4為周期的周期函數(shù),2 014=4503+2,因此f(2 014)=f(2)=0.
10.奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),當x∈(0,1)時,f(x)=3x+,則f(log354)=( )
A.-2 B.- C. D.2
解析:選A ∵f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù).又∵f(log354)=f=f=f=-f,易知0,解得x<,或x>,所以x的取值范圍為∪.
答案:∪
14.已知函數(shù)f(x)=ln x+3x-8的零點x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,則a+b=________.
解析:由于函數(shù)f(x)=ln x+3x-8,故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),又a,b∈N*,f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0.f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0,且b-a=1,∴x0∈[2,3],即a=2,b=3,∴a+b=5.
答案:5
15.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),有如下結(jié)論:
①?x∈(-1,1),f(-x)=f(x);②?x∈(-1,1),f(-x)=-f(x);③?x∈(-1,1),f(x)為增函數(shù);④若 f(a)=ln 2,則a=.
其中正確結(jié)論的序號是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
解析:f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln,f(-x)+f(x)=ln+ln=ln 1=0,∴f(-x)=-f(x),①錯誤,②正確;f(x)=ln=ln-1+,利用復合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)為增函數(shù),③正確;∵f(a)=ln=ln 2,∴=2,∴a=,④正確.
答案:②③④
16.已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,有f(x+1)=-f(x),且當x∈[0,1)時,f(x)=log2(x+1),給出下列命題:
①f(2 013)+f(-2 014)的值為0;
②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù);
③直線y=x與函數(shù)f(x)的圖象有1個交點;
④函數(shù)f(x)的值域為(-1,1).
其中正確的命題序號有________.
解析:結(jié)合函數(shù)圖象逐個判斷.當x∈[1,2)時,x-1∈[0,1),f(x)=-f(x-1)=-log2x,且x≥0時,f(x)=f(x+2),又f(x)是R上的偶函數(shù),作出函數(shù)f(x)的部分圖象如圖,由圖可知,②錯誤,③④都正確;f(2 013)=f(1)=-f(0)=0,f(2 014)=f(0)=0,所以f(2 013)+f(-2 014)=0,①正確,故正確的命題序號是①③④.
答案:①③④
導數(shù)的運算及簡單應用
[記概念公式]
1.求導公式
(1)(sin x)′=cos x;
(2)(cos x)′=-sin x;
(3)(ln x)′=;(logax)′=;
(4)(ex)′=ex;(ax)′=axln a.
2.導數(shù)的四則運算法則
(1)[u(x)v(x)]′=u′(x)v′(x).
(2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
(3)′=(v(x)≠0).
3.導數(shù)與極值
函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“左正右負”?f(x)在x0處取極大值;函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“左負右正”?f(x)在x0處取極小值.
[覽規(guī)律技巧]
“切點”的應用規(guī)律
(1)若題目中沒有給出“切點”,就必須先設出切點.
(2)切點的三種情況:切點在切線上;切點在曲線上;切點處的導數(shù)值等于切線的斜率.
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿足關系式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,則f′(2)的值等于( )
A.2 B.-2 C. D.-
解析:選D ∵f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,∴f′(x)=2x+3f′(2)+,所以f′(2)=22+3f′(2)+,解得f′(2)=-.
2.已知函數(shù)f(x)=2-2ln x,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是( )
A.2x+y-2=0 B.2x-y-2=0
C.x+y-2=0 D.y=0
解析:選B 函數(shù)f(x)=2-2ln x,f(1)=0,f′(x)=2-.曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為f′(1)=2.從而曲線y=f(x)在點(1,f(1)) 處的切線方程為y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.
3.若曲線f(x)=x3+x2+mx的所有切線中,只有一條與直線x+y-3=0垂直,則實數(shù)m的值等于( )
A.0 B.2 C.0或2 D.3
解析:選B f′(x)=x2+2x+m,直線x+y-3=0的斜率為-1,由題意知關于x的方程x2+2x+m=1,即(x+1)2=2-m有且僅有一解,所以m=2.
4.dx=( )
A.2ln 3+4 B.2ln 3 C.4 D.ln 3
解析:選A dx=[2ln(x+1)+x2]=2ln 3+4.
5.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)=a(x+b)2+c的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x) 的圖象可能是( )
解析:選D 由導函數(shù)圖象可知,當x<0時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,排除A,B.當00,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,因此,當x=0時,f(x)取得極小值,排除C.
6.函數(shù)f(x)=(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:選B 函數(shù)f(x)的定義域為R,f′(x)==.由于a>0,要使f′(x)>0,只需(1-x)(1+x)>0,解得x∈(-1,1).
7.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,f′(x)是f(x)的導函數(shù),則下列數(shù)值排列正確的是( )
A.0>f′(2)>0.
8.已知a≥0,函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是單調(diào)減函數(shù),則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選C f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex,由題意當x∈[-1,1]時,f′(x)≤0恒成立,即x2+(2-2a)x-2a≤0恒成立,
即解得a≥.
9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且對任意x∈R都有f′(x)<,則不等式f(x2)>的解集為( )
A.(1,2) B.(0,1) C.(-1,1) D.(1,+∞)
解析:選C 令g(x)=f(x)-(x+1),∴g′(x)=f′(x)-<0,故g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減且g(1)=0.令g(x)>0,則x<1,f(x2)>?f(x2)->0?g(x2)>0?x2<1?-10,得到a<-3.
11.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-2(a≠0)有且僅有兩個不同的零點x1,x2,則( )
A.當a<0時,x1+x2<0,x1x2>0
B.當a<0時,x1+x2>0,x1x2<0
C.當a>0時,x1+x2<0,x1x2>0
D.當a>0時,x1+x2>0,x1x2<0
解析:選B 由于函數(shù)有且僅有兩個不同的零點,因此必有一個零點是重零點,則令f(x)=a(x-x1)(x-x2)2=ax3-a(x1+2x2)x2+ax2(2x1+x2)x-ax1x,
則ax1x=2?、?,
ax2(2x1+x2)=0?、冢?
當a<0時,由①式得,x1<0且x2≠0,
由②式得,2x1+x2=0,x2=-2x1.
因此,x1+x2=-x1>0,x1x2=-2x<0.
當a>0時,由①式得,x1>0且x2≠0,
由②式得,2x1+x2=0,x2=-2x1.
因此,x1+x2=-x1<0,x1x2=-2x<0.只有B項符合.
12.我們常用以下方法求形如函數(shù)y=f(x)g(x)(f(x)>0)的導數(shù):先兩邊同取自然對數(shù)ln y=g(x)ln f(x),再兩邊同時求導得到y(tǒng)′=g′(x)ln f(x)+g(x)f′(x),于是得到y(tǒng)′=f(x)g(x)g′(x)ln f(x)+g(x)f′(x),運用此方法求得函數(shù)y=x(x>0)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(e,4) B.(3,6) C.(0,e) D.(2,3)
解析:選C 由題意知f(x)=x,g(x)=,則f′(x)=1,g′(x)=-,所以y′=x=x,由y′=x>0得1-ln x>0,解得00)與拋物線y=x2所圍成的封閉圖形的面積為,則a=________.
解析:根據(jù)定積分的應用可知所求面積為2∫0(a-x2)dx=20=,即=,解得a=2.
答案:2
15.已知向量a=,b=(1,t),若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)t的取值范圍為________.
解析:f(x)=ex+-tx,x∈(-1,1),f′(x)=ex+x-t,∵函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,∴f′(x)=ex+x-t>0在區(qū)間(-1,1)上有解,即t0,原函數(shù)單調(diào)遞增,當2kπ+π0,ω>0).
(2)y=sin xy=sin ωx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
2.整體法:求y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間、周期、值域、對稱軸(中心)時,將ωx+φ看作一個整體,利用正弦曲線的性質(zhì)解決.
3.換元法:在求三角函數(shù)的值域時,有時將sin x(或cos x)看作一個整體,換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決.
4.公式法:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期為.
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)=tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y=所得的線段長為,則f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
解析:選A 由題意知T=,由T==,得ω=4,∴f(x)=tan 4x,∴f=tan π=0.
2.已知cos+sin α=,則sin的值是( )
A. B.- C. D.-
解析:選A cos+sin α=cos αcos+sin αsin+sin α=sin α+cos α=sin=,所以sin=.
3.sin 25、cos 24、tan 61的大小關系正確的是( )
A.cos 240,0<φ<一個周期內(nèi)的圖象上的五個點,如圖所示,A-,0,B為y軸上的點,C為圖象上的最低點,E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心,B與D關于點E對稱,在x軸上的投影為,則( )
A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=
C.ω=,φ= D.ω=,φ=
解析:選A 由題知,T=4=π,所以ω=2.因為A在曲線上,所以sin=0,又0<φ<,所以φ=.
6.已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( )
A. B.
C. D.(0,2]
解析:選A 由題意可知≥2,則ω≤2.因為ωx+∈?,k∈Z,所以ω+≥+2kπ,πω+≤+2kπ,k∈Z,故+4k≤ω≤+2k,k∈Z.即ω∈.
7.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60,則AB邊上的高等于( )
A. B. C. D.2
解析:選C 設AB=c,由AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,得7=c2+4-2c2cos 60,c2-2c-3=0,得c=3,因此23sin 60=3hAB(hAB為AB邊上的高),所以hAB=.
8.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,b2=c(b+2c),若a=,cos A=,則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.3
解析:選C ∵b2=c(b+2c),∴b2-bc-2c2=0,即(b+c)(b-2c)=0,∴b=2c.又a=,cos A==,∴c=2,b=4.∴S△ABC=bcsin A=42=.
9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,其中A=150,b=2,且△ABC的面積為1,則=( )
A.4(+) B.4(-)
C.2(+) D.2(-)
解析:選C 因為△ABC的面積S=bcsin A=1,A=150,b=2,所以c=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=8+4,解得a=+.設△ABC外接圓的半徑為R,則有=2R,得2R=2(+),所以=2R=2(+).
10.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),其中|φ|<π,若f(x)≤對x∈R恒成立,且ff
C.f(x)是奇函數(shù)
D.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)
解析:選D 由f(x)≤恒成立知x=是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸,即2+φ=+kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z.又f0,所以φ=,f(x)=sin.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z).
11.若sin α=1-tan 10sin α,則銳角α的值為( )
A.40 B.50 C.60 D.70
解析:選B 原式可變形為sin α(1+tan 10)=1,可得sin α(1+tan 10)=2sin α=2sin α==1,所以sin α=sin 50.又因為α為銳角,所以α=50.
12.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x-2sin2x+1(x∈R),若在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=,A為銳角,且f=,則△ABC面積的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析:選A f(x)=2sin xcos x-2sin2x+1=sin 2x+cos 2x=sin,f=?sin2A+=?cos 2A=,∴2cos2A-1=,cos A=,sin A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=3≥2bc-bc,∴bc≤,∴S△ABC=bcsin A≤=,當且僅當b=c=時等號成立,故△ABC面積的最大值為.
二、填空題
13.已知角α的終邊上一點的坐標為,則角α的最小正值為________.
解析:由題知,tan α===-,且sin>0,cos<0,所以α是第四象限角,因此α的最小正值為.
答案:
14.函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間為________.
解析:由y=2sin,得y=-2sin,
由+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得+3kπ≤x≤+3kπ,k∈Z,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為+3kπ,+3kπ,k∈Z.
答案:,k∈Z
15.對于函數(shù)f(x)=給出下列四個結(jié)論:
①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù);
②當且僅當x=π+kπ(k∈Z)時,該函數(shù)取得最小值-1;
③該函數(shù)的圖象關于x=+2kπ(k∈Z)對稱;
④當且僅當2kπ0?a與b的夾角θ為銳角或零角;
若ab<0?a與b的夾角θ為鈍角或平角;
若ab=0?a與b的夾角為90(a≠0,b≠0).
3.三角形兩心的向量形式
設O為△ABC所在平面上的一點.
(1)O是三條中線的交點?O是△ABC的重心?
(2)O是三條高線的交點?O是△ABC的垂心?
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1.若向量b與向量a=(1,-2)的夾角是180,且|b|=3,則b=( )
A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)
解析:選A 設b=(x,y),由已知條件得解得或(舍去),∴b=(-3,6).
2.已知A,B,C是半徑為2的圓O上三點,若=(+),則 的值為( )
A.0 B.1 C.2 D.4
解析:選A 由題易知點O為BC的中點,即BC為圓O的直徑,故在△ABC中,角A為直角,即AC與AB的夾角為90,∴=0.
3.在△ABC中,且ab=bc=ca,則△ABC的形狀是( )
A.等腰非等邊三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
解析:選D ∵ab=bc=ca,∴ab-bc=0,∴b(a-c)=0,∴(a-c)⊥b.又a-c=過CA的中點,∴BC=BA,同理,BC=AC,∴△ABC是等邊三角形.
A.- B.- C. D.
5.如圖,將45直角三角板和30直角三角板拼在一起,其中45直角三角板的斜邊與30直角三角板的30角所對的直角邊重合.若則x,y的值分別為( )
A.,1 B.1+,
C.2, D.,1+
解析:選B 設AD=DC=1,則AC=,AB=2,BC=.在△BCD中,由余弦定理得DB2=DC2+CB2-2DCCBcos(45+90)=7+2.以D為原點,DA為x軸,DC為y軸建立平面直角坐標系,則D(0,0),A(1,0),C(0,1),B(y,x),=(y,x-1),=(y,x),∴6=(x-1)2+y2,x2+y2=7+2,∴x=1+,y=.
6.如圖,△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,CD與BE交于F,設則m+n=( )
A.1 B. C. D.
解析:選C 設∵E,D分別為AC,AB的中點,=-a+b,=(b-a)+λ=a+(1-λ)b,∵共線,∴=,∴λ=,∴=b+CD―→=b+=a+b,故m=,n=,m+n=.
7.若G是△ABC的重心,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若則角A=( )
A.90 B.60 C.45 D.30
( )
A.-6 B.-2 C.2 D.6
9.在△ABC中,若對任意的m∈R,恒成立,則△ABC的形狀為( )
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.不確定
10.設平面向量a,b,c的模均等于2,且ab=0,則(a-c)(b-c)的最小值為( )
A.4 B.4-4
C.-4 D.4-4
解析:選D (a-c)(b-c)=c2-c(a+b)≥4-|c||a+b|=4-2=4-4,∴(a-c)(b-c)的最小值為4-4.
11.已知A,B是圓O:x2+y2=1上的兩個點,P是AB線段上的動點,當△AOB的面積最大時,則-的最大值是( )
A.-1 B.0 C. D.
解析:選C S△AOB=r2sin∠AOB,當且僅當∠AOB=90時面積取得最大值,即由于點P在線段AB上,故設則-==-2x2+x=-22+(0≤x≤1)(*),當且僅當x=時(*)式取得最大值.
12.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),向量d如圖所示,則存在λ>0,使得〈c,d〉=( )
A. B.
C. D.π
解析:選A 因為a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),所以c=(1,λ),由圖象可知d=(4,3),所以cos〈c,d〉=>0,排除C,D項;當=,即11λ2+96λ+39=0時,此方程無正根,所以無解,排除B項;當=,即39λ2-96λ+11=0時,此方程有兩正根.
二、填空題
13.已知點A(-1,-1),B(3,1),C(1,4),則向量在向量方向上的投影為________.
解析:由A(-1,-1),B(3,1),C(1,4),得=(-2,3),=(-4,-2),向量在向量方向上的投影為||cos〈,〉===.
答案:
答案:1
15.如圖,在△ABC中,∠B=60,O為△ABC的外心,P為劣弧AC上一動點,且 (x,y∈R),則x+y的最大值為________.
解析:∵∠B=60,∴∠AOC=120,當P在A點時,x=1,y=0,x+y=1;當P在A,C之間時,得x>0,y>0,將兩邊平方得x2+y2-xy=1,(x+y)2-1=3xy≤32=(x+y)2,即(x+y)2≤4,x+y≤2,故(x+y)max=2.
答案:2
16.定義域為[a,b]的函數(shù)y=f(x)的圖象的兩個端點為A,B,M(x,y)是f(x)圖象上任意一點,其中x=λa+(1-λ)b(λ∈R),向量若不等式≤k恒成立,則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上“k階線性近似”.若函數(shù)y=x+在[1,2]上“k階線性近似”,則實數(shù)k的取值范圍為________.
解析:由題意知a=1,b=2,所以A(1,2),B.所以直線AB的方程為y=(x+3).因為xM=λa+(1-
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